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2022-2023学年湖北省武汉市江汉区高三上学期开学检测数学试题及答案.doc
2022-2023 学年湖北省武汉市江汉区高三上学期开学检测数
学试题及答案
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
5
x
1
，
2
B
x x
, 1
1,
)
B.
2
x
3 0
，则 A B
（
C. （－5，－3]
）
D.
是符合题目要求的.
1. 已知集合
A
x
A. [－5，－3）
, 1
1,
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式确定集合 B ，然后由交集的定义计算．
【详解】
B
{ |
x x
2
2
x
3 0} { |
x x
或 1}
x ，
3
{ | 5
x
x
3}
∴
A B
故选：A．
2. 在复平面内，复数
z
i
1 i
（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（
）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【答案】D
【解析】
【分析】先求出复数 z，再求 z的共轭复数，即可判断.
【详解】
z
i
1 i
1
2
i
2
.
i 1 i
1 i 1 i
1
i
2 2
所以复数 z的共轭复数
z ，对应的点在第四象限.
故选：D
3. 某校高三数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：28，29，42，32，41，56，45，
48，55，59，则这组数据的第 80 百分位数为（
）
A. 54.5
【答案】C
B. 55
C. 55.5
D. 56
【解析】
【分析】由百分位数的定义计算．
【详解】这 10 个数按从小到大顺序排列为：28，29，32，41，42，45，48，55，56，59，
10
80
100
，第 8 个数是 55，第 9 个数是 56，
8
因此第 80 百分位数为
故选：C．
55 56
2
55.5
．
4. 若二项式
7a
x
x
1
的展开式中 3
x
的系数是 84，则实数 a （
）
A. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用二项式
B. 5 4
C. 1
D.
2
4
a b 展开式的第 1r 项公式 1 Cr
n
T
r
n
a
n r
b
r
，即可解出答案.
【详解】二项式
7a
x
x
展开式的第 1r 项为
T
r
1
C
r
7
x
7
r
r
a
x
=C
r
7
r
a x
7 2
r
.
的系数是 84，即 7 2
r
5
.
3
r
1
又展开式中 3
x
84
所以 5
7C
5
a ，解得
a
5 4
故选：B.
5. 若函数
f x
a
ln
x
在点（1，f（1））处的切线的斜率为 1，则 2
a
b
x
2
b 的最小值为
（
）
A.
1
2
【答案】A
【解析】
B.
2
2
C.
3
2
D.
3
4
【分析】由导数几何意义得
a
x
【详解】由已知
( )
f x
1
a b ，然后由基本不等式得最小值．
b
2
x
，所以 (1)
，
a b
1
f
2
a
2
b
(
a
2
)
b
2
1
2
，当且仅当
a
b 时等号成立．
1
2
故选：A．
6. 2022 年 7 月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的
影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为 56cm，下底直径为
24cm，容器深 18cm，若容器中积水深 9cm，则平地降雨量是（
）（注：平地降雨量等于
容器中积水体积除以容器的上底面积）
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
A. 2cm
【答案】B
【解析】
【分析】由题可知积水深度恰为容器高度一半，根据比例可知积水上底直径，代入圆台体积
公式可求得积水体积，进而求出平地降雨量.
【详解】根据题意可得，容器下底面面积为
π
2
24
2
144π
，上底面面积为
π
2
56
2
784π
,
因为容器中积水高度为容器高度的
9
18
，则积水上底面恰为容器的中截面，
1
2
所以积水上底直径为
56 24
2
40
cm，积水上底面面积为
π
2
40
2
400π
，
所以积水体积为
S
1
3
S
1
S
2
则平地降雨量是
故选：B.
S S
1 2
2352π
784π
1 144π 400π
3
cm.
h
3
144π 400π
9
2352π
，
7. 已知椭圆 ：
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
的两个焦点为 1F ， 2F ，过 2F 的直线与 交于 A，
0)
b
AF
B两点.若 2
23
F B
，
AB
2
AF
1
，则 的离心率为（
）
A.
1
5
B.
5
5
C.
10
5
D.
