2020 年西藏高考文科数学试题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合
A ,,,,, ,
1 2 3 5 7 11
B
x
|
3
,则 A∩B中元素的个数为
x
15
A.2
B.3
C.4
D.5
2.若
(1 i
z ,则 z=
1 i
)
A.1–i
B.1+i
C.–i
D.i
3.设一组样本数据 x1,x2,…,xn的方差为 0.01,则数据 10x1,10x2,…,10xn的方差为
A.0.01
B.0.1
C.1
D.10
4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺
I
炎累计确诊病例数 I(t)(t的单位:天)的 Logistic 模型:
1 e
I( *t )=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则 *t 约为(ln19≈3)
( )=
t
K
0.23( 53)
t
,其中 K为最大确诊病例数.当
A.60
B.63
C.66
D.69
sin
(
sin
5.已知
A.
1
2
sin
(
π
6
=
)
=
)1,则
π
3
B. 3
3
C.
2
3
6.在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若
D. 2
2
=1
,则点 C的轨迹为
AC BC
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
7.设 O为坐标原点,直线 x=2 与抛物线 C:
2
y
2
px p
交于 D,E两点,若 OD⊥OE,则 C的焦点坐标
0
为
A.(
1
4
,0)
B.(
8.点 (0
)1, 到直线
y
k x
,0)
1
2
1
距离的最大值为
C.(1,0)
D.(2,0)
A.1
B. 2
C. 3
D.2
9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是
A.6+4 2
B.4+4 2
C.6+2 3
D.4+2 3
10.设 a=log32,b=log53,c=
2
3
,则
A.a0,b>0)的一条渐近线为 y= 2 x,则 C的离心率为_________.
15.设函数
( )
f x
x
e
x a
.若
f
(1)
,则 a=_________.
e
4
16.已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
a
设等比数列{an}满足 1
a
2
,
4
a
3
a
1
.
8
(1)求{an}的通项公式;
(2)记 nS 为数列{log3an}的前 n项和.若
S
m
S
m
1
18.(12 分)
,求 m.
S
m
3
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据
得到下表(单位:天):
锻炼人次
空气质量等级
1(优)
2(良)
3(轻度污染)
4(中度污染)
[0,200]
(200,400]
(400,600]
2
5
6
7
16
10
7
2
25
12
8
0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为 1 或 2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为 3 或 4,
则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的 2×2 列联表,并根据列联表,判断是否有 95%的
把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附:
2
K
(
2
)
(
n ad bc
)(
a b c d a c b d
)(
)(
,
)
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12 分)
如图,在长方体
ABCD A B C D
1 1 1 1
中,点 E ,F 分别在棱 1DD , 1BB 上,且
2DE ED ,
1
BF
2
FB
1
.证
明:
(1)当 AB BC 时, EF
AC ;
(2)点 1C 在平面 AEF 内.
20.(12 分)
已知函数
( )
f x
3
x
kx
2
.
k
(1)讨论 ( )
f x 的单调性;
(2)若 ( )
f x 有三个零点,求 k 的取值范围.
21.(12 分)
C
:
2
x
25
已知椭圆
y
m
(1)求 C 的方程;
2
2
1(0
m
的离心率为 15
5)
4
, A , B 分别为 C 的左、右顶点.
(2)若点 P 在 C 上,点 Q 在直线 6
x 上,且|
BP
|
|
BQ
|
, BP BQ ,求 APQ△
的面积.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分)
在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为
x
y
2
t
t
2 3
t
2
,
2
t
(t为参数且 t≠1),C与坐标轴交于 A,B两
点.
(1)求|
|AB ;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB的极坐标方程.
23.[选修 4-5:不等式选讲] (10 分)
设 a,b,c R,a+b+c=0,abc=1.
(1)证明:ab+bc+ca<0;
(2)用 max{a,b,c}表示 a,b,c中的最大值,证明:max{a,b,c}≥ 3 4 .
参考答案
2.D
6.A
10.A
3.C
7.B
11.C
14. 3
15.1
4.C
8.B
12.D
16. 2
3
选择题答案
一、选择题
1.B
5.B
9.C
非选择题答案
二、填空题
13.7
三、解答题
17.解:(1)设{ }na 的公比为 q ,则
na
1
n
a q
1
.由已知得
a
1
2
a q
1
a q
1
a
1
4
8
,
解得 1 1,
q
a
.
3
所以{ }na 的通项公式为
na
1=3n
.
log
(2)由(1)知 3
na
n 故
1.
S
n
1) .
(
n n
2
由
S
m
S
m
1
S
m
3
得 (
m m
1)
(
m
1)
解得
m (舍去), 6m .
1
m m
(
3)(
m
,即 2
m
2)
m
5
.
6 0
18.解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率的估计值如下表:
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
1 (100 20 300 35 500 45) 350
100
.
(3)根据所给数据,可得 2 2 列联表:
人次≤400
人次>400
空气质量好
33
37
空气质量不好
22
8
根据列联表得
2
K
100 (33 8 22 37)
55 45 70 30
2
5.820
.
