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算法设计文档（含回溯法 递归法 贪心算法 背包...）.doc
回溯法的一般描述
一般表达
规律
空间树
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用回溯法解题的一般步骤：
用回溯法解决八皇后问题的C语言程序
用回溯法解决八皇后问题的PASCAL语言程序
回溯法解决迷宫问题
递归法
动态规划法
理论发展
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原理简介
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应用实例
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算法
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递归的基本概念和特点
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1. 一般算法
自创“残卷法”用C语言解8皇后问题
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2. 带图形显示的实现
[
3.C代码的另一个例子(效率较高)
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4.IOCCC的一个实现（极简版）
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5.循环实现 Java
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6.Qbasic版的解决方案
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7.高效解法-递归版
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java实现//8 Queen 递归算法
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用PASCAL 解决八皇后问题
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贪心算法
百科名片
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贪心算法的基本思路
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例题分析
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备注
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附贪心算法成功案例之一
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01背包问题
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小结
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[
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论述
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贪心算法
百科名片
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备注
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c语言 分解质因数算法
回溯法的一般描述
一般表达
可用回溯法求解的问题 P，通常要能表达为：对于已知的由 n 元组（x1，x2，…，
xn）组成的一个状态空间 E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定
关于 n 元组中的一个分量的一个约束集 D，要求 E 中满足 D 的全部约束条件的所有 n
元组。其中 Si 是分量 xi 的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…，n。我们称 E 中满足
D 的全部约束条件的任一 n 元组为问题 P 的一个解。
解问题 P 的最朴素的方法就是枚举法，即对 E 中的所有 n 元组逐一地检测其是
否满足 D 的全部约束，若满足，则为问题 P 的一个解。但显然，其计算量是相当大
的。
规律
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集 D 具有完备性，即 i 元组（x1，x2，…，
xi）满足 D 中仅涉及到 x1，x2，…，xi 的所有约束意味着 j（j<i）元组（x1，x2，…，
xj）一定也满足 D 中仅涉及到 x1，x2，…，xj 的所有约束，i=1，2，…，n。换句话
说，只要存在 0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，xj）违反 D 中仅涉及到 x1，x2，…，xj
的约束之一，则以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何 n 元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，
xn）一定也违反 D 中仅涉及到 x1，x2，…，xi 的一个约束，n≥i>j。因此，对于约
束集 D 具有完备性的问题 P，一旦检测断定某个 j 元组（x1，x2，…，xj）违反 D 中
仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任
何 n 元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题 P 的解，因而就不必去搜
索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的
比枚举法效率更高的算法。
空间树
回溯法首先将问题 P 的 n 元组的状态空间 E 表示成一棵高为 n 的带权有序树 T，
把在 E 中求问题 P 的所有解转化为在 T 中搜索问题 P 的所有解。树 T 类似于检索树，
它可以这样构造：
设 Si 中的元素可排成 xi(1) ，xi(2) ，…，xi(mi-1) ，|Si| =mi，i=1，2，…，n。
从根开始，让 T 的第 I 层的每一个结点都有 mi 个儿子。这 mi 个儿子到它们的双亲的
边，按从左到右的次序，分别带权 xi+1(1) ，xi+1(2) ，…，xi+1(mi) ，i=0，1，2，…，
n-1。照这种构造方式，E 中的一个 n 元组（x1，x2，…，xn）对应于 T 中的一个叶
子结点，T 的根到这个叶子结点的路径上依次的 n 条边的权分别为 x1，x2，…，xn，
