非线性偏微分方程几种经典算法.doc-资料库

azzn_1985-3907452-4744300845394111496.doc.pdf-第1页.png

第1页 / 共10页

azzn_1985-3907452-4744300845394111496.doc.pdf-第2页.png

第2页 / 共10页

azzn_1985-3907452-4744300845394111496.doc.pdf-第3页.png

第3页 / 共10页

azzn_1985-3907452-4744300845394111496.doc.pdf-第4页.png

第4页 / 共10页

azzn_1985-3907452-4744300845394111496.doc.pdf-第5页.png

第5页 / 共10页

azzn_1985-3907452-4744300845394111496.doc.pdf-第6页.png

第6页 / 共10页

azzn_1985-3907452-4744300845394111496.doc.pdf-第7页.png

第7页 / 共10页

azzn_1985-3907452-4744300845394111496.doc.pdf-第8页.png

第8页 / 共10页

非线性偏微分方程的几种解法 1 逆算符法据逆算符方法的基本思想，把偏微分方程改写为： , Au A u u u u ( ,  , x t ,...) 0  xx Lu Ru Nu    0 （2.1）其中 L 和 R 是线性微分算子，Nu 是非线性项。算子 L 是可逆的，作用逆算子 1L 于上式两边得到 1  L Ru 1  L Nu   （2.2）  u ( ) ( ) f 其中 f 满足（2.1）及初始条件，根据逆算符方法u 可以分解为一系列分量之和 u 利用回归关系可以得到    n  0 u n （2.3） u 0  ( ), f x u k 1    1  L Ru ( )  1  L Nu ( ) k k （2.4）非线性项 F(u)= Nu 可以表示为无限级数之和 ( ) F u    n  0 A n （2.5）其中 nA 是 Adomian 多项式，定义为 A n  n 1 d ! n n d  [ F (   i  0 i )]   u i , n  0,1,2... 0 （2.6） , , u u u 利用（2.3）和（2.4）可以依次解出 0 1 .....    u u 0 u 2 u 1  ,.... 2 ，从而得到方程的解（2.7）

业已证明 Adomian 分解法是收敛的，而且收敛速度相当快，能够得到精确解。 2 齐次平衡法齐次平衡法是一种求解非线性偏微分方程非常重要的方法，它将非线性发展方程的求解问题转化为纯代数运算。利用这种方法不仅可以得到方程的 Backlund 变换，而且能得到非线性偏微分方程的新解. 该方法的大致步骤如下：对于给定一个非线性偏微分方程这里 P 一般是其变元的多项式，其中含有非线性项及线性出现的（2.8）最高阶偏导数项。一个函数 ( f w  f 函数  ( , ) w w x t ，使得 ( ) 称为是方程(2.8)的拟解，如果存在单变元 f w 关于 ,x t 的一些偏导数的适当的线性组 ) 合，即（2.9）精确的满足（2.8）和（2.9）中的非负整数 ,m n ，单位元函数 ( f w 都是待定的，将（2.9）代入（2.8） ( , ) w w x t 以及函数  ) f  中可以通过以下步骤确定它们：首先，使高阶偏导数项中包含的 ( , ) w w x t  的偏导数的最高幂

 次和非线性项中包含的关于来决定非负整数 ,m n 是否存在。 ( , ) w w x t 的偏导数的最高幂次相等，其次，集合数为零，而得 ( ( , ) w w x t f w 满足的 ODE，解之可得  ) 的偏导数的最高幂次的全部项，使其系 f  ( f w ) ，一般是对数函数。第三，将 ( f w 的各阶导数的非线性项，用 ( ) f w 的较高阶的 ) 导数来代替，再将 ( f w 的各阶导数项分别合并在一起，并令其系 ( , ) w w x t 的各次齐次型的 PDE 组，可适当选择 (2.9) 数为零，而得  ) 中线性组合的系数，使 PDE 组有解。最后，若前三步的解答使肯定的，将这些结果代入（2.9），经过一些计算就得（2.8）的精确解。从（2.9）中可以看出，如果 ( , ) v x t 是方程（2.8）的一个解，则通过上述步骤就可以得到方程的 Backlund 变换。 3 Jacobi 椭圆函数方法考虑非线性偏微分方程（2.8），寻求它的行波解为 u u  ( ),    其中 k 和c 分别为波数和波速将 ( )u  展开为下列 Jacobi 椭圆正弦函数 sn的级数: ( k x ct  （2.10） ) u 它的最高阶数为 n   j  0 j a sn  j （2.11）

