第1页 / 共138页
第2页 / 共138页
第3页 / 共138页
第4页 / 共138页
第5页 / 共138页
第6页 / 共138页
第7页 / 共138页
第8页 / 共138页
电磁场与电磁波(第四版).doc
- 1 -
共 138 页
电磁场与电磁波（第四版）课后答案
第一章习题解答
1.1 给定三个矢量 A 、 B 和C 如下：
3
e
z
A e
e
x
4y
B
e
5
C e
2
y
e
z
2
e
x
z
求：（1） Aa ；（2） A B ；（3）A B ；（4） AB ；（5）A 在 B 上的分量；（6） A C ；
a
解 （1）
和 (
（7） (
)
A B C
A
A
(
e
x
e
（2）
（3）
A B
A B
(
e
A
x
)A B C ；（8） (
e
x
2
1
e
y
2
2
3
e
z
( 3)
(
3)
e
4
(
e
e
y
2
2
2
e
z
3)
e
2
y
z
y
（ 4 ） 由
AB
cos
1
(
11
238
) 135.5
cos AB
A B C 和 (
)
A B C 。
2
14
6
e
3
14
4
e
e
z
y
z
53
y
e
x
e
)
1
14
4
)
e
e
y
z
x
)
e
－11
A B
A B
z
11
14
17
11
238
， 得
（5） A 在 B 上的分量 BA A cos AB
A B
B
11
17
（6）
A C
e
x
1
5
（7）由于
B C
A B
所以
(
)
A B C
)
(
A B C
(
(
（8） (
A B C
)
10
z
y
x
y
x
y
e
e
e
e
e
5
8
4
13
e
e
z
2
3
0
2
e
e
e
x
z
y
0
4 1
5
0
2
e
e
e
x
z
1
3
2
0
1
4
5
3)
( 8
2
e
e
e
e
e
y
x
x
z
y
4)
10
1
e
e
( 5
e
e
z
x
e
e
z
x
4
10
2
5
e
y
e
y
1
0
10
1
2
e
e
e
e
x
y
x
x
y
z
e
z
20
e
z
4
42
e
z
2)
20)
42
40
e
z
5
y
P
是否为一直角三角形；
1.2 三角形的三个顶点为 1(0,1, 2)
PP P
（1）判断 1 2 3
（2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点 1(0,1, 2)
、 2(4,1, 3)
P
P
2
4
e
e ， 2
e
r
e
z
x
y
4x
e ，
r
e
1
z
6
e
e
r
3
r
1
R
12
R
31
r
2
r
1
7
e
y
x
y
z
则
由此可见
PP P
故 1 2 3
R R
12
23
( 4
e
x
为一直角三角形。
e
z
) ( 2
x
e
e
y
e
z
8) 0
和 3(6,2,5)
P
的位置矢量分别为
2
6
3
e
e ， 3
e
e
r
x
z
y
2
e
R
r
r
e
23
3
2
e ，
z
5
z
8
x
y
1
2
1
2
（2）三角形的面积
1.3 求 ( 3,1,4)
解
y
r
P
R
12
点的距离矢量 R 及 R 的方向。
e
x
5
则
且 P PR 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为
R
S
23
点到 (2, 2,3)
P
2
4
e
e ，
r
P
y
z
3
r
e
e
P
P
3
e
R
P P
e ，
z
R
23
R
12
2
e
r
P
3
e
x
x
y
z
1 17
2
69 17.13
A B C
(
)
e
x
1
8
y
e
2
5
e
z
3
20
P
e
x
55
e
44
e
11
z
y
、 2(4,1, 3)
和 3(6,2,5)
P
- 2 -
。
x
1
cos (
y
1
cos (
1
cos (
) 32.31
1
cos (
) 120.47
)
)
)
P P
P P
e R
x
R
P P
e R
y
R
P P
e R
z
R
P P
A e
5
35
3
35
1
35
e 和
z
4
z
1
cos (
P P
1
cos (
) 99.73
1.4 给定两矢量
角和 A 在 B 上的分量。
2
e
y
3
x
B e
4
e
5
e ，求它们之间的夹
z
6
y
x
解 A 与 B 之间的夹角为
AB
1
cos (
A B
A B
)
1
cos (
31
29
77
) 131
A 在 B 上的分量为
BA
3.532
BA
B
2
x
e
y
31
77
3
C e
A e
y
x
e
1.5 给 定 两 矢 量
e 上的分量。
z
e
z
4
1
解
e
x
2
6
e
y
3
4
A B
e
x
13
e
y
22
e
z
10
e 和
z
4
B
e
6
e
4
e ， 求 A B 在
z
y
x
所以 A B 在C 上的分量为 (
)
A B
C
(
1.6 证明：如果 A B A C 和
A B
)
A B C
C
A C ，则 B C ；
25
3
14.43
