2005内蒙古考研数学三真题及答案.doc-资料库

2005 内蒙古考研数学三真题及答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）极限 lim x  x sin （2）微分方程 yx = 2 x 2  x 0 y 1 . 满足初始条件 y )1(  2 的特解为______. （3）设二元函数 z  xe yx   ( x  )1 1ln(  y ) ，则 dz  ________. )0,1( （4）设行向量组 )1,1,1,2( ， ,1,2( ), aa ， ),1,2,3( a ， )1,2,3,4( 线性相关，且 1a ，则 a=_____. （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 ,2,1  中任取一个数，记为 Y, 则 X, { YP }2 =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 Y X 0 1 0 0.4 b 1 a 0.1 已知随机事件 { X }0 与 {  YX  }1 相互独立，则 a= ， b= . 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当 a 取下列哪个值时，函数 )( xf  3 2 x  9 x 2  12 ax  恰好有两个不同的零点. [ （8）设 (A) ] I 1 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. cos 2 x  2 dy , I  2   D cos( x 2  2 dy ) , I  3  D  D cos( x 2  y 22 ) d ,其中 D  ,{( ) xyx 2  2 y  }1 ，则 (A) I 3  I 2  I 1 . （B） I 1  I 2  I 3 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 3  I 1  I 2 . [ ] （9）设 an  ,0 n  ,2,1 , 若 1n na 发散， n 1  )1(  1 n a 收敛，则下列结论正确的是  n (A)  n 1  na 收敛， 1  2 n 1 na 发散 . 2 （B）  n 1 na 收敛， 2 n 1  na 发散. 2 1 

(C) 2 ( a n 1    1 n a 2 n ) 收敛. (D) 2 ( a n 1    1 n a 2 n ) 收敛. [ ] （10）设 )( xf  x sin x  cos (A) f(0)是极大值， f ,下列命题中正确的是是极小值. （B） f(0)是极小值， f 是极大值. x ( ) 2 ( ) 2 f ( ) 2 ( ) f 2 （C） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. [ ] （11）以下四个命题中，正确的是 (A) 若 f  在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. )(x （B）若 )(xf 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 f  在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. )(x (D) 若 )(xf 在（0，1）内有界，则 f  在（0，1）内有界. )(x [ ] （12）设矩阵 A= ( ija 33)  满足 A * TA ，其中 *A 是 A 的伴随矩阵， TA 为 A 的转置矩阵. 若 a 11 , a 12 , a 13 为三个相等的正数，则 11a 为 (A) 3 3 . [ ] (B) 3. (C) 1 3 . (D) 3 . （13）设 1, 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 2 1, ，则 1 ， 2 ( A 1   2 ) 线性无关的充分必要条件是 (A) 1  0 . (B) 2  0 . (C) 1  0 . (D) 2  0 . [ ] （14）设一批零件的长度服从正态分布 2N ( , ) ，其中 , 均未知. 现从中随机抽取 2 16 个零件，测得样本均值 x  (20 cm ) ，样本标准差 s  (1 cm ) ，则的置信度为 0.90 的置信区间是 (A) 20(  (C) 20(  1 4 1 4 t t 05.0 20),16(  t 05.0 16( )). (B) 20),15(  1 4 05.0 15( )). (D) 20(  1 4 t 1.0 1 4 t 05.0 20(  1 4 20),15( t 1.0   1 4 )). 20),16( 1 4 15( 1.0 t t 1.0 16( )). [ ]

三、解答题（本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分 8 分）求 lim 0 x  1(  1 e  x  x  ).1 x （16）（本题满分 8 分）设 f(u)具有二阶连续导数，且 ,( yxg )  yf ( x )  yf ( x y ) ，求 2 x g 2 2  x   2 y g .2 2  y  （17）（本题满分 9 分） y 计算二重积分  x 2  D 12  d ，其中 D  ,{( yx 0)  x 0,1  y }1 . （18）（本题满分 9 分）求幂级数 n 1  ( 1 n  2 1  2)1 nx 在区间(-1,1)内的和函数 S(x). （19）（本题满分 8 分）设 f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且 f(0)=0, f  x )(  0 ,  xg )(  0 .证明：对任何 a ]1,0[ ,有 a  0 )( fxg  )( x dx  1  0  )( )( xgxf dx  ).1()( gaf （20）（本题满分 13 分）已知齐次线性方程组 x 1 2 x 1 x 1 2 x  2 3 x  x  （i）      2 3 x  3 5 x  2 ax  ,0  ,0  3 ,0  3 和（ii）    2 x 1 x 1  bx  2 xb 2  2 (  ,0 cx  3 )1 c x  3  ,0 同解，求 a,b, c 的值. （21）（本题满分 13 分）设 D  CA   T B C     为正定矩阵，其中 A,B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 nm  矩阵. (I) 计算 DP PT ，其中 P      E m o 1  CA E n ；    （II）利用(I)的结果判断矩阵 CACB  1 T 是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分 13 分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

