2017吉林考研数学一真题及答案.doc-资料库

2017 吉林考研数学一真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数 ( ) f x x x ,  0   1 cos   ax  0   , b x 在 0 x  处连续，则（） ( ) A ab  ( C ab )  1 2 0 【答案】A 1 2   D ab  B ab     2 lim 【解析】 0 x   1 cos  ax x  lim 0 x   1 x 2 ax  1 2 a ,  ( ) f x 在 0 x  处连续     选 A. ab b 1 2 a 1 . 2 （2）设函数 ( ) ( ) f x f x  ，则（） ( ) 0 ' f x 可导，且   B f   D f ( 1)  ( 1) f  (1)  (1) f  ( 1)  ( 1) f  ( ) A f ( ) C f (1) f  (1)  【答案】C 【解析】  ( ) f x f x ( ) 0, '     ( ) 0 f x  '( ) 0 x f  (1) 或 ( ) 0 f x  '( ) 0 x f     (2) ，只有 C 选项满足 (1) 且满足 (2) ，所以选 C。（3）函数 ( , , ) f x y z  2 x y 2  在点 (1,2,0) 处沿向量  z u  1,2,2  的方向导数为（） ( )12 A ( B )6 ( C )4 ( D )2 【答案】D 【解析】 gradf  {2 , xy x 2 ,2 }, z  gradf  {4,1,0} (1,2,0)   f  u  gradf  u | u |  {4,1,0} { ,  , } 2.  1 2 2 3 3 3

选 D. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 v  1( ) v t （单位： /m s ），虚线表示乙的速度曲线 v  2( ) v t ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 0t （单位：s），则（）   t 0 20 ( ) C t 0  25 ( ) D t 0  25 ( ) A t 0  10 ( B )15 【答案】B t  【解析】从 0 到 0t 这段时间内甲乙的位移分别为 0 0 t  时满足，故选 C. (t) v (t) t v 10 25 dt   ，当 0 2 1 0  0 v 1 (t) dt , t 0  0 v 2 (t) dt , 则乙要追上甲，则（5）设是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（） ) ( A E ( ) C E T   T 2   不可逆不可逆    T B E    T 2 D E   不可逆不可逆【答案】A 【解析】选项 A,由 ( E  T        ) 0 得 ( E T  ) x 有非零解，故  0 E  T 0 。 T 即  E 不可逆。选项 B,由 ( r T   ) 1 T 得T 的特征值为 n-1 个 0，1.故  E 的特征值为 n-1 个 1，2.故可逆。其它选项类似理解。（6）设矩阵 A       2 0 0   0 2 1 ,   0 0 1  B       2 1 0   0 2 0 ,   0 0 1  C  1 0 0 0 2 0 0 0 2           ,则（） 2

( ) A A C ) ( C A C 与相似与相似 B C , 与不相似与相似 B C ,   B A C  与相似与不相似  B C D A C B C , 与不相似与不相似 , 【答案】B 【解析】由 ( E A  ) 0  可知 A 的特征值为 2,2,1 因为3  (2 r E A  ) 1  ，∴A 可相似对角化，且由 E B   可知 B 特征值为 2,2,1. 0 A 1 0 0 ~ 0 2 0 0 0 2             (2 r E B 因为3 ∴ ~A C ，且 B 不相似于 C ) 2  ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，（7）设 ,A B 为随机概率，若 0  ( P A ) 1,0   ( P B  ，则 ( ) 1 P A B )  ( P A B ) 的充分必要条件是（） ( ) ) A P B A (  ( ) P B A ( ) ) B P B A (  ) ( P B A ( ) C P B A ) (  ( ) P B A ( ) D P B A ) (  ) ( P B A 【答案】A 【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。（8）设 1 X X ,  ( X n n 2  为来自总体 ( N  的简单随机样本，记 ,1) 2) X 1 n   ，则下 n  1 i X i 列结论中不正确的是（） ( X i  )  2 服从分布 2   B  2( X  X 2 ) 1 n 服从分布 2  ( C ) ( X i  X ) 2 服从分布 2   D n X (  2  )  服从分布 2  ( ) A n  i 1  n  i 1  【答案】B 【解析】

