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2015年宁夏成人高考专升本高等数学一真题及答案.doc
2015 年宁夏成人高考专升本高等数学一真题及答案
高等数学（一）
一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.
1. 当 0b ，当
0x
时， bx
sin 是 2x 的
A. 高阶无穷小量
B. 等价无穷小量
C. 同阶但不等价无穷小量
D. 低阶无穷小量
2. 设函数 )(xf 可导，且
lim
0
x
f
1(
x
)
x
f
)1(
2
，则
)1(f
A. 2
1
2
C.
B. 1
D. 0
（
）
（
）
3. 函数
)(
xf
3
x
12
x
1
的单调减区间为
（
）
A.
(
,
)
C.
)2,2(
B.
(
)2,
D.
,2(
)
4. 设
xf
( 0
)
0
，则
x
0x
（
）
A. 为 )(xf 的驻点
B. 不为
)(xf 的驻点
C. 为 )(xf 的极大值点
D. 为 )(xf 的极小值点
5. 下列函数中为
)(
xf
的原函数的是
2
xe
（
）
A.
xe
C.
xe2
6.
x
cos
x
2
dx
A.
sin2
2
x
C
C.
sin2
x 2
C
B.
D.
B.
D.
7.
d
dx
0
x
te
2
t dt
xe2
1
2
xe22
1
2
sin
1
2
sin
2
x
C
x 2
C
（
）
（
）
A.
2xxe
C.
2x
xe
8. 设
z ，则
yx
z
x
A.
1yyx
C.
1yx
9. 设
z
2
x
3
y
，则
)1,1(dz
A.
dx 2
3
dy
C.
2
dx
dy
10. 级数
n
1
n
)1(
k
2
n
（ k 为非零常数）
B.
2xxe
D.
xe
2x
B.
x y ln
x
D.
x y
ln1
x
B.
2
dx 3
dy
D.
dx 3
dy
（
）
（
）
（
）
A. 绝对收敛
C. 发散
B. 条件收敛
D. 收敛性与 k 的取值有关
二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分. 把答案填在题中横线上.
11.
lim
0
x
1ln(
2
x
2
x
)
_________.
12. 函数
)(
xf
的间断点为 x
_________.
2
2
x
x
xe
，则 dy
_________.
x
100)
，则 y
_________.
_________.
dx
_________.
13. 设
y
2
x
14. 设
2(
y
dx
3
x
x
1
1
x
3 dx
e x
1
1
2
15.
16.
17.
0
_________.
18. 设
z
sin2
y
x
，则
z
x
_________.
19. 微分方程
y
2
x
的通解为 y
_________.
20. 级数
1n
nx 的收敛半径 R _________.
三、解答题：21～28 小题，共 70 分. 解答应写出推理、演算步骤.
21. （本题满分 8 分）
)1
x
1
sin(
lim 2
x
计算
x
1
.
22. （本题满分 8 分）
设曲线方程为
y
e
x
x
，求
0 xy 以及该曲线在点 )1,0( 处的法线方程.
23. （本题满分 8 分）
计算
e x
x
dx
.
24. （本题满分 8 分）
1
计算 e
1
x
ln
x
dx
.
25. （本题满分 8 分）
求曲线
y 与直线
3x
y 所围图形（如图中阴影部分所示）
x
的面积 S .
26. （本题满分 10 分）
设二元函数
z
2
x
xy
2
y
y
x
5
，求 z 的极值.
27. （本题满分 10 分）
求微分方程
y
1
x
y
x
的通解.
28. （本题满分 10 分）
计算
D
x2
ydxdy
，其中 D 是由直线
y ， 1x 及 x 轴围成的有界区域.
x
2015 年高等数学（一）试题参考答案
5. B
10. A
4. A
9. B
12. 2
14.
100
2(
x
99)
16. 0
18.
2
y cos
x
20. 1
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分.
1. D
6. D
二、填空题：每小题 4 分，共 40 分.
11. 1
3. C
8. A
2. C
7. B
13.
2(
x
e
x)
dx
15.
3ln
Cx
3 e
)1
(
1
3
x 2
C
17.
19.
三、解答题：共 70 分.
)1
x
1
sin(
2
x
21. 解：
lim
1
x
22. 解：
y
xe
1
，
)1
cos(
x
2
x
lim
1
x
1 .
2
xy
20
.
曲线在点 )1,0( 处的法线方程为
y
1
1
2
(
x
)0
，
即
x
2
y
02
.
23. 解：设
x ，则
t
x ，
2t
dx
2
tdt
.
x
e
x
dx
t
e
t
2
tdt
2
e t
dt
e t
2
C
24. 解：
1
e
1
ln
x
e x
2
x
dx
C
.
1
x
e
1
dx
e
1
x
ln
x
dx
ln
x
e
1
1
2
(ln
2
x
)
e
1
3 .
2
25. 解：由对称性知
x
3)
dx
2
x
1
4
4
x
1
0
S
x
1
(2
0
12
2
1 .
2
z
x
26. 解：
2
x
y
1
，
z
y
x
2
y
1
.
由
2
x
01
x
2
01
y
y
，
，
解得
x ，
y
1
.1
z
2
2
x
A
2
，
2
z
yx
1
，
z
2
2
y
2
.
z
2
2
x
)1,1(
2
，
B
2
z
yx
)1,1(
1
，
C
z
2
2
y
)1,1(
2
.
2
B
AC
03
，
0A ，
因此点
)1,1( 为 z 的极小值点，极小值为 6 .
27. 解：
e
y
1
x
dx
1
x
dx
xe
dx
C
1
x
11
3
x
2
dx
C
x
3
Cx
.
28. 解：
D
2
x
ydxdy
1
0
dx
x
0
2
x
ydy
x
4
dx
5
1
0
0
1
1
2
1 x
10
1
10
.
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