,( yxf )  ,1   ,0  0  x ,2 x y 0,1  . 其他求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 f X ( x ), f Y )( y ；（II） Z  2 YX  的概率密度 f Z (z ). ( III ) { YP  1 2 X  1 2 }. （23）（本题满分 13 分）设 XX , 1 , 2 n nX ( , )2 为来自总体 N(0, 2 )的简单随机样本， X 为样本均值，记 Y i  X i  , iX  ,2,1 , . n 求：（I） iY 的方差 , iDYi  ,2,1 , n ；（II） 1Y 与 nY 的协方差 nYYCov ( 1 , ). （III）若 ( Yc 1  nY ) 2 是 2 的无偏估计量，求常数 c. 参考答案一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1）极限 lim x  x sin 2 x 2  x 1 = 2 . 【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 lim x  x sin = 2 x 2  y 1 x 0 2 lim 2 x  x x x  1  .2 满足初始条件 y )1(  2 的特解为 2xy . （2）微分方程 yx 【分析】直接积分即可. 【详解】原方程可化为 ( xy ) 0 ，积分得 xy  ， C 代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2. （3）设二元函数 z  xe yx   ( x  )1 1ln(  y ) ，则 dz  2 edx  ( e  )2 dy . )0,1( 【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】 z  x  z  y  yx   e  xe yx   1ln(  y ) ,  xe yx   x  1  1 y ,

于是 dz )0,1(  2 edx  ( e  )2 dy . （4）设行向量组 )1,1,1,2( ， ,1,2( ), aa ， ),1,2,3( a ， )1,2,3,4( 线性相关，且 1a ，则 a= 1 2 . 【分析】四个 4 维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定 a. 【详解】由题设，有 1112 12 aa 123 a 1234  ( a  2)(1 a  )1  0 , 得 a  a ,1  1 2 ，但题设 1a ，故 1a 2 . （5）从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 X, 再从 ,2,1  中任取一个数，记为 Y, 则 X, { YP }2 = 13 48 . 【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 【详解】 { YP }2 = { XP  {}1 YP  2 X  }1 + { XP  {}2 YP  2 X  }2 + { XP  {}3 YP  2 X  }3 + { XP  {}4 YP  2 X  }4 1 4 （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为  1 2 1 4  0( = 1 3 )  13 48 . Y X 0 1 0 0.4 b 1 a 0.1 已知随机事件 { X }0 与 {  YX  }1 相互独立，则 a= 0.4 , b= 0.1 . 【分析】首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b 的取值. 【详解】由题设，知 a+b=0.5 又事件 { X }0 与 {  YX  }1 相互独立，于是有 { XP  ,0 YX   }1  { XP  {}0 YXP   }1 ，即 a= 4.0(  )( baa  ) , 由此可解得 a=0.4, b=0.1 二、选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）当 a 取下列哪个值时，函数 )( xf  3 2 x  9 x 2  12 ax  恰好有两个不同的零点. (A) ] 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B 【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数 f(x)恰好有两个不同的零点. 【详解】 f  )( x  2 6 x  18 x  12 = (6 x  )(1 x  )2 ，知可能极值点为 x=1,x=2，且 f )1(  5 , fa )2(  4 a ，可见当 a=4 时，函数 f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设 I 1   cos 2 x  2 dy , I  2 cos( x 2  2 dy , ) I  3  D cos( x 2  y 22 ) d ,  D  2 y  }1 ，则 D ) xyx 2 ,{( 其中 D  (A) I 3  I 2  I 1 . （B） I 1  I 2  I 3 . (C) I 2  I 1  I 3 . (D) I 3  I 1  I 2 . [ A ] 【分析】关键在于比较 2 x  2 y 、 2 x  2 y 与 ( 2 x  y 22 ) 在区域 D  ,{( ) xyx 2  2 y  }1 上的大小. 【详解】在区域 D  ,{( ) xyx 2  2 y  }1 上，有 0  2 x  2 y  1 ，从而有 2 x  2 y  2 x  2 y  2 ( x  y 22 )  0 上为单调减函数，于是  1  2 ,0(  ) 2 2 x  y 2 由于 cosx 在 cos 0   D 因此 cos 2 x  2 dy 2 x  2 dy ) 2 y )  cos(  2 cos( x   cos(  D 22 ) cos( x 2  y 22 ) d ，故应选(A). 2 y x    D （9）设 an  ,0 n  ,2,1 , 若 1n na 发散， n 1  )1(  1 n a 收敛，则下列结论正确的是  n (A)  n 1  na 收敛， 1  2 n 1 na 发散 . 2 （B）  n 1 na 收敛， 2 n 1  na 发散. 2 1  2 ( a n 1  (C) [ D ]   1 n a 2 n ) 收敛 . (D) 【分析】可通过反例用排除法找到正确答案. 2 ( a n 1    1 n a 2 n ) 收敛 .

