2008年天津高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年天津高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位， 3 i    1 i  1 i  (A) 1 (B) 1 （2）设变量 yx, 满足约束条件 (D) i ，则目标函数 z  5 x  y 的最大值为 i (C) 0 y x  1 x y  2 1 x y        (C) (A) 2 (B) 3 4 (D) 5 （3）设函数   xf  sin 2 x       ,  2  Rx ，则  xf 是 (A) 最小正周期为的奇函数 (B) 最小正周期为的偶函数 (C) 最小正周期为  2 的奇函数 (D) 最小正周期为  2 的偶函数（4）设 ba, 是两条直线， , 是两个平面，则 a  的一个充分条件是 b (A) (C) （5）设椭圆 a    ,b // , a  b  ,  // , (B) (D) a  b  ,  // , a    ,b // , 2 2 x m  2 y 12  m  1 m  1  上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1，则 P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C) 1 2 (D) 72 7  2   ,3 T   | ax  x  R ，则 a 的取值范围是（6）设集合 S   | xx 3 a  3a 或 (A) (C) （7）设函数   xf  1 1 1a 1  x a  ,8 TS 1 a  3a 或 3 1a (B) (D)  0  x 1 的反函数为  x 1 ，则 f

(A) (B) (C) (D) f f f f  x 1 在其定义域上是增函数且最大值为 1  x 1 在其定义域上是减函数且最小值为 0  x 1 在其定义域上是减函数且最大值为 1  x 1 在其定义域上是增函数且最小值为 0 （8）已知函数   xf     1 x  1 x  12  x x   0 0 ，则不等式   x x  1  xf  1 1   的解集是 (B) (D)  | xx  x  | 1 12  x 12  1|  x  x  | xx 12  (A) (C) （9）已知函数  xf 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ,0 上是增函数.令 a (A) sin 2    , f   7   c  a b b  f   cos (B) c 5    , c f  7   b  a tan (C) 5    7  b ，则  c a (D) a  b c （10）有 8 张卡片分别标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求 3 行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有 (A) 1344 种 (B) 1248 种 (C) 1056 种 (D) 960 种第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3．本卷共 12 小题，共 100 分。二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上.）（11） x     5 2 x    的二项展开式中 2x 的系数是（用数字作答）. （12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 34 ，则该正方体的表面积为 . （13）已知圆 C 的圆心与抛物线 y 2  的焦点关于直线 4 x y  对称，直线 x 4 x 3  y  2 0 与圆 C 相交于 BA, 两点，且 6AB ,则圆 C 的方程为 .

（14）如图，在平行四边形 ABCD 中， AC    ,2,1 BD   2,3 ，则 AD  AC  . （15）已知数列 na 中， a 1  ,1 a n 1   a n  1 1 n  3  Nn  * ，则 lim a  n n  . （16）设 1a ，若仅有一个常数 c 使得对于任意的  2, aa x ，都有 y  2aa ,[ ] 满足方程 log a x  log a y  c ，这时， a 的取值的集合为 . 三、解答题（本题共 6 道大题，满分 76 分）（17）（本小题满分 12 分）已知 cos   x      4  （Ⅰ）求 x    2 10 sin 的值；    3  （Ⅱ）求 sin 2  x , x         4 2  , . 的值. （18）（本小题满分 12 分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为均未命中的概率为 . （Ⅰ）求乙投球的命中率 p ； 1 16 1 2 与 p ，且乙投球 2 次（Ⅱ）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.  已知 AB 如图，在四棱锥（19）（本小题满分 12 分） ABCD P  ,2 中，底面 ABCD 是矩形. ,3 ,2 AD AD 平面 PAB ；（Ⅰ）证明（Ⅱ）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角 ,22 的大小. PAB PD PA    P  BD  A   60 . （20）（本小题满分 12 分）

已知函数   xf  x a x  xf   xb 0 ，其中 Rba , . 在点  ,2 f P   2 处的切线方程为 y  x 3  1 ，求函数  xf 的解析式；（Ⅰ）若曲线 y  （Ⅱ）讨论函数  xf 的单调性；（Ⅲ）若对于任意的 a   1 2 2,   ，不等式   10xf 在 1  1,    4 上恒成立，求b 的取值范围. （21）（本小题满分 14 分）已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是  1 F 0,3 ，一条渐近线的方程是 5 x 2  y  0 . （Ⅰ）求双曲线 C 的方程；（Ⅱ）若以  0kk 为斜率的直线l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N，且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 81 2 ，求 k 的取值范围. （22）（本小题满分 14 分）在数列  na 与  nb 中， a 1 ,1 1  b  4 ，数列  na 的前 n 项和 nS 满足 nS  1 n  n   S 3 n  0 , 2 na 为 nb 与 1nb 的等比中项， 1 *Nn  . （Ⅰ）求 2 ,ba 2 的值；（II）求数列{an}与{bn}的通项公式；（III）设 Tn=(-1) 1a b1+(-1) 2a b2+……+(-1) na bn ，n  N 证明|Tn|<2n2, n≥3

参考答案（2） D (3) B (4) C (5) B (7) D (8) C (9) A (10) B 24 (13) x2+(y-1)2=10 (16) {2} (12) 7 6 一、选择题： (1) (6) A A 二、填空题： (11) 40 (14) 3 (15) 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）解法一：因为 x    3,    4 2  ，所以 x sin   x      4  1  cos 2   x      4  27 10      4 2   4 , ，于是 sin x   sin    x     27 10       4 4  2 2 2 10    sin   x      4  cos  4  cos   x   2 2  4 5  4 4 sin    解法二：由题设得 2 2 cos x  2 2 sin x  2 10 ，即 cos x  sin x  1 5 又 sin2x+cos2x=1，从而 25sin2x-5sinx-12=0，解得 sinx= 4 5 或 sinx= 3 5 因为 3, x   4  2    ，所以 sin x 4 5 （Ⅱ）解：因为 x    2sin x  sin2 x cos x 3,    2 4  24 25  , ，故 cos x  1  sin 2 x  1    4 5 2    3 5 cos 2 x  2 cos 2 x  1 所以 sin 2 x        3  2sin x cos  3  cos 2 x sin 24   3 （18）解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件 A，“乙投球一次命中”为事件 B 由题意得 7 25 37  50

