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论文研究-光学格子中孤子传输的损耗影响及其补偿研究 .pdf

发布时间：2022-05-29 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.45M 资料格式：pdf 举报 版权申诉
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    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 光学格子中孤子传输的损耗影响及其补偿 研究# 李怀，曾云凌，傅喜泉** （湖南大学信息科学与工程学院，长沙 410082） 摘要：通过研究 Kerr 非线性光学格子中(即具有折射率周期性调制结构)高斯光束的演化，利 用解析和数值的方法分析了介质损耗对形成格子孤子传输的影响，提出了采用改变传输方向 上的调制深度来补偿介质损耗所导致的效应。结果表明：损耗会导致功率下降，打破衍射与 非线性效应平衡从而破坏了格子孤子的形成和稳定传输，通过改变传输方向上的调制深度能 有效的抑制损耗作用对孤子的影响。光学格子中周期格子的作用有类似非线性的良好特性， 为更好地控制格子孤子地形成和传输提供了条件。 关键词：光孤子；光学格子；损耗；变分法 中图分类号：4265s, 4265J, 4265, 0200 Study of loss compensated of Kerr-type optical lattice soliton LI Huai, ZENG Yunling, FU Xiquan (School of Information science and Engineering, Hunan University,Changsha 410082) Abstract: The paper studies the Gaussian beam evolution of Kerr-type optical lattice (ie. Media with transverse periodic lattice modulation in the propagation radiation). We emphasize the influence of beam with media loss and how to reduce the influence analytically and numerically. It is shown that the media loss reduce the peak power of lattice soliton, decreasing the nonlinear effects, disturbing the balance between the diffraction and nonlinear effects. As a result, lattice soliton can’t propagate steadily and optical beam dispersed finally. It is possible that proper changing the longitudinal lattice depth can complete suppression of the loss’s influence and the beam can be regenerated successfully. There are analogy characteristic in the action of periodic lattice’s potential of optical and nonlinear. The periodic potential offers the better method to control the lattice soliton formation and propagation. Key words: Optical Soliton;optical lattice;loss;variational approach 0 引言 研究周期性光学结构中产生和控制光信息流的方法和技术，具有重要科学意义和应用价 值。当光束在周期性格子结构中传输时将经历一个空间上的折射率周期调制，这一行为类似 于电子在半导体中的传输[1]，并表现出在离散系统中传输时所具有的一些典型特征．其中， 衍射的可控性为光束的空间控制提供了新的手段，这是采用其他方法所无法实现的．当光束 功率相对较低的情况下，光束能量将流向越来越多的相邻波导中，这种过程可以看作是某种 离散衍射。所以可以采用最小的光束功率达到所需要的非线性效应，与可控的衍射效应平衡， 以实现无衍射传输，即格子孤子传输[1－4]．格子孤子具有许多独特的性质，最典型的就是角 度和功率受控的传输特性，利用这些性质可有效地制作高速全光开关和光逻辑器件，实现全 光路由．