耦合模理论 耦合模理论（ Coupled-Mode Theory， CMT ）是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一 般规律的理论。 CMT 可用于非接触电能传输（ Contactless Power Transfer， CPT）系统的计 算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用 CMT 来估算线圈间的能量传输效率，首 先用电路原理（ Circuit Theory， CT）的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过 CMT 得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套 相同的公式。随后分析 3 个线圈、 4 个线圈、一直到 n-1 个线圈都可以变换为同一套公式， 最后将此方法推广到在同一平面的 n 个负载线圈的效率求解。 1 单负载的电路分析 1.1 电路分析 在图 1 中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电， U 是逆变后的交流电源， R 为原副边的内阻， R L 是负载， 耦合系数 K M / L L ，其中 M 为 L1 和 L2 的互感。系 1 2 统最佳的工作频率就是谐振点 ，由集总参数的能量守恒原理可以得到 U R j L 1 1 C 1 I 1 j M I 2 (1) 0 R R L j L 2 1 C 2 I 2 j M I 1 (2) 2 P I R 2 L I 2 (R L X j MU ) X 1 2 , 2 2 M 令 X R j i L 1 1 C i ， CT P UI 1 2 2 I R L UI 1 2 1 (( R X X ) 2 L 2 M R L M 2 (3) 2 )(R X ) 2 L (4) 

在谐振状态下， 0 L 1 1 L 0 1 , 0 L 2 1 L 0 2 , X 1 R X , 2 R ，从而得到 2 CT (( R R R ) L 2 L M R M 2 2 )(R R) L (5) 1.2 CMT 分析 CPT 系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。主线圈的幅值在正弦时为 一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线圈 a (t), 1 别表示为 a (t) 1 2 , a (t) 2 2 。由 CMT 可得 a 的原始储能可分 (t) 2 a 1 (t) a (t) 2 (j (j ) 1 2 a (t) 1 jK 12 a 2 (t) F (t)S （ 6） ) a 1 2 (t) jK a 1 (t) 12 （ 7） 在上述公式中， 1 , , 2 L 分别为原线圈的损耗、 负载线圈的损耗和负载的吸收功率， 12K 为两个线圈的耦合率， SF 为励磁损耗（忽略不计） 。CMT 中， 1 a (t) (t) A e 1 j t , a (t) 2 j t A e 2 都是正弦信号； P 1 2 1 A 1 2 , P 2 2 2 的功率。由能量守恒定律可得 2 A 和 L P 2 2 2 L A 分别为原线圈、副线圈和负载 2 CMT P 1 P P L 2 P L 2 2 A 1 1 2 2 2 L A 2 2 2 A 2 2 2 L A 2 (8) 由方程（ 6）和（ 7）可得 A A 1 2 jK 12 1 2 L jK 12 ， Q L 2 L R L , Q 1 1 L R , Q 2 2 L R 。将两 者之间关系 CMT ( L L , 1 2 LQ , 2 2 Q 1 2 Q 2 以及 12 K K 2 代入式（ 8），解得 2 12 K L 2 2 K L L R 1 2 L 2 L )(( 2 M R 2 L ) 2 1 2 K 12 (( R R R ) L 2 2 K L L R R ) )( 1 2 L （ 9） (( R R R ) L 2 2 M R R ) )( L 与式（ 5）对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。 2 两个负载电路的传输效率分析 2.1 电路分析 

对于图 2 电路， 2M 和 3M 为 1L 分别与 2L 和 3L 的互感， 3LR 为线圈 3 所带的负载， 2K 和 3K 分别为两个负载线圈的耦合系数 .同理可得 U R j L 1 1 C 1 I 1 j M I 2 2 j M I 3 3 （ 10） 0 0 R R L 2 R R L 3 j j L 2 L 3 1 C 2 1 C 3 在谐振状态下的传输效率为 I 2 j M I 2 1 (11) I 3 j M I 3 1 (12) 2 I R L 2 2 2 I R L 3 2 3 2 M R R R L L 2 2 2 2 M R R R L ( L 3 3 2 3 ) ( G R R R R L 1( )( L 2 ) 3 2 ) 2 (13) CT P UI 1 G 式中： 1 ( 2.2 CMT 分析 UI 1 R R R R L )( L 2 2 ) 3 2 M R R L ( 2 2 ) 3 2 M R R . ( ) L 3 2 3 个线圈的 CMT 分析和两个线圈的 CMT 分析方法类似，如下所示： a (t) 1 ( j 1 ) a (t) 1 1 jK a 12 (t) 2 jK a 13 3 (t) F (t)S （ 14） a 2 (t) a (t) 3 ( j ( j 2 3 + 2 L 2 ) a (t) 2 + 3 L 3 ) a (t) 3 jK a 12 1 jK a 13 1 (t) (t) 同理可得 A A 1 3 3 L 3 jK 13 , Q 1 1 L R , Q 2 2 L R , Q L 2 2 , Q 3 L R L 2 (15) (16) 3 L R , Q L 3 3 . 同时有关 L R L 3 