【详解】取 an 1 ，则 n 1n na 发散， n 1  )1(  1 n a 收敛，  n 但 n 1  na 与 1  2 n 1 na 均发散，排除(A),(B)选项，且 2 2 ( a n 1    1 n a 2 n ) 发散，进一步排除 (C), 故应选(D). 事实上，级数 2 ( a n 1    1 n a 2 n ) 的部分和数列极限存在. （10）设 )( xf  x sin x  (B) f(0)是极大值，（C） f(0)是极大值， f f x cos ( ) 2 ( ) 2 ,下列命题中正确的是是极小值. （B） f(0)是极小值， f 是极大值. 也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小 ( ) 2 ( ) f 2 值. [ B ]   ( ) 2  0 ，，故 f(0)是极小值，【分析】先求出 f  ( x ), f  )( x ，再用取极值的充分条件判断即可. 【详解】 f  )( x  sin x  x cos x  sin x  x cos x ，显然 f  )0(  ,0 f 又 f  )( x  cos x  x sin x ，且 f  ,01)0(  f f 是极大值，应选(B). ( ) 2 （11）以下四个命题中，正确的是   ( ) 2   2  0 (A) 若 f  在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. )(x （B）若 )(xf 在（0，1）内连续，则 f(x)在（0，1）内有界. （C）若 f  在（0，1）内有界，则 f(x)在（0，1）内有界. )(x (D) 若 )(xf 在（0，1）内有界，则 f  在（0，1）内有界. )(x [ C ] 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】设 f(x)= 1 x , 则 f(x)及 f  )( x  1 2 x 均在（0，1）内连续，但 f(x)在（0， 1）内无界，排除(A)、(B); 又 )( xf x 在（0，1）内有界，但 f  )( x  1 2 x 在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C). （12）设矩阵 A= ( ija 33)  满足 A * TA ，其中 *A 是 A 的伴随矩阵， TA 为 A 的转置矩阵. 若 a 11 , a 12 , a 13 为三个相等的正数，则 11a 为

(A) 3 3 . [ A ] (B) 3. (C) 1 3 . (D) 3 . 【分析】题设与 A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式： * AA  * AA  EA . . 【详解】由 A * TA 及 * AA  * AA  EA ，有 a ij  ,, iA ij j  3,2,1 ，其中 ijA 为 ija 的代数余子式，且 AAT  EA  A 2 3  A A 0 或 1A AaA 11  11  Aa 12 12  Aa 13 13  3 2 a 11  0 ，于是 1A ，且 11 a 3 3 . 故正确选项而为(A). （13）设 1, 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 2 1, ，则 1 ， 2 ( A 1   2 ) 线性无关的充分必要条件是 (A) 1  0 . (B) 2  0 . (C) 1  0 . (D) 2  0 . [ D ] 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】方法一：令 k  1 1  ( Ak  2 2  1 )  0 ，则 k  1 2   k k 2 2 1 1 2 1  0 ， ( k 1  k  1 2 2  k ) 2 1 2  0 . 由于 1, 线性无关，于是有 2 k 1     k k  1 2   2 2  .0 ,0 当 2  时，显然有 0 k 1  ,0 2 k  0 ，此时 1 ， ( A 1   2 ) 线性无关；反过来， ( A 若 1 ， 1   2 ) 线性无关，则必然有 2  (,否则， 1 与 0 ( A 1   2 ) = 1 线性相关)， 1 故应选(B). 方法二：由于 [  A 2  ( , 1 1 )]  [  2   [ ] , , 1 2 2 1 1 1 1 0  ]    1  2    ，可见 1 ， ( A 1   2 ) 线性无关的充要条件是 1 0  1  2   2  .0 故应选(D). （14）设一批零件的长度服从正态分布 2N ( , ) ，其中 , 均未知. 现从中随机抽 2

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