随着无缺陷波导格子制造工艺的日趋成熟和实验观察条件的具备，1998 年 Eisenberg 等人才在人工制备的一维 AlGaAs 半导体波导阵列中第一个演示了离散孤子的实验[5],并且在 这个领域有了飞速的发展。然而，自 2003 年 Fleischer 等[2]第一次在实验中观测到光致非线 基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20070532075）资助课题 作者简介：李怀（1987—），男，硕士研究生，主要研究方向：激光光学和非线性光学 通信联系人：傅喜泉（1977—），教授，主要研究方向：激光技术、非线性光学、超短脉冲传输与技术. E-mail: fuxiquan@gmail.com - 1 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 性光学格子孤子以来，在光折变介质中光致波导阵列形成格子孤子的研究又备受关注[6]。目 前，非线性光波导阵列和连续非线性介质中的孤子传输特性已有了大量的研究[1, 7-11]。本文 研究的传输系统由折射率在横向上周期性调制的连续非线性介质构成，其折射率的连续可调 导致该结构具有灵活可调的离散性[12]。Kartashov 等人研究了衍射的可控性，这为光束的空 间控制提供了新的手段[13－19]，而这是采用其他方法所无法实现的。同时，Kartashov 等研究 的光束可控制是在忽略介质损耗的条件下进行的，尽管制造材料和工艺的日趋完美，但实际 上介质损耗是客观存在的，不容忽略。本文主要从介质损耗和纵向调制深度等方面分析一维 光学格子中格子孤子的传输特性，探究改变纵向调制深度来减少介质损耗效应的影响。 1 理论模型与解析结果 在横向 x 方向上折射率具有线性周期调制的自聚焦克尔型非线性介质中，考虑介质损耗 的存在，光束沿纵向 z 方向的传输满足下面的非线性薛定谔方程[13] i q ∂ ∂ ξ = − 1 2 2 q ∂ 2 ∂ η - q q 2 - p ( ) ) ξ η R ( q − i 2 q α ， (1) 式中， q ( , ) ηξ = ( A ( , ) ηξ I 1 2 0 ， ， )1 2 L L dif nl difLξ = z p L L = ref dif ( cos 2 πη ＝ ， ) T R ( ) η ． ) 这里， ( , 宽度， ( )p ξ 为波导参数， A ηξ 为光束的慢变包络振幅， 0I 为入射强度， 0x rη= ， 0r 为入射光束的初始 c n Iω 2 为非线性长度，ω为光 = 2 ， nδ 为线性折射率的调制深度， ( )R η 描述了折射率的分布， T 为调 束频率， 制周期，α为介质损耗。文中线性折射率的调制深度近似于折射率的非线性作用大小。 为衍射长度， cω= refL nδ ω＝ ) c ( difL nlL n 0 2 r 0 0 方程(1)描述了横向折射率周期性调制非线性介质中波的传输。对类似于方程(1)的非线 性薛定谔方程的精确解析求解是比较困难的，即使在某些特定的边值条件下能得到严格的特 殊解，这些解析结果的适用范围也很有限．近似方法相对简单和灵活，利用这些方法可以获 得光束非线性传输的一些总体规律[8]。这里我们利用变分法来讨论方程(1)的传输特性，方程 (1)的拉格朗日密度 gL 为 L g = exp ( ) αξ ∗ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ i 2 ⎛ ⎜ ⎝ q * q ∂ ξ ∂ − * q q ⎞ ∂ ⎟ ξ ∂ ⎠ + 1 2 2 q ∂ η ∂ − 1 2 4 q − p 这里设方程(1)的解带有参数的高斯尝试函数 ( ) ) ξ η R ( 2 q ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ， (2) q ( ) ξη , = A ( ) ξ exp ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 2 η ( ) r ξ 2 2 + ib ( ) 2 ξη ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ， (3) 其中 ( )A ξ 为振幅，是个复数， ( ) r ξ 光束宽度， ( )b ξ 是频率啁啾参量。得到拉格朗日 量 - 2 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn L = ∞ −∞ ∫ L d g η = π 2 exp ( ) αξ ∗ ir A ⎛ ⎜ ⎝ dA * d ξ − A * dA ⎞ ⎟ d ξ ⎠ + 2 A r 3 db d ξ − 4 A 2 r ， （4） ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 r 4 + 1 2 2 r A 3 2 b 4 + ⎛ ⎜ ⎝ − 2 pr A 2 exp ⎞ ⎟ ⎠ − r 2 2 π T 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⎠⎦ 