- 3 -
A B
解 由
)
)
A C ，则有 (
A A C ，即
A A B
(
(
)
)
)
(
A C A A A C
A B A A A B
)
)
(
由于 A B A C ，于是得到 (
A A C
A A B
B C
故
(
)
(
1.7 如果给定一未知 矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以
P A X ， p 和 P 已知，试
确定该未知矢量。设 A 为一已知矢量， p A X 而
求 X 。
解 由
P A X ，有
A P A A X
(
)
(
A A A X
p
(
)
故得
1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由
定出，求该点在：（1）直角坐
(
)
)
A X A A A X
A A P
p
X
A A
2(4,
,3)
3
标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
。
解（1）在直角坐标系中
x
故该点的直角坐标为 ( 2,2 3,3)
（ 2 ） 在 球 坐 标 系 中
2
故该点的球坐标为 (5,53.1 ,120 )
3 120
4cos(2 3)
、 4sin(2
y
2
3)
2 3
、 3z
r
2
4
2
3
、
5
1
tan (4 3) 53.1
、
2
2
4
2
e
y
( 5)
e 构成的夹角。
z
2
，故
50
r
E e ，
25
1.9 用球坐标表示的场
r r
2
（1）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5)
处的 E 和 xE ；
B e
（2）求在直角坐标中点 ( 3,4, 5)
处 E 与矢量
x
解 （1）在直角坐标中点 ( 3,4, 5)
处， 2
2
( 3)
25
r r
2
1
2
3
1
2
5 2
3
e
r
（2）在直角坐标中点 ( 3,4, 5)
处，
x
4
3
e
e
e
25
r
y
3
r
10 2
e E E
x
25
2
r
1
cos (
y
e
5
EB
cos
rx
E
E
E
4
e
x
x
z
( ,
(
r 和 2
1.10 球坐标中两个点 1
)
,
1
1
故 E 与 B 构成的夹角为
明 1R 和 2R 间夹角的余弦为
cos
cos
sin
cos(
sin
)
1
2
2
1
2
cos
cos
sin
sin
sin
e
e
r
1
1
1
1
1
1
y
z
sin
cos
sin
sin
cos
e
r
r
2
2
2
2
2
r
1
r
2
解 由
1
r
1
e
2
2
y
z
得到
cos
cos
R e
1
x
R
e
2
x
R R
1
2
R R
1
2
3 2
20
e ，所以
z
5
)
1
cos (
19 (10 2)
E B
E B
,
,
r 定出两个位置矢量 1R 和 2R 。证
) 153.6
3 2
)
2
2
sin
sin
sin
2
1
sin
sin
cos
2
1
1
1
2
cos
sin sin
cos
2
1
2
1
1
cos
) cos
1
2
1
2
sin
sin
) cos
sin
(cos
cos(
cos
sin
sin
2
2
2
1
1
cos
cos
1
2
1
2
- 4 -
1.11 一球面 S 的半径为5 ，球心在原点上，计算： ( 3sin ) d
S
r
e
S
的值。
解 ( 3sin ) d
e
r
S
S
S
( 3sin )
e
r
e
r
d
S
2
0
d
0
3sin
2
5 sin d
2
75
1.12 在由 5r 、 0z 和 4
z 围成的圆柱形区域，对矢量
A e
r
r
2
e 验
z
2
z
证散度定理。
解 在圆柱坐标系中
所以
又
故有
d
A S
S
A
d
2
(
e
r
r
S
4 2
5
0 0
1200
A
d
A
2
r
(3
r
1
r
5
0
e
d
0
2 ) ( d
z
r
4
d
0
z
e
z
2
(
rr
)
2) d
r
z
r
(2 ) 3
r
z
2
1200
S
r
e
d
S
e
z
d
S
z
)
2
5d d
z
5 2
0 0
2 4 d d
r
r
1200
A S
d
2
x y
x
S
e
2
1.13 求（1）矢量
的散度；（2）求 A 对中
心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散
度定理。
A e
2
2 3
x y z
24
e
2
x
y
z
A
解 （1）
（2） A 对中心在原点的一个单位立方体的积分为
2
x
2
2 3
x y z
z
) 2
(
2
)
2
x y
y
)
2
(
x
x
(24
2
x y
72
2
2 2
x y z
A
d
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
(2
x
2
2
x y
72
2
2 2
x y z
)d d d