反之亦然。另外，对于任意的 0≤i≤n-1，E 中 n 元组（x1，x2，…，xn）的一个前缀
I 元组（x1，x2，…，xi）对应于 T 中的一个非叶子结点，T 的根到这个非叶子结点
的路径上依次的 I 条边的权分别为 x1，x2，…，xi，反之亦然。特别，E 中的任意一
个 n 元组的空前缀（），对应于 T 的根。
因而，在 E 中寻找问题 P 的一个解等价于在 T 中搜索一个叶子结点，要求从 T
的根到该叶子结点的路径上依次的 n 条边相应带的 n 个权 x1，x2，…，xn 满足约束
集 D 的全部约束。在 T 中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，
按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀 1 元组（x1i）、前缀 2
元组（x1，x2）、…，前缀 I 元组（x1，x2，…，xi），…，直到 i=n 为止。
在回溯法中，上述引入的树被称为问题 P 的状态空间树；树 T 上任意一个结点
被称为问题 P 的状态结点；树 T 上的任意一个叶子结点被称为问题 P 的一个解状态
结点；树 T 上满足约束集 D 的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题 P 的一个回
答状态结点，它对应于问题 P 的一个解
[编辑本段]
用回溯法解题的一般步骤：
（1）针对所给问题，定义问题的解空间；
（2）确定易于搜索的解空间结构；
（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
回溯法 C 语言举例
八皇后问题是能用回溯法解决的一个经典问题。
八皇后问题是一个古老而著名的问题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯 185
0 年提出：在 8X8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇
后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
用回溯法解决八皇后问题的 C 语言程序
#include
#include
int col[9]={0},a[9];
int b[17],c[17];
main()
{
int m,good;
int
i,j,k;
char q;
for(i=0;i<17;i++)
{
if(i<9) a[i]=1;
b[i]=1;c[i]=1;
}
to quit\n");
good=1;
col[1]=1;
m=1;
while(col[0]!=1)
{
if(good)
if(m==8)
{
for(i=1;i<9;i++)
printf("col[%d] %d\n",i,col[i]);
printf("input
'q'
scanf("%c",&q);
getchar();
if(q=='q'||q=='Q') exit(0);
while(col[m]==8)
{
m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[8+m-col[m]]=1;
}
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[8+m-col[m]]=1;
col[m]++;
}
else
{
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[8+m-col[m]]=0;
m++;
col[m]=1;
}
else
{
while(col[m]==8)
{
m--;
a[col[m]]=b[m+col[m]]=c[8+m-col[m]]=1;
}
col[m]++;
}
good=a[col[m]]&&b[m+col[m]]&&c[8+m-col[m]];
');writeln;end
}
}
用回溯法解决八皇后问题的 PASCAL 语言程序
integer;
program xy;
var
a:array[1..100]of
b,c,d:array[-100..100]of boolean;
n,i,j,k:integer;
procedure try(k:integer);
var i:integer;
begin
if k>n then begin for j:=1 to n do write(a[j],'
else begin
for i:=1 to n do
if (b[i])and(c[k+i])and(d[k-i]){找条件}
then begin a[k]:=i;
b[i]:=false;
c[k+i]:=false;
d[k-i]:=false;
try(k+1);
b[i]:=true;
c[k+i]:=true;
d[k-i]:=true;
end;
end;
end;
begin
readln(n);
fillchar(b,sizeof(b),true);
fillchar(c,sizeof(c),true);
fillchar(d,sizeof(d),true);
try(1);
readln;
end.
{b[i]是判断横和竖,c[k+i]斜线/,d[k-i]斜线}
回溯法解决迷宫问题
#include
#include
#define m 5
#define n 6
int sf=0;
int mase[m][n]={{0,0,0,1,0,0},{0,1,0,0,0,0},{0,1,1,1,1,0},{0,0,0,0,0,1},{1,0,1,1,
0,0}};
void search(int x,int y)
{
if((x==m-1)&&(y==n-1))
sf=1;
else
{
if((sf!=1)&&(y!=n-1)&&mase[x][y+1]==0)
search(x,y+1);
if((sf!=1)&&(x!=m-1)&&mase[x+1][y]==0)
search(x+1,y);
if((sf!=1)&&(y!=0)&&mase[x][y-1]==0)
search(x,y-1);
if((sf!=1)&&(x!=0)&&mase[x-1][y]==0)
search(x-1,y);
if(sf!=1)
mase[x][y]=1;
}
}
int main()
{
int
//clrscr();
search(0,0);
for(i=0;i
递归法
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采
用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为 N 的问题，设法将它分
解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规
模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更
小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模 N=1 时，能直接得解。
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规
模为 n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于 n）的求解。例如上例中，
