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2000年安徽高考理科数学真题及答案.doc
2000 年安徽高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷
3 至 8 页．共 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡
上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数和差化积公式
sin
θ
sin
2
sin
sin
θ
sin
2
cos
θ
2
θ
2
cos
sin
θ
θ
2
2
cos
θ
cos
2
cos
cos
θ
cos
2
sin
θ
2
θ
cos
θ
2
θ
sin
2
2
正棱台、圆台的侧面积公式
S
台侧
′
c
(
1
2
c l
)
其中 c′、c 分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式
V
台体
1
3
(S
′
S S S h
)
′
其中 S′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高
一、选择题：本大题共 14 小题；第(1)─(10)题每小题 4 分，第(11)—(14)题每小题
5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)
复数
z = 3 + i
1
，
z = 1- i
2
，则
z = z
1
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
· 在复平面内的对应点位于 [
z
2
(2)
设全集
I = {a,b,c,d,e}
，集合
M = {a,c,d} N = {b,d,e}
，
，那么 ∩ 是 [
M N
]
]
（3）双曲线
2
2
x
b
2
2
y
a
1
的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 [
]
A
．
2
B
．
3
C
．
2
(4)曲线 xy=1 的参数方程是
[
]
D
．
3
2
x
．
y
x
．
y
1
2
t
1
2
t
cos
sec
x
B
．
y
sin
csc
a
a
,
a
a
D
x
．
y
,
tga
.
ctga
A
C
(5)一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是 [
]
A．1∶3
D．2∶9
(6)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1 的位置关系是
C．1∶2
B．2∶3
A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合
(7)函数 y=lg|x|
A．是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(-∞,0)上单调递减
C．是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增
D．是奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减
[
[
]
]
(8)从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)
的不同排列共有
A．120 个
B．480 个
C．720 个
D．840 个
(9)椭圆短轴长是 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆的中心到其准线距离是 [
]
A
．
8
5
5
(10)函数
y
2 sin
1
x
B
．
4
5
5
C
．
8
3
3
的最大值是
cos
x
D
．
4
3
[
3
]
A
．
2
2
-1
B
．
2
2
+1
C
1
．
2
2
D
．
1
2
2
(11)
设复数
z = 2sin
1
θ
+ icos
θ
(
π
4
＜θ＜
π
2
)
在复平面上对应向量
z
2
r
(cos
i
sin ),
tg
则
[
]
A
．
2
2
tg
tg
C
．
2
tg
θ
θ
1
θ
1
1
1
B
．
2tg
2
tg
-1
1
θ
θ
1
θ
D
．
2
tg
1
(12)设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确．．．的是 [
]
A
． α β＜
tg
tg
1
B
． α
sin
β＜
C
． α
cos
cos
β＞
1
D
．
tg
(
α β ＜
)
tg
sin
1
2
2
α β
2
(13)
已知等差数列 满足
{a }
n
a
1
a
2
a
3
…
a
101
0,
则有
A
C
a
．
a
．
1
3
101
+ a
0
＞
+ a = 0
99
[
]
＜
0
+ a
100
51
a
B
．
a
D
．
2
51
(14)
已知函数
f(x) = ax 3
2
bx
cx d
的图象如右图 则
,
[
]
A．b∈(-∞,0)
B．b∈(0,1)
C．b∈(1,2)
D．b∈(2,+∞)
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．第Ⅰ卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2．答卷前将密封线内的项目写清楚．
二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上．
(15)
函数
y = cos(
2
π π
3
4
x +
)
的最小正周期是
_ _ _ _ _ _ _.
(16)下图是一体积为 72 的正四面体，连结两个面的重心 E、F，则线段 EF 的长是______．
(17) ( x -
1
x3
)10
展开式中的常数项是 _ _ _ _ _ _.
(18)在空间，下列命题正确的是______．（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）
①如果两直线 a、b 分别与直线 l 平行，那么 a∥b
②如果直线 a 与平面β内的一条直线 b 平行，那么 a∥β
③如果直线 a 与平面β内的两条直线 b、c 都垂直，那么 a⊥β
④如果平面β内的一条直线 a 垂直平面γ，那么β⊥γ
三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
(19)（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A、B、C 对边分别为 a、b、c．证明：
2
a
2
b
2
c
sin(
A B
)
sin
C
(20)
在直角梯形
ABCD
中，∠ ∠
D = BAD = 90
°，
AD = DC =
1
2
AB
=a（如图一），将△ADC 沿 AC 折起，使 D 到 D′．记面 ACD′为α，面 ABC 为β，面 BCD′
为γ．
(Ⅰ)若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小；
(Ⅱ)若二面角α-AC-β为 60°（如图三），求三棱锥 D′-ABC 的体积．
(21)（本小题满分 12 分）
设函数 f(x)=|lgx|，若 0＜a＜b，且(a)＞f(b)，证明：ab＜1.
(22)（本小题满分 12 分）
y
如图，设点 和 为抛物线
A B
2
4
px p
(
0
)
＞ 上原点以外的两个动点 已
.