x y z
1
24
（3） A 对此立方体表面的积分
(
1
2
2
) d d
y z
1 2 1 2
1 2 1 2
2
2 (
x
1
2
2
) d d
x z
(
1
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2
) d d
y z
2
2 (
x
1
2
2
) d d
x z
A S
d
S
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
24
1 2 1 2
1 2 1 2
24
2
x y
2
(
1
2
3
) d d
x y
1
24
3
) d d
x y
2
(
2
x y
1
2
A S
d
S
1 2 1 2
1
24
A
d
故有
1.14 计算矢量 r 对一个球心在原 点、半径为 a 的球表面的积分，并求 r
对球体积的积分。
解
S
r
d
S
S
r e
r
d
S
2
0
d
0
2
aa
sin d
a
4
3
A
0
e
y
y
2
x
e
x
x
x
e
e
z
z
2
y z
2 2
e 沿圆周 2
x
y
A S
( 2
e
x
0 0
d
8
S
2
A l
d
C
xy
x
S
A S
d
2
yz
e
2
x
z
x
yz
e
z
2 )
x
e
z
d d
x
y
8
又
所以
故有
- 5 -
3
又在球坐标系中，
(
2
r r
) 3
，所以
1
2
r
r
r
d
r
A e
2
a
0 0 0
2
3 sin d d d
r
a
4
r
y
x
2
x
x
e
2
y z
1.15 求矢量
e 沿 xy 平面上的一个边长为 2 的正方形回
路的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求 A对此回路所
包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。
2
d
x x
d
x x
2
2 d
0d
解
8
y
y
2
2
2
z
d
A l
C
0
0
0
1.16 求矢量
A e
x
2
y
2
的线积分，再计算 A对此
a
圆面积的积分。
d
A l
解
C
d
x x
2
xy
d
y
C
2
0
2
(
a
cos sin
4
a
2
cos
sin
)d
2
4
a
4
(
e
d
A S
A
y
x
S
1.17 证 明 ：（ 1 ）
x
x
e
y
S
y
z
A
x
y
R
R e
z
e ， A 为一常矢量。
z
3
R
x
x
y
y
z
z
解 （1）
)
e
z
d
S
S
2
y
d
S
2
r
2
sin
d d
r
r
3
；（ 2 ）
R 0 ；（ 3 ） (
A R
)
a
2
0 0
4
a
4
A
。 其 中
（2）
R
（3）设
A e
A
x
x
e
z
z
y
0
e
x
x
x
e
y
e
y
y
y
A
y
x
e ，则
z
A
z
A R
A x A y A z
x
z
y
，故
(
A R
)
e
x
(
A x A y A z
x
z
y
)
e
y
(
A x A y A z
x
z
y
)
y
e
x
z
e
z
F e
1.18 一径向矢量场
么特点呢？
y
(
A x A y A z
x
z
( )
r f r
表示，如果
)
A
x
e
A
A
y
e
A
z
z
y
，那么函数 ( )
F
0
f r 会有什
解 在圆柱坐标系中，由
可得到
F
1 d [
d
r
r
rf r
( )] 0
- 6 -
C 为任意常数。
( ) C
f r
r
1 d [
d
r
r
可得到
在球坐标系中，由
2
2
r f r
( )] 0
F
( ) C
f r
2
r
E e
y
的线
x
2
：（1）沿抛物线
y ；（2）沿连接该两点的直线。这个 E 是保守
x
e ，试求从点 1(2,1, 1)
y
到点 2(8,2, 1)
P
P
x
1.19 给定矢量函数
E l
积分 d
场吗？
解 （1）
d
E l
C
C
E
x
d
x E
y
d
y
d
y x
x
d
y
C
2
2
2
y
y
y
d(2
) 2
1
到点 2(8,2, 1)
（2）连接点 1(2,1, 1)
2
1
8
2
x
y
P
P
d
y
即
2
1
2
6
y
d
y
14
直线方程为
x
6
y
4 0
x
y
C
E
故
d
E l
C
d
x E
y
x
d
y
2
1
y
d(6
y
4)
(6
y
4)d
y
2
1
(12
y
4)d
y
14
由此可见积分与路径无关，故是保守场。
2x yz
1.20 求标量函数
e
e
e
向由单位矢量
x
z
的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方
y
3
50
(
4
50
x
2x
xyz
4
50
e
x
e
5
50
e
)
2
x yz
e
y
e
z
2
x z
5
50
定出；求 (2,3,1) 点的方向导数值。
y
y
e
z
(
2
x yz
)
e
z
z
(
2
x yz
)
2
x y