求解 fib(n)，把它推到求解 fib(n-1)和 fib(n-2)。也就是说，为计算 fib(n)，必须先计算
fib(n-1)和 fib(n-2)，而计算 fib(n-1)和 fib(n-2)，又必须先计算 fib(n-3)和 fib(n-4)。依
次类推，直至计算 fib(1)和 fib(0)，分别能立即得到结果 1 和 0。在递推阶段，必须要
有终止递归的情况。例如在函数 fib 中，当 n 为 1 和 0 的情况。
在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，
例如得到 fib(1)和 fib(0)后，返回得到 fib(2)的结果，……，在得到了 fib(n-1)和 fib(n-
2)的结果后，返回得到 fib(n)的结果。
在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数只是局限于当前调用层，当
递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简
单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的
执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法
编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第 n 项的函数 fib(n)应采用递推算法，即从
斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第 n 项。
扩展阅读：
1.【问题】
2.编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项函数 fib（n）。
3.斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：
4. fib(0)=0;
5. fib(1)=1;
6. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当 n>1 时）。
7.写成递归函数有：
8.int fib(int n)
9.{ if (n==0) return 0；
10. if (n==1) return 1；
11. if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2)；
12.}
动态规划法
动态 规划法[dynamic programming method (DP)]是系统分析中一种常用的
方法 。在水 资源 规划中,往往 涉及到 地表 水库调 度、水 资源 量的合 理分配 、优 化调度
等问 题,而这 些问题 又可 概化为 多阶段 决策 过程问 题。动 态规 划法是 解决此 类问题 的
有效方法。动态规划法是 20 世纪 50 年代由贝尔曼（R. Bellman）等人提出,用来解
决多 阶段决 策过 程问题 的一种 最优 化方法 。所谓 多阶 段决策 过程,就是 把研究 问题 分
成若干个相互联系的阶段,由每个阶段都作出决策,从而使整个过程达到最优化。许多
实 际 问 题 利 用 动 态 规 划 法 处 理,常 比 线 性 规 划 法 更 为 有 效,特 别 是 对 于 那 些 离 散 型 问
题。实际上,动态规划法就是分多阶段进行决策,其基本思路是：按时空特点将复杂问
题 划 分 为 相 互 联 系 的 若 干 个 阶 段,在 选 定 系 统 行 进 方 向 之 后,逆 着 这 个 行 进 方 向,从 终
点 向 始 点 计 算,逐 次 对 每 个 阶 段 寻 找 某 种 决 策,使 整 个 过 程 达 到 最 优,故 又 称 为 逆 序 决
策过程。
[1]动态规划的基本思想
前文主要介绍了动态规划的一些理论依据，我们将前文所说的具有明显的阶段划
分和状态转移方程的动态规划称为标准动态规划，这种标准动态规划是在研究多阶段
决策问题时推导出来的，适合用于理论上的分析。在实际应用中，许多问题的阶段划
分并不明显，这时如果刻意地划分阶段法反而麻烦。一般来说，只要该问题可以划分
成规模更小的子问题，并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解（即满足最优子
化原理），则可以考虑用动态规划解决。
动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此，动态规划是一种将问题实例分解
为更小的、相似的子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，以解决最优
化问题的算法策略。
由此可知，动态规划法与分治法和贪心法类似，它们都是将问题实例归纳为更小
的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优解。其中贪心法的当前选择
可能要依赖已经作出的所有选择，但不依赖于有待于做出的选择和子问题。因此贪心
法自顶向下，一步一步地作出贪心选择；而分治法中的各个子问题是独立的（即不包
含公共的子子问题），因此一旦递归地求出各子问题的解后，便可自下而上地将子问
题的解合并成问题的解。但不足的是，如果当前选择可能要依赖子问题的解时，则难
以通过局部的贪心策略达到全局最优解；如果各子问题是不独立的，则分治法要做许
多不必要的工作，重复地解公共的子问题。
解决上述问题的办法是利用动态规划。该方法主要应用于最优化问题，这类问题
会有多种可能的解，每个解都有一个值，而动态规划找出其中最优（最大或最小）值
的解。若存在若干个取最优值的解的话，它只取其中的一个。但是首先要保证该问题
的无后效性,即无论当前取哪个解,对后面的子问题都没有影响.在求解过程中，该方法
也是通过求解局部子问题的解达到全局最优解，但与分治法和贪心法不同的是，动态
规划允许这些子问题不独立，（亦即各子问题可包含公共的子子问题）也允许其通过
自身子问题的解作出选择，该方法对每一个子问题只解一次，并将结果保存起来，避
免每次碰到时都要重复计算。
因此，动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应的子问题树中的
子问题呈现大量的重复。动态规划法的关键就在于，对于重复出现的子问题，只在第
一次遇到时加以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必重新求解。
3、动态规划算法的基本步骤
设计一个标准的动态规划算法，通常可按以下几个步骤进行：
（1）划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这
若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的（即无后向性），否则问题就无法用动态
规划求解。
（2）选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态
表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。
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