由变分原理 ∫ Ldδ ξ= ，并利用(4)式得到 L δ A * δ = ⇒ 0 ( ) αξ ) exp d ξ ⎡ = − ⎢ ⎣ ir dA d ξ + 3 Ar 0 ( d irA − 2 2 A Ar − 2 prA exp exp ( ) αξ db d ξ ⎛ ⎜ ⎝ + − Ar 1 2 r 2 2 π T 2 + db d ξ ⎛ ⎜ ⎝ exp A r * 3 1 2 r 2 2 π T 2 − ⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⎠⎦ ( 3 ( 2 b 4 + r − 4 ) ， (5) b 4 2 − 4 + r ) ， (6) exp ( ) αξ ⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⎠⎦ L δ A δ = ⇒ − 0 ( d irA * ( ) αξ ) exp d ξ = ir ⎡ ⎢ ⎣ dA * d ξ + A r * 3 − 2 2 A A r * − 2 prA * L δ r δ = ⇒ 0 ⎛ i A * ⎜ ⎝ dA d ξ − A dA * d ξ ⎞ ⎟ ⎠ = 3 2 A r 2 db d ξ + 6 2 A r b 2 2 − 2 − p A 2 exp 2 2 − A r 2 r 2 2 2 π T 2 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ − 4 A ， (7) − r 2 2 π T 2 ⎛ ⎜ ⎝ 1 ⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝ = 4 2 A r b 3 exp ( ) αξ , (8) L δ b δ = ⇒ 0 ( d r A 3 ( ) αξ ) 2 exp d ξ 由(5) ，(6)式分析得 ⎛ i A * ⎜ ⎝ dA d ξ − A dA * d ξ ⎞ ⎟ ⎠ = 2 A r 2 db d ξ + 1 2 2 A r 2 ( 2 b 4 + r 4 − ) − 2 4 A ， (9) 2 ( d r A ( ) αξ ) − 2 2 = ⇒ 0 r A exp d ξ 2 p A exp ⎛ −⎜ ⎝ r 2 2 π T 2 ⎞ ⎟ ⎠ exp ( ) αξ = r A 0 0 2 = ， (10) E 0 其中 0r ， 0A 分别是初始得光束宽度、光束振幅。由(10)式易得到 2 r A = E 0 exp( ) αξ − ， 这表明由于介质损耗的影响，脉冲宽度与幅度的平方的积成指数衰减趋势从而破坏了孤子稳 定传输的条件，这类似于光孤子在光纤中传输时损耗对孤子的影响。 由(8) ，(10)得 由(7) ，(9)得 dr dξ = 2 rb , (11) 2 2 r db d ξ + 4 r b 2 2 − r 2 − + 2 2 2 A + 2 pr 2 4 2 π T exp − r 2 2 π T 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ = 0 , (12) - 3 -
    中国科技论文在线 由(9) ，(12)消去 db dξ 和b 得 d r 2 d 2 ξ − 3 − r + E 2 0 ( ) exp αξ + pr 2 4 2 π T 2 2 r 对(9)式采用无量纲化，这里定义相对光束宽度 exp ⎛ ⎜ ⎝ y= r http://www.paper.edu.cn − r 2 2 π T 2 ⎞ ⎟ ⎠ = 0 ， (13) 0 r ，则 r 2 2 π 0 T 2 exp − ⎛ ⎜ ⎝ d y 2 d 2 ξ − 1 r y 4 0 3 + E 0 exp 2 2 r y 3 0 ( ) αξ + p y 4 2 π T 2 2 y ⎞ ⎟ ⎠ = 0 。 (14) 对(14)式这样的关于 ( ) y ξ 的变分方程形式，可以模拟一个粒子在势阱中运动的情形，故 其写成运动方程形式： dy ⎞ ⎟ d ξ ⎠ 1 2 ⎛ ⎜ ⎝ 2 + 1 r y 4 0 2 2 − E 0 exp 2 r y 3 0 ( ) αξ − p 2 exp r 2 0 ( 2 2 πτ − 0 2 y ) + = c 0 ， (15) τ = 为光束初始宽度与格子调制周期的比值，c 是积分常数，这里假设由静止入射， 0 r 0 T 即 0ξ= 时， dy d ξξ = = ， 0 1 y = 。 0 | 0 从(15)式可知一势为： ( V y ) = 1 r y 4 0 2 2 − E 0 exp 2 r y 3 0 要想形成严格精确孤子传输的条件，必有 − p 2 exp r 2 0 ( ) αξ dV = = ，即 dy 0 | 1 y ( 2 2 πτ − 0 2 y ) , (16) p ( ) ξ = ) ( exp 2 2 πτ 0 r 4 2 2 2 πτ 0 0 − E exp 0 4 2 ( 2 2 πτ 0 a 2 2 πτ 0 0 ) exp ( ) αξ − = ) ( exp 2 2 πτ 0 r 4 2 2 2 πτ 0 0 − ⎡ 1 ⎢ ⎣ E 0 2 exp ( ) αξ − ⎤ ⎥ ⎦ ， (17) 由(17)式可以看出采用改变传输方向上的调制深度来补偿介质损耗作用的方案理论上 是成立的，在一定的孤子初试条件和入射状态下，调制深度只和介质损耗有关。