15
5
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将 2AF ,
AB AF
1
,
,
1BF 用 a表示出,再在三角形中
利用余弦定理建立方程,即可求解.
【详解】设 2F B m ,则 2
AF
m
3
,
AB
2
BF
由椭圆的定义可知 1
BF
2
2
a
5
m
,所以
m
在△ABF1 中,
cos
A
AB
2
BF
1
2
2
AF
1
2
AB AF
1
2
8
a
5
2
AF
1
m
.
a
4
2
5
4
a
5
8
a
5
2
4
a
5
1
AF
,所以 2
a
6
5
,
AF
1
a
4
5
.
2
8
a
5
.
1
4
所以在△AF1F2 中,
2
F F
1 2
AF
1
2
2
AF
2
2
AF AF
2
1
cos
A
,
即
2
4
c
2
4
a
5
2
4
a
5
2
2
4
a
5
1
4
整理可得：
2
e
2
c
2
a
2
,
5
10
5
所以
e
故选：C
8. 若
x
1 e
y
x
2ln
y
2
，其中 2x ， 2
y ，则下列结论一定成立的是（
）
B.
x
22e
y
C. x
y
D.
A. 2x
y
2ex
y
【答案】D
【解析】
【分析】由题知 e
y
2
y
2
ln
e
x
x
x
x
y
1 2ln
y
2
，再构造函数
f x
2ex
y ，进而得答案.
y
2
x
e
1 ln
，进而根据 1 ln
x
x
得
x
,
x
，结合其单调性得 ln
x
y
2
，即
y
2
ln
y
2
y
2
2
【详解】解：因为
x
所以 e
x
x
y
1 2ln
x
1 e
y
y
2
2
y
2
2ln
y
2
1 2ln
y ，
，其中 2x ， 2
y
2
1 ln
y
2
y
2
y
2
ln
y
2
，其中 2x ， 2
y ，
令
y
1 ln
x
x
故
x
0,1
时， '
y
， '
y
x
1
1
x
1 0
，
1 0
，
x
1
，
x
y
x
1 ln
y
1 ln
x
x
x
单调递减，
单调递增，
，即 1 ln
x
x
，当且仅当 1x 时等号成立，
x
x
x
0
x 时， '
y
1,
x
所以
y
y
2
x
所以 e
所以 1 ln
y
2
1 ln
x
y y
,
2
ln
x
，
2
y
2
故令
f x
x
e
x
,
x
2
，则 e
x
x
y
2
ln
y
2
等价于
f x
f
ln
y
2
，
因为
x
f
x
e
1 0,
x
2
，故函数
f x
ex
在
x
2, 单调递增，
所以
f x
所以 e
x
ln
f
y
2
y ，即 2ex
2
等价于 ln
x
y
2
，即 ln e
x
x
ln
y
2
y .
故选：D
二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 如图，已知正方体
正确的是（
）
ABCD A BC D
1
1 1 1
， ,M N 分别是 1A D ， 1D B 的中点，则下列结论
A.
A D D B
1
1
B.
A D D B
1
1
C.
/ /MN 平面
DCBA
1
111
D. MN
平面
BDD B
1 1
【答案】AC
【解析】
【分析】连接 1AD ，由线面垂直的判定定理可证明 1A D 平面
ABC D ，进而可判断 A，B；
1
1
由线面平行的判定定理可判断 C；先假设 MN 平面
BDD B ，则
1 1
MN BD
1
，进而
AB BD ，从而可判断 D
1
【详解】连接 1AD ，如图：
由正方体可知 1
A D AD
1
，
因为 AB 平面 1
A ADD ， 1A D 平面 1
A ADD ，
1
1
所以
AB
A D
1
，
又 1A D AB ， 1
A D AD
1
，
AB AD A
1
，
,AB AD 平面
1
所以 1A D 平面
ABC D ，
1
1
ABC D ，
1
1
又 1BD 平面
ABC D ，
1
1
所以 1
A D D B
1
，故 A 正确，B 错误；
由题意知 MN 为
ABD
1
的中位线，
所以
//MN AB ，
又 1 1 / /
A B
AB ,
所以 1 1 / /
A B MN
又 1 1A B 平面
DCBA
1
111
， MN 平面
DCBA
111
1
，
所以
/ /MN 平面
DCBA
111
1
，故 C 正确；
若 MN 平面
BDD B ，BD1 在平面 BDD1B1 中，则
1 1
MN BD
1
，进而
AB BD ，
1
在
ABD
中易知 AB 与 1BD 不垂直，故 D 错误；
1
故选：AC
）
B. ac bc＜
C.
a b
c
0
D.