由于 5.820 3.841
,故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
19.解:(1)如图,连结 BD , 1
1B D .因为 AB BC ,所以四边形 ABCD 为正方形,故 AC BD .
又因为 1BB 平面 ABCD ,于是
AC BB .所以 AC 平面 1
BB D D .
1
1
由于 EF 平面 1
BB D D ,所以 EF
1
AC .
(2)如图,在棱 1AA 上取点 G ,使得
AG
2
GA
1
,连结 1GD , 1FC , FG ,
D E
因为 1
2
3
DD
1
,
AG
2
3
AA
1
DD
, 1
∥ ,所以 1ED
AA
1
AG∥ ,于是四边形 1ED GA 为平行四边形,
故
AE GD∥ .
1
B F
因为 1
1
3
BB
1
, 1
A G
1
3
AA
1
BB
, 1
AA
1
∥ ,所以
FG
∥
A B
1 1
,
FG
C D
1
1
∥
,四边形
四边形,故 1
GD FC∥ .
1
于是
AE FC∥ .所以
1
,
A E F C 四点共面,即点 1C 在平面 AEF 内.
,
,
1
20.解:(1)
( )
f x
3
x
2
.
k
当k=0时,
( )
f x
3
x ,故 ( )
f x 在 (
, 单调递增;
)
当k<0时,
( ) 3
f x
x
2
,故 ( )
f x 在 (
0
k
, 单调递增.
)
FGD C 为平行
1
1
当k>0时,令 ( )
f x
,得
0
x
3
k
3
.当
,
x
(
时, ( )
f x
)
,
当
x
3(
k
3
减.
.故 ( )
f x 在
0
(
,
3
k
3
3
k
3
)
)
时, ( )
f x
, 3(
3
,
0
3
k
3
(
x
;当
3
k
3
k 单调递增,在 3
k
,
3
)
)
(
时, ( ) 0
f x
;
,
3
k
3
)
单调递
(2)由(1)知,当 0
k 时, ( )
f x 在 (
, 单调递增, ( )
f x 不可能有三个零点.
为 ( )
f x 的极大值点,
为 ( )
f x 的极小值点.
3
k
3
且 (
f
1
k
k , (
1) 0
f k
1)
,
0
(
f
3
k
3
)
.
0
当k>0时,
=
x
此时,
k
1
3
k
3
3
k
3
)
3=
k
3
x
根据 ( )
f x 的单调性,当且仅当 3(
k
3
f
,即 2
) 0
k
2
k
3
k
9
时, ( )
f x 有三个零点,解得
0
k .因
4
27
此k的取值范围为 (0
)4
, .
27
21.解:(1)由题设可得
2
25
m
5
15
4
所以C 的方程为
2
x
25
2
y
25
16
1
.
,得 2
m ,
25
16
(2)设 (
P x
,
P
y Q y ,根据对称性可设
P
(6,
),
)
Q
Qy ,由题意知
0
Py ,
0
由已知可得 (5,0)
B
,直线 BP的方程为
y
1 (
y
Q
x
,所以
5)
|
BP
|
y
1P
,
y
2
Q
|
BQ
|
1
,
y
2
Q
因为|
BP
|
|
BQ
|
,所以
Py ,将
1
Py 代入C 的方程,解得
1
Px 或 3 .
3
由直线 BP的方程得
Qy 或 8.
2
所以点 ,P Q 的坐标分别为 1
P
(3,1),
Q
1
(6,2);
P
2
( 3,1),
Q
2
(6,8)
.
|
|
PQ
1 1
10
,直线 1
1PQ 的方程为
y
积为 1
2
10
2
10
5
2
.
x ,点 ( 5,0)
A
1
3
到直线 1
1PQ 的距离为 10
2
,故
APQ△
1
1
的面
,点 A 到直线 2
10
3
2P Q 的距离为 130
26
,故
AP Q△
2
2
的
|
|
PQ
2
2
130
,直线 2
2P Q 的方程为
y
x
7
9
面积为 1
2
130
26
130
综上, APQ△
的面积为
5
2
.
5
2
.
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程]
解:(1)因为 t≠1,由
2
t
t
2
得
0
t ,所以 C与 y轴的交点为(0,12);
2
由
2 3
t
2
t
得 t=2,所以 C与 x轴的交点为 ( 4,0)
.
0
故|
AB
| 4 10
.
(2)由(1)可知,直线 AB的直角坐标方程为
得直线 AB的极坐标方程 3 cos
sin
12 0
x
4
.
y
12
1
,将
x
cos
,
y
sin
代入,
23.[选修 4—5:不等式选讲]
解:(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以
ab bc
ca
1 [(
2
1 (
2
0 .
a
2
a b c
)
2
2
(
a
2
b
2
c
)]
2
b
2
c
)
(2)不妨设 max{a,b,c}=a,因为
abc
1,
a
故 3 4
a ,所以
max{ ,
a b c
, }
3
4
.
,所以 a>0,b<0,c<0.由
(
b c
)
bc
2
)
(
b c
4
,可得
abc ,
3
a
4