X N  n   ( i 1  (  ,1), X    i N (0,1) X i  2 2    ) ( ), n A 正确   n ( 2 1) S  n  i 1  ( X i  2 X )  2  ( n  1) C ，正确，  ~ ( X N ,   ~ N (0,2), 1 n ( ), ( n X  )   N (0,1), ( n X  2 (1),   2 ) ~ D 正确, X 2 ) 1 X n  2 ~ 2  (1), B 故错误. 由于找不正确的结论，故 B 符合题意。二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ，则 (3)(0) f =__________ (9) 已知函数 ( ) f x  【答案】 (0) f 6   1 x  2 1 【解析】 ( ) f x   2 1 1 (   2 x )    n  0 (  x 2 ) n    n  0 ( 1)  n x 2 n 1 1 x    n  2 f ''' ( ) x  n ( 1) 2 (2 n n   1)(2 n  2) x 2 n 3   f ''' (0) 0  (10) 微分方程 '' y  '2 y  3 y  的通解为 y  _________ 0 【答案】 y x  e ( cos 2 c 1 x  c 2 sin 2 ) x ，（ 1 2,c c 为任意常数）【解析】齐次特征方程为 2    2 1       3 0  1,2 2i 故通解为 xe  ( cos 2 c 1 x  c 2 sin 2 ) x (11) 若曲线积分  L xdx aydy 2 1 2 x   y  在区域 D   ( , x y ) | x 2  2 y  内与路径无关，则  1 a  __________ 【答案】 1a  【解析】 P  y      a Q  x  P  y  4   2 xy 2 y  2 1) , Q  x   2 ( x 2 axy 2 y   , 2 1) 2 ( x 由积分与路径无关知  1

(12) 幂级数   ( 1)n n 1  n 1  1  nx 在区间 ( 1,1)  内的和函数 ( )S x  ________ 【答案】 ( ) s x  1 x  2  1 【解析】   n 1  n 1  ( 1)  n 1  nx       n 1  n 1  ( 1)  n x '        1 x  x '     1 x  2 ) (1 （ 13 ）设矩阵 A       1 0 1 1 1 2 0 1 1      A    的秩为_________ A A , , 1 2 3 ， 1 ,   为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 , 2 3 【答案】2 【解析】由 1 , ,   线性无关，可知矩阵 1 2 3 , ,   可逆，故 2 3  r A    3 A A , , 1 2    r A     3 , , 1 2     r A  再由  r A  得  r A 2       A A , , 2 1 2 3 （14）设随机变量 X 的分布函数为分布函数，则 EX  _________ 【答案】2 ( ) F x 0.5 ( ) 0.5 (     x 4 x  2 ) ，其中 ( )x 为标准正态【解析】 F x  ( ) 0.5 ( ) x    0.5 2 (  4 ) x  2 ，故 EX  0.5    x x  ( ) x dx 4  t  0.5 2    ( x  4 x  2 ) dx ，则  x     因此 (  ( ( ) x dx EX x  2 ) ) dx = 2 E X  . 4 x   0 。令 2     4 2  t   ( ) t dt 8 1 4     2 8     t  ( ) t dt 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）设函数 ( , ) f u v 具有 2 阶连续偏导数， y  x ( f e ,cos ) x ，求 dy dx  ， 0x 2 d y 2 dx 0x  【答案】 dy dx x  0  ' f 1 (1,1), 2 d y 2 dx x  0  '' f 11 (1,1),