纵向调制深 度受损耗及纵向距离的共同影响如图 1 所示，相关初值的选取[19]，损耗越大，其纵向调制 深度变化就越大，即在图上表现为越陡。这从方程（1）直观地理解为损耗项的出现打破了 等式两边的平衡，折射率的调制深度的增大可以弥补损耗项对等式的影响，损耗越大，调制 深度改变得越大。物理上可理解为介质损耗导致孤子功率的减少，非线性效应变弱，光束由 于衍射效应被展宽，由解析式（10）也能看出由于介质损耗的影响，脉冲宽度与幅度的平方 积成指数衰减趋势。折射率的调制深度近似于折射率的非线性作用大小，就像一个粒子在势 阱中运动的情形，势阱越深，对粒子运动的限制作用就越强，所以当调制深度增大一定值时， 离散衍射效应（线性耦合效应）和波导非线性效应的精确平衡产生格子孤子使光束重现。 - 4 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 图 1 ( ) p ξ 与α的关系 Fig.1 The relationship between = E E 0 1.189207, 1.189207, = 1, = A 0 1, r 参数设定： 0 = The parameters： 0 r = A 0 0 ( )p ξ and α / 2 1.414213, = T π 1.414213, = T π = / 2 2 数值模拟 为了证明以上理论解析结果的正确性，同时直观的反映孤子光束的传输特性，利用分步 傅里叶算法数值求解方程(1)。取初始入射高斯光束形式为 η 。 0 0b 为初始频率啁啾幅，在这里我们不考虑啁啾的影响，令啁啾为零。图 2 所示是在合适的 参数下[13, 19]，格子孤子光束的三种传输状态。当不考虑介质损耗时，如图 2(a)所示，光束以 某一个类似波导的路径为中心纵向传输。这是因为当光束在周期性格子结构中传输时将经历 , =0)=A exp(- /2r +ib ηξ 2 η q( 2 0 0 2 ) 空间上的折射率周期调制，横向折射率的周期调制形成了周期势阱，孤子光束在横向方向上 跨越势阱传输时受到周期势阱的影响最终被某波导所束缚形成稳定的传输路径。此外，改变 介质参数，孤子初始入射条件或孤子光束的初始状态都可以改变孤子被束缚的路径，例如， 入射角的细微变化都会导致光束的输出端位置的极大变化。相对无损耗状态，我们考虑介质 损耗时，没有损耗补偿的条件下，如图 2(b)所示，此时，损耗作用可以看成是不利的，因为 损耗作用降低了孤子的峰值功率，非线性效应减弱，打破了线性衍射效应和非线性效应之间 的平衡。结果是光束随传输距离的增加而展宽，其现象就好像在连续的普通介质中一般，光 束离开中心波导在线性衍射的作用下不会被某一波导所束缚，孤子最终衰减掉，最终光束散 射而消失。为克服介质损耗所带来的不利影响，我们采用改变传输方向上的调制深度来补偿 介质损耗作用的方案，其模拟结果如图 2(c)，表明采用此种方案增大了纵向折射率调制深度 引起非线性效应的增大，当非线性效应和线性衍射效应平衡时，重新满足形成空间孤子的条 件。这就好比把小球放在一个比较深的势阱中运动，阱越深，小球就越不能摆脱阱的束缚。 表明采用此种补偿方案可有效的抑制介质损耗所带来的效应，孤子被相同波导束缚，光束路 径几乎恢复到无损耗的状态。此外，我们通过数值模拟证明了文献[13]中光束呈直线穿越相 邻波导和在相邻波导中呈振荡形式的两种状态下，采用改变传输方向上的调制深度来补偿介 质损耗作用同样有效。 - 5 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn 图 2 格子孤子光束的三种传输状态 Fig.2 Three transfer status of lattice soliton a—介质损耗为零， =0, p=1.00 α ；b—有损耗作用但无损耗补偿， =0.006, p=1.00 α a—No media loss， =0, p=1.00 α ；b—Have media loss but no compensation， =0.006, p=1.00 c—改变纵向折射率调制深度作损耗补偿， =0.006, α c—Changing the longitudinal modulation depth of refractive index， =0.006, p α 3.4124*(1 exp( p = α − 3.4124*(1 exp( = )) αξ − − )) αξ − 3 结论 理论分析和数值模拟都证明了，在具有横向折射率周期性调制的克尔型非线性介质中， 采用改变传输方向上的调制深度来补偿介质损耗作用的方案能有效的抑制损耗的不利影响。 