2013北京宣武中考数学真题及答案.doc-资料库

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2013 北京宣武中考数学真题及答案满分 120 分，考试时间 120 分钟一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1．（4 分）（2013•北京）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013﹣2015）》中，北京市提出了共计约 3960 亿元的投资计划，将 3960 用科学记数法表示应为（ D． 0.396×104 A． 39.6×102 B． 3.96×103 C． 3.96×104 ）考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将 3960 用科学记数法表示为 3.96×103．故选 B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤ |a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 2．（4 分）（2013•北京）﹣ 的倒数是（） A． B． C． ﹣ D． ﹣ 考点：倒数．分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：∵（﹣ ）×（﹣ ）=1， ∴﹣ 的倒数是﹣ ．故选 D．点评：本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0 没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 3．（4 分）（2013•北京）在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为（） A． B． C． D．考点：概率公式．分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：解：根据题意可得：大于 2 的有 3，4，5 三个球，共 5 个球，

任意摸出 1 个，摸到大于 2 的概率是．故选 C．点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ，难度适中． 4．（4 分）（2013•北京）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则 ∠4 等于（） A． 40° B． 50° C． 70° D． 80° 考点：平行线的性质．分析：根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵∠1=∠2，∠3=40°， ∴∠1= （180°﹣∠3）= （180°﹣40°）=70°， ∵a∥b， ∴∠4=∠1=70°．故选 C．点评：本题考查了平行线的性质，平角等于 180°，熟记性质并求出∠1 是解题的关键． 5．（4 分）（2013•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 AB⊥BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上．若测得 BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度 AB 等于（） A． 60m B． 40m C． 30m D． 20m 考点：相似三角形的应用．分析：由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB．解答：解：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴△BAE∽△CDE，

∴ ∵BE=20m，CE=10m，CD=20m， ∴ 解得：AB=40，故选 B．点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 6．（4 分）（2013•北京）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A． B． C． D．考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 7．（4 分）（2013•北京）某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）人数 5 10 6 15 7 20 8 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（） A． 6.2 小时 B． 6.4 小时 C． 6.5 小时 D． 7 小时考点：加权平均数．分析：根据加权平均数的计算公式列出算式（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算即可．解答：解：根据题意得：（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50

=320÷50 =6.4（小时）．故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时．故选 B．点评：此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键． 8．（4 分）（2013•北京）如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦 AP 的长为 x，△APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（） A． B． C． D．考点：动点问题的函数图象．分析：作 OC⊥AP，根据垂径定理得 AC= AP= x，再根据勾股定理可计算出 OC= ，然后根据三角形面积公式得到 S= x• （0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．解答：解：作 OC⊥AP，如图，则 AC= AP= x，在 Rt△AOC 中，OA=1，OC= = = ，所以 S= OC•AP= x• （0≤x≤2），所以 y 与 x 的函数关系的图象为 A．故选 A．点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．（4 分）（2013•北京）分解因式：ab2﹣4ab+4a= a（b﹣2）2 ．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：先提取公因式 a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a ﹣b）2．解答：解：ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式） =a（b﹣2）2．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（b﹣2）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 10．（4 分）（2013•北京）请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y= x2+1（答案不唯一）．考点：二次函数的性质专题：开放型．分析：根据二次函数的性质，开口向上，要求 a 值大于 0 即可．解答：解：抛物线 y=x2+1 开口向上，且与 y 轴的交点为（0，1）．故答案为：x2+1（答案不唯一）．点评：本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的 a 值必须大于 0． 11．（4 分）（2013•北京）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点．若 AB=5， AD=12，则四边形 ABOM 的周长为 20 ．考点：矩形的性质；三角形中位线定理．分析：根据题意可知 OM 是△ADC 的中位线，所以 OM 的长可求；根据勾股定理可求出 AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出 BO 的长，进而求出四边形 ABOM 的周长．解答：解：∵O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点， ∴OM= CD= AB=2.5， ∵AB=5，AD=12， ∴AC= =13， ∵O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点， ∴BO= AC=6.5，

∴四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故答案为 20．点评：本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半着一性质，题目的综合性很好，难度不大． 12．（4 分）（2013•北京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y=﹣x﹣1，双曲线 y= ，在 l 上取一点 A1，过 A1 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B1，过 B1 作 y 轴的垂线交 l 于点 A2，请继续操作并探究：过 A2 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B2，过 B2 作 y 轴的垂线交 l 于点 A3，…，这样依次得到 l 上的点 A1，A2，A3，…，An，…记点 An 的横坐标为 an，若 a1=2，则 a2= ﹣ ，a2013= ﹣ ；若要将上述操作无限次地进行下去，则 a1 不可能取的值是 0、 ﹣1 ．考点：反比例函数综合题．专题：探究型．分析：求出 a2，a3，a4，a5 的值，可发现规律，继而得出 a2013 的值，根据题意可得 A1 不能在 x 轴上，也不能在 y 轴上，从而可得出 a1 不可能取的值．解答：解：当 a1=2 时，B1 的纵坐标为， B1 的纵坐标和 A2 的纵坐标相同，则 A2 的横坐标为 a2=﹣ ， A2 的横坐标和 B2 的横坐标相同，则 B2 的纵坐标为 b2=﹣ ， B2 的纵坐标和 A3 的纵坐标相同，则 A3 的横坐标为 a3=﹣ ， A3 的横坐标和 B3 的横坐标相同，则 B3 的纵坐标为 b3=﹣3， B3 的纵坐标和 A4 的纵坐标相同，则 A4 的横坐标为 a4=2， A4 的横坐标和 B4 的横坐标相同，则 B4 的纵坐标为 b4= ，即当 a1=2 时，a2=﹣ ，a3=﹣ ，a4=2，a5=﹣ ， b1= ，b2=﹣ ，b3=﹣3，b4= ，a5=﹣ ， ∵ =671，

∴a2013=a3=﹣ ；点 A1 不能在 y 轴上（此时找不到 B1），即 x≠0，点 A1 不能在 x 轴上（此时 A2，在 y 轴上，找不到 B2），即 y=﹣x﹣1≠0，解得：x≠﹣1；综上可得 a1 不可取 0、﹣1．故答案为：﹣ 、﹣ ；0、﹣1．点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（5 分）（2013•北京）已知：如图，D 是 AC 上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB=∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC 和△ DAE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：∵DE∥AB， ∴∠CAB=∠ADE， ∵在△ABC 和△DAE 中，， ∴△ABC≌△DAE（ASA）， ∴BC=AE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．

14．（5 分）（2013•北京）计算：（1﹣ ）0+|﹣ |﹣2cos45°+（）﹣1．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=1+ ﹣2× +4 =5．点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于基础题，注意各部分的运算法则． 15．（5 分）（2013•北京）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组专题：计算题．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，解不等式①得，x＞﹣1，解不等式②得，x＜，所以，不等式组的解集是﹣1＜x＜．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 16．（5 分）（2013•北京）已知 x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2 的值．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：所求式子第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知方程变形后代入计算即可求出值．解答：解：原式=4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2 =3x2﹣12x+9 =3（x2﹣4x+3）， ∵x2﹣4x﹣1=0，即 x2﹣4x=1，

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