O u ( ( )) n  （2.12）因为 du d  n   j  0 ja sn j j 1     cn dn （2.13）其中 cn和 dn分别为 Jacobi 椭圆余弦函数和第三种 Jacobi 椭圆函数，且 cn 2  1   sn 2   dn , 2 1   2 m sn 2  （2.14）  sn 1) (0 m ,     为模数，且 m d d  由（2.13）式，可以认为 du d d d  cn dn   cn  的最高阶数是 sn dn ,   d d  dn    2 m sn cn   （2.15） duO ( ) d   n 1 （2.16）类似地，有 ( O u du ) d   2 n  1, O ( 2 d u 2 d  )   n 2, O ( 3 d u 3 d  )   n 3 （2.17）在（2.11）)式中选择 n，使得非线性偏微分方程（2.8）中的非线性项和最高阶数项平衡，将(2.11)代入非线性偏微分方程 (2.8)中，并利用 isn (2.14)和 (2.15)，可将方程 (2.8)变成关于 ( 1, a a isn的各次幂次的系数为零，得关于 0 i ,...,   置 ) N 0,1,..., , 的多项式. a k c 的代数方程 N , 组。解上述方程组，将结果代入（2.11）中，得（2.8）Jacobi 椭圆函数解。应该指出的是，因为 1m  时， sn  tanh  ，（2。11）式就退化为

u n   j  0 a j tanh j  （2.18）所以此方法包含了双曲正切函数展开法。 4 辅助方程方法考虑非线性偏微分方程（2.8），寻求它的行波解为 u  u ( ),    ( k x  ct ) （2.19）其中 k 和c 分别为波数和波速。将式（2.19）代入方程（2.8）中，则（2.8）化为 ( )u  的非线性常微分方程（NODE）：设 ( )u  可表示为 ( ) , ( , ,...) G u u u  z  的有限幂级数： 0  （2.20） u ( )  N   i  0 i a z i ( )  （2.21）这里的 ia 是待定参数，N 为一常数，由非线性偏微分方程(2.8)中具有支配地位的非线性项和最高阶数项平衡得到， ( ) z  满足如下新的辅助常微分方程 ( dz ) d  2  Az ( )  2  Bz ( )  4  Cz ( )  6 （2.22）其中 , ,A B C 为待定参数。将（2.21）代入 NODE（2.20）中，利用（2.22）可将方程（2.20） z  的多项式。令 ( ) z  的各幂次的系数为零，可得关于 a k c 的代数方程组。解上述方程组，可解得 N 左边变成 ( ) , , 1, a a 0 ,...,

a k c ，将结果代入（2.21）中，得（2.8）的行波解的一 N , , 1, a a 0 ,..., 般形式。利用表 2.1，适当选取 A，B，C，  的值，可得方程（2.8）的一些特殊解。 5 F-展开法考虑非线性偏微分方程（2.8），寻求它的行波解为

u u  ( ),    其中 k 和c 分别为波数和波速。将式（2.23）代入方程（2.8）中，则（2.8）化为 ( )u  的非线性常微（2.23） ( k x ct  ) 分方程（NODE）： 0 设 ( )u  可表示为 ( )F  有限幂级数： P u u u ( , ,  ,...)  （2.24） u ( )   a 0  N  i 1  a F i i ( )(  a N  0) （2.25）这里 ia 是待定常数， ( )F  满足下列一阶常微分方程: F  2 ( )  4 pF QF  2  R （2.26）这里 p，Q，R 是待定常数，正整数 N 是由具有支配地位的非线性项与最高阶偏导数项平衡确定。将（2.25）代入 NODE（2.24）中，利用（2.26）可将方程（2.24）左边变成的多项式，置 ( )F  的各次幂次的系数为零，得关于 1, a a 0 ,..., , , a k c 的代数方程组。 N 1, a a 求解上述方程组，可解得 0 ,..., a k c ，将结果代入（2.25） N , , 中，得到（2.8）的行波解的一般形式。利用表 2.2，适当选取 p，Q，R 的值，可得方程（2.8）的由 Jacobi 函数表示的周期波解。

F-展开法与辅助方程方法的约束方程不同。由于约束方程的不同，根据相应约束方程和特解的对照表，在求解偏微分方程时得到相应的特解的形式也不同。 6 双曲正切函数展开法考虑非线性偏微分方程（2.8），寻求它的行波解为 u  u ( ),    ( k x  ct ) （2.27）其中 k 和c 分别为波数和波速。将式（2.27）代入方程（2.8）中，则（2.8）化为 ( )u  的非线性常微分

资料库

非线性偏微分方程几种经典算法.doc

相关推荐

课程资源

热门标签

最新资料