知 OA⊥OB，OM⊥AB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
(23)（本小题满分 12 分）
某地区上年度电价为 0.8 元/kW·h，年用电量为 akW·h，本年度计划将电价降到 0.55
元/kW·h 至 0.75 元/kW·h 之间，而用户期望电价为 0.4 元/kW·h，经测算，下调电价后
新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为 k）．该地区电力的成
本价为 0.3 元/kW·h．
(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式；
(Ⅱ)设 k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长
20%？
（注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)）
(24)（本小题满分 14 分）
已知函数
f x
( )
其中
f x
( )
1
2
(
x
1
2
)
1
2
, ],
1
[ ,
0
1
2
f x
( )
1
x
∈
f x
( ),
2
x
[
∈
2
)
,
1
f x
( )
2
2
x
2
(
Ⅰ 在下面坐标系上画出
)
y
( )
f x
的图象
(
Ⅱ 设
)
y
( )(
f x x
2
[
∈
1
2
, ])
1
的反函数为
y
( ),
g x a
,
1
a
2
(
g a
1
),
…
,
1
a
n
g a
(
n
);
1 求数列 的通项公式 并求
a
{ }
n
,
lim ;
n
n
a
(
Ⅲ 若
)
x
0
[0,
1
2
), x
1
(
f x
0
),
(
f x
1
)
x
0
,
求
x
0
.
绝密★启用前
说明：
2000 年普通高等学校春季招生考试（北京、安徽卷）
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
一、本解答指出了每题考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细
则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变试题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。第(1)—(10)题每小题 4 分，第(11)—(14)
题每小题 5 分，满分 60 分。
(1)D
(6)B
(11)A
(2)A
(7)B
(12)D
(3)C
(8)B
(13)C
(4)D
(9)D
(14)A
(5)C
(10)B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。
(15) 3
(16) 2 2
(
17 210
)
(
18 ① ④
)
,
三、解答题
(19)本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识，考查三角函数简单的
变形技能，满分 12 分。
证明：由余弦定理 a 2
2
b
2
c
2
bc
cos
A
,
2
b
2
a
2
c
2
ac
cos
B
,
整理得
依正弦定理 有
,
∴
2
a
,
a
c
a
2
2
b
2
c
sin
sin
2
b
2
c
A
C
,
c
cos
B b
cos
A
c
,
B
C
sin cos
C
B
A
b
c
A
cos
sin
sin
B
sin
A B
)
sin
C
sin
sin(
(20)本小题主要考查空间线面关系，及运算、推理、空间想象能力，满分 12 分。
解：(Ⅰ)在直角梯形 ABCD 中，由已知△DAC 为等腰直角三角形，
∴
°
过 作 ⊥
AC
a
2
,
C CH AB
,
由
AC BC
CAB
∠
2
AB
a
a
2
.
可推得
45
,
∴ ⊥
AC BC
.
取 AC 的中点 E，连结 D′E，
则 D′E⊥AC。
又 ∵二面角 a-AC-β为直角二面角，
又∵
∴D′E⊥β。
BC
平面β
BC D E
∴ ⊥ ′
BC a, D C a,
BC D C
∴ ⊥ 而 ′
∴ ⊥ ′
∴∠D′CA 为二面角β-BC-γ的平面角。
由于∠D′CA=45°，
∴ 二面角β-BC-γ为 45°。
(Ⅱ)取 AC 的中点 E，连结 D′E，再过 D′作 D′O⊥β，垂足为 O，连结 OE。
∵AC⊥D′E，
∴AC⊥OE。
∴∠D′EO 为二面角α-AC-β的平面角，
∴∠D′EO=60°
D E
在 △ ′ 中， ′
∴
′
ABC
V
D
Rt D OE
1
3
1
3
1
6
S
△
ABC
1
2
1
2
D O
AC
2
2
a
,
,
· ′
×
AC BC D O
· · ′
× × ×
2
a
2
a
6
4
a
6
12
3
a
(21)本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决
问题的能力，满分 12 分。
证明：由已知
f x
( )
│ │
lg
x
1
x
lg , (
≤ ＜
0
lg , (
x
x
x
)
1
＜ ＜
),
∵0＜a＜b, f(a)＞f(b),
∴a、b 不能同时在区间[1,+∞)上，又由于 0＜a＜b，故必有 a∈(0，1)；
若 b∈(0,1)，显然有 ab＜1，
若 b∈[1,+∞)，由 f(a)-f(b)＞0，
有-lga-lgb＞0
故 lgab＜0,
∴ab＜1
(2)本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以
及方程化简的基本技能，满分 12 分。
解：如图，点 ， 在抛物线
A B
y 2 4px
上
,
设
A
(
2
y
4
A
p
,
y
A
),
B
(
2
y
4
B
p
,
y
B
),
OA OB
、 的斜率分别为 、
k
OA
k
OB
∴ k
OA
4
y
p
A
,
k
OB
4
y
p
B
y
y
4
A
2
A
p
由 ⊥ ，得 ·
OA OB
k
OA
k
OB
2
16
p
y y
A B
1
,
依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程
(
y
A
y
B
)(
y
y
A
)
4
(
p x
①
y
4
2
A
p
),
由 ⊥ ，得直线 方程
OM AB
OM
y
y
A
4
y
p
B
x
②
③
设点
M(x, y)
，则 满足②、③两式，将②式两边同时乘以
x,y
x
p4
,
并利用③式整理得
x
4
p
y
2
A
yy
A
2
(
x
2
y
)
0
④
由③、④两式得
x
4
p
y y
A B
2
(
x
2
y
)
0
,
由①式知
∴
x
2
,
y
2
y y
A B
0
4
px
2
16
p
,
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