利用变分法，根据带有折射率周期调制函数和损耗项的非线性薛定谔方程，推导了格子孤子 的参数演化方程，分析得到了格子孤子形成和稳定传输的条件．介质损耗打破了线性折射率 周期调制结构中类似离散衍射的特性与非线性效应之间的精确平衡，导致光束发散．为解决 损耗对光束的可控传输特性的负面影响，我们提出并证明采用改变纵向折射率调制深度来补 偿损耗作用以形成格子孤子的方案。当纵向折射率调制深度与介质损耗满足一定条件时，可 以维持传输过程中衍射和非线性效应的精确平衡，从而形成三阶非线性格子孤子，始终保持 光束形状不变，光束可被类似波导形式的固定路径俘获，沿该路径向前传输。这些格子孤子 形成和稳定传输以及可控特性的分析结果，对全光开关和路由等光控制技术的研究和应用具 有重要意义。 - 6 -
    中国科技论文在线 http://www.paper.edu.cn [参考文献] (References) [1] Christodoulides D N, Lederer F, Silberberg Y 2003 Nature 424 817 [2] Fleischer J W, Segev M, Efremidis N K et al 2003 Nature 422 147 [3] Lederer F and Silberberg Y 2002 Opt. Photon. News 13(2) 48 [4] Stegeman G I , Segev M 1999 Science 19 1518 [5] H. S. Eisenberg and Y.Silberberg Phy Rev Lett 81 3383 [6] Fleischer J W, Bartal G, Cohen O et al 2004 Phys. Rev. Lett. 92 123904 [7] Hasegawa A 2000 Chaos 10 475 [8] Kivshar Y S and Agrawal G P 2003 Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals (San Diego: Academic Press) Chap. 2 [9] 刘劲松 2004 物理学报 53 3016 Liu J S 2004 Acta Phys. Sin. 53 3016 (in Chinese) [10] 文双春、钱列加、范滇元 2003 物理学报 52 1640 766-768 29:1102-1104 Lett. 2005, 95,023902 29:1918-1920 2006 31:238-240 Wen S C, Qian L J, Fan D Y 2003 Acta Phys. Sin. 52 1640 (in Chinese) [11] Wen S C, Fan D Y 2001 Chin. Phys. 10 1032 [12] Cohen O, Schwartz T, Fleischer J W et al 2003 Phys. Rev. Lett. 91 113901 [13] Y. V. Kartashov et al. Spatial soliton switching in quasi-continuous optical arrays. Opt. Lett. 2004, 29: [14] Y. V. Kartashov et al. Parametric amplification of soliton steering in optical lattices. Opt. Lett.2004, [15] D. Mihalache, D. Mazilu, Flederer et al. Stable spatiotemporal Solitons in Bessel Optical Lattices. Phys. Rev. [16] Y. V. Kartashov et al. Stable soliton complexes in two-dimensional photonic lattices. Opt. Lett.2004, [17] Y. V. Kartashov, A. A. Egorov, V. A. Vysloukh, et al. Shaping soliton properties in Mathieu lattices, Opt. Lett. nonlinear media. Phys. Rev. E 2006 73: 025601 [18] D. Mihalache, D. Mazilu, F. Lederer et al. Three-dimensional spatiotemporal optical solitons in nonlocal [19] 吴锦花、傅喜泉、文双春 2006 物理学报 55 1840 Wu J H, Fu X Q, Wen S C 2006 Acta Phys.Sin 55 1840 (in Chinese) - 7 -
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