的方向导数
解
故沿方向
e
l
e
x
3
50
e
y
为
e
l
6
l
xyz
50
4
2
x z
50
5
2
x y
50
点 (2,3,1) 处沿 le 的方向导数值为
60
50
l
16
50
36
50
112
50
1.21 试 采 用 与 推 导 直 角 坐 标 中
A
y
y
A
z
z
相似的方法推导圆柱坐标下
A
A
x
x
的公式
r
r
z
r
o
z
z
y
x
题 1.21 图
A
1
r
r
(
rA
r
)
A
r
A
z
z
。
解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 A 沿 re 方向穿出
该六面体的表面的通量为
z
z
z
A
r
(
r
r
r
r
)d d
r
z
z
[(
r
)
(
r A r
r
r
,
, )
z
( ,
rA r
r
A r
r
r
d d
r
z
, )]
z
(
rA
r
r
z
)
r
z
r
同理
- 7 -
)
1
r
(
rA
r
r
r z
z
r
A
d d
r
z
r z
z
r
( ,
A r
z
, )]
z
d d
r
A
z
A
r z
r
z
A
r
, )
z
r
r
d d
r
z
z
A r
z
z
d d
r
r
r
, )]
z r r
,
z
z
)
( ,
A r
z
z
r
r
z
r
[
r
r
[
z
( ,
A r
A
z
( ,
A r
z
r r
A
z
z
因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面 的通量为
A
z
z
z
Ψ Ψ Ψ Ψ
r
故得到圆柱坐标下的散度表达式
z
1[
r
)
(
rA
r
r
A
lim
0
]
A
r
1
r
A
z
z
(
rA
r
r
)
A
r
A
z
z
1.22 方程
u
2
2
x
a
2
2
y
b
矢量。
解 由于
给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向
2
2
z
c
u
e
x
x
2
2
a
e
y
y
2
2
b
e
z
u
2 (
x
2
a
2
)
(
y
2
b
2
)
(
z
2
c
z
2
2
c
2
)
故椭球表面上任意点的单位法向矢量为
n
u
u
(
e
x
x
2
a
e
y
y
2
b
e
z
z
2
c
)
(
x
2
a
2
)
(
y
2
b
2
)
(
z
2
c
2
)
1.23 现有三个矢量 A 、 B 、C 为
cos cos
sin cos
e
e
2
2
cos
sin
2 sin
e
e
z
z
rz
z
2
2
(3
2 )
2
e
e
z
y
x
x
A e
r
B e
C e
r
y
z
x
sin
（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量
函数的旋度表示？
（2）求出这些矢量的源分布。
解（1）在球坐标系中
A
1
2
r
r
(
2
r A
r
)
1
sin
r
(sin
A
)
1
sin
A
r
2sin cos
(sin cos cos )
r
cos
sin
r
- 8 -
( sin )
1
sin
r
0
1
2
r
r
2
(
r
sin cos )
2
r
sin cos
A
1
sin
2
r
e
r
r
A
r
1
sin
2
r
1
sin
r
r
cos
sin
r
e
r
rA
e
r
r
r
sin cos
sin
e
sin
A
e
r
cos cos
r
r
sin
e
sin sin
r
0
故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表
示；
在圆柱坐标系中
B =
1
r
1
r
r
(
r
z
2
)
1
r
sin )
2
z
B
1
r
sin
r
B
z
z
2
z
(
(
rB
r
2
rz
sin
r
cos )
z
(2 sin )
rz
2 sin
r
2 sin
r
B
1
r
e
r
r
B
r
r
e
rB
e
z
z
B
z
1
r
e
r
r
sin
r
e
cos
2
rz
e
z
z
2 sin
rz
0
2
z
故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示；
直角在坐标系中
C =
C
x
x
(3
y
2
C
y
y
2 )
x
x
C
e
x
x
2
3
y
2
x
e
y
y
2
x
2
x
)
z
(2 ) 0
z
e
z
(2
x
6 )
y
(
C
z
z
y
e
z
z
2
z
故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示。
（2）这些矢量的源分布为
0
A ；
，
C e
z
1.24 利用直角坐标，证明
0
，
2 sinr
0
，
A
B =
C
B ；
6 )
(2
y
0
x
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