系 式 L 2 , L 3 2 Q L 2 , 1 2 Q L 3 , 2 2 Q 1 , 3 2 Q 2 , K 12 2 Q 3 K 2 2 , K 13 K 3 2 . 从 而 解得 CMT 2 P L 2 P L 3 2 L 2 A 2 P P 1 2 P 3 P L 2 P L 3 2 2 1 A 1 2 2 2 A 2 2 2 3 2 2 A 3 2 L 3 A 3 2 L 2 A 2 2 2 2 L 3 A 3 2 M R R R L ( L 2 2 2 ) 3 2 2 M R R R L ( 3 3 G R R R R L )( ( L 2 2 3 L ) 2 ) 2 (17) 式中： 2 G R R R R R L )( ( L 2 2 ) 3 2 M R R L ( 2 2 ) 3 2 M R R .解出的结果与式 （ 13） ( ) L 3 2 相同 .用 CT 方法和 CMT 方法能够得到相同的效率公式 . 3 3 个负载电路的传输效率分析 对于图 3 中 3 个负载电路的拓扑结构，用同样的方法能够证明用集总参数分析方法和 CMT 求传输效率是相同的 . P UI 1 2 I R L 2 2 3 2 3 I R L UI 1 2 I R L 4 4 (18) 2 P L P 3 3 P L P 4 P P 1 2 P L 4 P L 2 P L 3 P L 4 (19) CT CMT 令 ( 2 2 1 ( 2 求得传输效率公式为 R R R R R R R L )( )( L L 2 3 2 ) 4 2 M R R R R L )( ( L 3 2 ) 4 2 2 M R R R R L )( ( L 3 2 ) 4 M R R R R L )( ( L 4 2 ))( 3 R R R R R R L )( )( L L 2 3 ) 4 2 2 2 2 L ( M R R R L 2 2 ) ( M R R R L ( L 3 3 2 3 2 ) ( R R L R R L 2 ) 3 2 ) 4 2 2 M R R R L ( L 3 3 2 ) ( 2 R R L ) 4 2 , 

1 CMT （ 20） 4 n-1 个负载电路的传输效率分析 用集总参数分析图 4 拓扑结构，图 4 有 n-1 个负载线圈，有 n 个方程，分别为 U R j L 1 1 C 1 I 1 j M I 2 2 ... j M I n n （ 21） 0 R R L i j L i 1 C i I i j MI i 1 ( i 2 , ... n , ) (22) , I 解上述 n 个方程，并将 1 I ,..., 2 I 代入 n 2 I R L 2 2 CT 3 ...+ 2 I R L n 2 n i 2 n 2 M R L i 2 3 I R L UI 1 ( R R L ) j 2 2, j i i n j 2 （ 23） 式中： 2 n j ( 2 R R R ) L j n j 2 ( R R L j ) 2 n i 2 M i 2 n j 2, j i ( R R L j ) 用 CMT 方法分析图 4 的拓扑结构图，同样忽略励磁效应，由前面的方法可得 （24） （ 25） （ 26） a (t) 1 a 2 (t) ( j ( j 1 i ) a 1 (t) 1 jK a 12 (t) 2 ... jK a 1 n n (t) F (t) S + i L i ) a i (t) jK a 1 i (t) 1 ( i 2 , ... n , ) 将以上各变量代换，得到 n i P L i 2 n i 1 P i n i P L i 2 n i 1 2 i 2 L i n i A i 2 2 i A n i 2 2 2 2 L i A i CMT 将条件 A A 1 2 i L i jK 1 i , Q L i i L R L i , Q i i L R , L i , i 2 Q L i , K 1 i 2 Q i i K 2 代入式（ 26），忽 略两个负载之间的耦合现象及原线圈的励磁后，用集总参数和 CMT 能得到同样的结果 .