或（舍去），所以乙投球的命中率为 2  p  1 16  1  解得 2    BP 3p 4  1  5 4 （Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知  AP   可能的取值为 0，1，2，3，故 3 4   BP   AP ,  1 2 1 2 ,   BP ,   3 4 1 4  P    0  P    1    1 32 2          APBPBPCBBPAP  1 1   2 2     BBPAP   2 1   4   1   2    32 4 1 4  1 4 7 32  1 2  P    3   BBPAP       P   2  1   P   0 的分布列为 2    9 32 1   2    3 4  1  P    P   3  15 32  P 0 1 32 的数学期望 E 0 1 32 1  7 32 （19） 1 7 32 15 32  2 3 9 32 2 15 32 9 32  2  3 解：（Ⅰ）证明：在 PAD 中，由题设 PA  PD ,2  22 ，AD=2 可得 2 PA  2 AD  2 PD ，于是 AD  。在矩形 ABCD 中， PA AD  AB .又 PA  AB  A ，所以 AD 平面 PAB . AD （Ⅱ）解：由题设，异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 PAB 中，由余弦定理得 BC // ，所以 PCB （或其补角）是 PB  2 PA  2 AB  2 PA  AB  cos PAB  7 由（Ⅰ）知 AD 平面 PAB ， PB 平面 PAB ，

所以 AD  ，因而 PB BC  ，于是 PBC PB 是直角三角形，故 tan PCB  PB BC  7 2 所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 arctan （Ⅲ）解：过点 P 做因为 AB PH  于 H，过点 H 做 PH 平面 PAB ，所以 AD 平面 PAB ，， PH 平面 ABCD ，故 HE 为 PE 在平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知， .又  A  BD PH 于 E，连结 PE AB AD 是二面角 P  BD  A 的平面角。 . 7 2 HE  AD  PE 因而 BD  ，从而 PEH 由题设可得， 60 sin PH BH AH   ,3 BD     HE   BH  PA AB AD BD  ,2 4 13 AH  PA 2  AB   cos AD  60 2   ,1 ,13 于是在 PHE Rt 中， tan PEH  PH HE  所以二面角 P  BD  A 的大小为 arctan 39 4 39 4 ．（20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分 12 分．（Ⅰ）解：  ( ) 1 f x   ，由导数的几何意义得 (2) 3  ，于是 f  a 2 x a   ． 8 由切点 (2, P f (2)) 在直线 3 x y 1  上可得 2    ，解得 9b  ． 7 b    ． 9 8 x 所以函数 ( ) （Ⅱ）解： x ( ) f x f x 的解析式为 a 2 x  （ 0   ．  ( ) 1 f x f x 当 0 a  时，显然 ( ) 0 x  ）．这时 ( ) f x 在 (  ， (0, ,0) ) 内是增函数．当 0 a  时，令 ( ) 0 f x  ，解得 x   ． a 当 x 变化时， ( ) f x ， ( ) f x 的变化情况如下表： x f x ( ) ( ) f x ( ,   )a a ( ,0)a (0, )a ＋ ↗ 0 极大值－ ↘ － ↘ a 0 极小值 ( ,a  ) ＋ ↗

所以 ( ) f x 在 ( ,   )a ， ( ,a  内是增函数，在 ( ) ,0)a ，(0, a )内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知， ( ) f x 在的 a  1[ 2 ,2] ，不等式 ( f x  在 1) 0 1[ 4 1[ 4 ,1] 上的最大值为 1( f 与 (1) 4 ) f 中的较大者，对于任意 ,1] 上恒成立，当且仅当     f f 10 )  1( 4 ) 10 (1  ，即  b     b 39 4  4 9 a   a ，对任意的 1[ 2 ,2] 成立． a  7 4 从而得 b  ，所以满足条件的b 的取值范围是 (  ． ] 7, 4 （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分 14 分．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为 2 2 x a  2 2 y b  （ 0, b a 1  ）．由题设得 0  2  a   b  a  2 b  9 5 2 ，解得 2 2  a   b    4 5 ，所以双曲线 C 的方程为 2 x 4 2 y 5  ． 1 （Ⅱ）解：设直线l 的方程为 y  kx m  （ 0 k  ）．点 M x y ， ( ) , N x y 的坐标满足方 ( ) , 1 1 2 2 y  程组 2 x 4     kx m  2 y 5   1 将①式代入②式，得 2 x 4  ( kx m ) 2 5  ，整理得 1 2 (5 4 )  k 2 x  8 kmx m  4 2  20 0  ．此方程有两个不等实根，于是 5 4k 2  ，且 0 ( 8    km ) 2  整理得 2 m   5 4 k 2  ． 0 ③ 4(5 4 )(4  k 2 2 m  20) 0  ．由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标 0 x y 满足 0 ( ) , x 0  x 2  x 1  2 4 km 5 4 k  2 y ， 0  从而线段 MN 的垂直平分线的方程为 y  0  kx m 5 m 5 4 k  2  5 m 5 4 k  1 (   k ． 2 x  4 km 5 4 k  ) 2 ．

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