10. 若
3
c
a
＜ ＜ ，则（
0
3
c
b
A. ＜a
b
1a
0
＜ ＜
b
【答案】ACD
【解析】
【分析】当 0c 时，由
3
c
a
＜ ＜ 得
0
3
c
b
b a ，0
0
＜ ＜ ，当 0c 时，由
1a
b
3
c
a
＜ ＜ 得
0
3
c
b
b
a ， 0
0
＜ ＜ ，可判断 A D；由
1a
b
3
c
a
＜ ＜ 得
0
3
c
b
3
c
a
-
3
c
b
3
c
a
b
ab
0
，且 a 与b
同号，即
ab 可判断 BC.
0
【详解】由
3
c
a
＜ ＜ 得 0
c ，
0
3
c
b
当 0c 时，由
3
c
a
＜ ＜ 得
0
3
c
b
1
a
＜ ＜ ，即
0
1
b
b a ，可得 0
0
1a
＜ ＜ ，
b
当 0c 时，由
3
c
a
＜ ＜ 得
0
3
c
b
1
a
，即
0
1
b
b
a ，所以 0
0
＜ ＜ ，故 A D 正确；.
1a
b
由
3
c
a
＜ ＜ 得
0
3
c
b
3
c
a
-
3
c
b
3
c
a
b
ab
0
，且 a 与b 同号，即
ab ，
0
所以 c 与b a 异号，即 c 与 a b 同号，由 ac bc＜ 得
a b c ，故 B 错误；故 C 正确；
＜0
故选：ACD.
11. 设函数
f x
sin
x
3
(
0)
，若
f x 在[0，2π]有且仅有 5 个零点，则（
）
A.
f x 在（0，2π）有且仅有 3 个极大值点
B.
f x 在（0，2π）有且仅有 2 个
极小值点
C.
f x 在（0，
10
【答案】AD
【解析】
）单调递增
D. 的取值范围是[
7
3
，
17
6
）
【分析】由[0,2 ] 求得
x
的范围，结合正弦函数性质得的范围，判断 D，利用正弦
3
函数的极大值、极小值判断 ABC．
【详解】
0 ， 0
时，
2x
x
3
f x 在[0，2π]有且仅有 5 个零点，则5
2
3
2
，
3
，
6
3
7
3
，D 正确；
17
6
此时
x
，
2
11
3
2
极小值，B 错；
2
3
，
5
2
9
2
，
31
12
，即
时， ( )
f x 取得极大值，A 正确；
31
12
时，
17
6
11
x
2
7
2
3
2
3
,
,
时， ( )
f x 均取得
10
)
时，
x
)
3
3 10
，
3
(
,
，则
7
3
10
2
17
30
3
，因此 ( )
f x 在
上不递增，C 错．
x
(0,
(0,
10
)
故选：AD．
12. 已知数列 na 满足： 1 1
a ，
a
n
1 3
a
2
n
1
5
a
2
1
n
4
n
，下列说法正确的是
2
,
a a
n
n
3
1
,
a
1
n
n
n
N
成等差数列
2
*
B.
a
n
1
3
a
n
a
n
1
n
2
D.
*Nn ，
,
a a
n
n
,
a
1
一定不成
2
n
（
A.
）
，
Nn
C.
n
1
2
na
等比数列
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意得
a
a
n
1
a
n
1
n
1
a
n
1
3
a
n
0
n
2
，再结合数列单调性与
na 得
0
a
n
1
a
1
n
3
a
n
0
n
，可判断 B 选项；由递推关系式易得
2
a
1
1,
a
2
3,
a
3
，进而可判断 A 选项；根据数列单调性得
8
2
a
n
a
1
n
3
n
N
*
，进而
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