x ,cos ) x 0 x   y   x ' f e 1  0  (0)  ' 2 f  f  sin (1,1)   x 【解析】 y    ( f e  dy dx x 2 d y 2 dx 2 d y 2 dx  ' f 1 (1,1) 1   f ' 2 (1,1) 0   ' f 1 (1,1) x  0  2 x '' f e 11  x '' f e 12 ( sin ) x   x '' f e 21 ( sin ) x   f '' 22 2 sin x  x ' f e 1  f ' 2 cos x  '' f 11 (1,1)  ' f 1 (1,1)  f ' 2 (1,1) x  0 结论： dy dx x 2 d y 2 dx 0  x   ' f 1 (1,1)  '' f 11 (1,1)  ' f 1 (1,1)  f ' 2 (1,1) 0 n  k 1  k 2 n k   ln 1  n   （16）（本题满分 10 分）求 lim n  1 4 【答案】【解析】 lim n  n  k 1  k 2 n ln(1  k n )  1  0 x ln(1  ) x dx  1 2 1  0 ln(1  ) x dx 2  1 2 (ln(1  ) x x  2 1 0  1 x  0 2 1 1   1 x  dx )  1 4 （17）（本题满分 10 分）已知函数 ( ) y x 由方程 3 x  y 3 3  x  3 y   确定，求 ( )y x 的极值 2 0 【答案】极大值为 (1) 1  ，极小值为 ( 1) 0 y   y 【解析】两边求导得： 2 3 x  3 2 y y ' 3 3 ' 0    y （1）令 ' 0 y  得 x   1 对（1）式两边关于 x 求导得 6 x  6  y y 2 '  3 2 y y '' 3 '' 0   y （2）将 x   代入原题给的等式中，得 1 x y      1 1 or x y    1   0  ，将 1, y x 1  代入（2）得 ''(1) y    1 0 6

将 x 1,   y  代入（2）得 ''( 1) 2 0 y    0 故 1x  为极大值点， (1) 1  ； y x   为极小值点， ( 1) 0 y   1 （18）（本题满分 10 分）设函数 ( ) f x 在区间[0,1] 上具有 2 阶导数，且 f  (1) 0, lim  0 x ( ) f x x  ，证明： 0 ( ) 方程 ( ) 0 f x  在区间 (0,1) 内至少存在一个实根； ( ) 方程 ( ) ( ) f x f x '  ( ' f x ( )) 2  在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。 0 【答案】【解析】（I） ( ) f x 二阶导数， ( ) f x x lim  0 x 解：1）由于进而 x   0 (0, ) f 有         0, x (0, )  有  ，即 ( ) 0 f x  0 f  (1) 0, lim  0 x ( ) f x x  0  ，根据极限的保号性得 0 ( ) f x x  0 又由于 ( ) f x 二阶可导，所以 ( ) f x 在[0,1] 上必连续那么 ( ) f x 在[ ,1] 上连续，由 ( ) 0,   f f (1) 0  根据零点定理得：至少存在一点 ( ,1)   ，使 ( ) 0 f   ，即得证（ II ）由（ 1 ）可知 (0) 0  ， f    (0,1), 使 ( ) 0  f ，令 ( ) F x  ( ) '( ) f x f x ，则 f (0) f  ( ) 0  由罗尔定理 ),     (0, 使 f '( ) 0   ，则 (0) F  F ( ) F  ( ) 0   ，对 ( )F x 在(0, ),( , )   分别使用罗尔定理： )       ( , (0,  ), 1 2 且 1   2 ,  (0,1),   2  ，使得 1 F '( F 1  2 '( ) ) 0  ，即 '( ) F x  ( ) f x f ''( ) x   f '( ) x 2  在 (0,1) 至少有两个不同实根。 0 得证。（19）（本题满分 10 分）设薄片型物体 S 是圆锥面 z  2 x 2  被柱面 2 z y x 割下的有限部分，其上任一点的密度 2

为  2 9 x  2 y 2  。记圆锥面与柱面的交线为 C z ( ) 求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程； ( ) 求 S 的 M 质量。【答案】64 【解析】（1）由题设条件知，C 的方程为  2 y   z   2 z   2 x 2 x 则C 在 xoy 平面的方程为 2  2 x 2  y x   0 z  2   x 2 y  2 x （2） m   s  (x, y,z) dS  9  s 2 x  y 2  2 z dS  : D x  18   2   2 2cos   d  0 2 r dr  64   y 2 9 2 2 x  y 2 2 dxdy 2  2 x A    3  , , 1 2   有 3 个不同的特征值，且（ 20 ）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 22  。     3 1 ( ) 证明 ( ) 2 r A  ； ( ) 若     3    ，求方程组 Ax  的通解。 1 2 【答案】（I）略；（II）通解为【解析】 k 1   2   1       1     1 ,     1   k R  （I）证明：由 3 22      1 可得 1    3   2 2  ，即 1 0 ,   线性相关， , 2 3 因此， A   3  1 2  ，即 A 的特征值必有 0。 0 又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0. 且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为    1       2      0 ,   1 2   0 8

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