2017年全国III卷高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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2017 年全国 III 卷高考文科数学真题及答案注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 A  B 中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．复平面内表示复数 z=i(–2+i)的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知 sin A．  7 9   cos  ，则 sin 2= 4 3 B．  2 9 C． 2 9 D． 7 9

3 x       2 x y 6 0 y   0  0  ，则 z=x-y的取值范围是 B．[–3,2] C．[0,2] 5．设 x，y满足约束条件 A．[–3,0] D．[0,3] 6．函数 f(x)= 1 5 sin(x+  3 )+cos(x−  6 )的最大值为 A． 6 5 B．1 7．函数 y=1+x+ sin x 2 x 的部分图像大致为 C． 3 5 D． 1 5 A． C． B． D． 8．执行下面的程序框图，为使输出 S的值小于 91，则输入的正整数 N的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的

体积为 A． π 10．在正方体 B． 3π 4 C． π 2 D． π 4 ABCD A B C D 1 1 1  1 中，E为棱 CD的中点，则 A． 1 A E DC⊥ 1 B． 1A E BD⊥ C． 1 A E BC⊥ 1 D． 1A E AC⊥ 11．已知椭圆 C： 2 2 x a  2 2 y b 1  ，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx ay   2 ab  相切，则 C的离心率为 0 A． 6 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 1 3 12．已知函数 ( ) f x  2 x  2 ( x a e  x 1   e 1 x   ) 有唯一零点，则 a= A．  1 2 B． 1 3 C． 1 2 D．1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知向量 ( 2,3),   a b  (3, ) m ，且 a⊥b，则 m= . 14．双曲线 2 2 x a  2 y 9  （a>0）的一条渐近线方程为 1 y x ，则 a= 3 5 . 15．△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c。已知 C=60°，b= 6 ，c=3，则 A=_________。 16．设函数 ( ) f x     x 2 1 0  ，， x x ，，  0 x  则满足 ( ) f x  ( f x  1 2 ) 1  的 x的取值范围是__________。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）设数列 na 满足 1 a  23 a    (2 n  1) a n  2 n . （1）求 na 的通项公式；

（2）求数列    na   1 n  2 的前 n项和. 18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率．学#科@网 19．（12 分）如图，四面体 ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若 E为棱 BD上与 D不重合的点，且 AE⊥EC，求四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积比． 20．（12 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 y=x2+mx–2 与 x轴交于 A，B两点，点 C 的坐标为(0,1).当 m变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过 A，B，C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值.

21．（12 分）已知函数 ( ) f x =lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论 ( ) f x 的单调性；（2）当 a﹤0 时，证明 ( ) f x   3 4 a  ． 2 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分）在直角坐标系 xOy中，直线 l1 的参数方程为 x    y 2+ , t , kt （t为参数），直线 l2 的参数方程为 2 x      my   k , , m （为参数）.设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k变化时，P的轨迹为曲线 C． m （1）写出 C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：ρ(cosθ+sinθ)− 2 =0，M为 l3 与 C的交点，求 M的极径. 学*科@网 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）已知函数 ( ) f x =│x+1│–│x–2│. （1）求不等式 ( ) f x ≥1 的解集；（2）若不等式 ( ) f x ≥x2–x +m的解集非空，求 m的取值范围.

绝密★启用前一、选择题 2017 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题正式答案 1.B 7.D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 8.D 9.B 10.C 11.A 12.C 二、填空题 13. 2 14. 5 15. 75° 16. (- ， ) 三、解答题 17.解: （1）因为 +3 +…+（2n-1） =2n，故当 n≥2 时， +3 +…+（ -3） =2（n-1）两式相减得（2n-1） =2 所以 = (n≥2) 又因题设可得 =2. 从而{ } 的通项公式为 = . （2）记 { }的前 n项和为，由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = . 18.解：（1）这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最

高气温低于 25 的频率为，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率估计值为 0.6. （2）当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y=6 450-4 450=900；若最高气温位于区间 [20,25），则 Y=6 300+2（450-300）-4 450=300；若最高气温低于 20，则 Y=6 200+2（450-200）-4 450= -100. 所以，Y的所有可能值为 900,300，-100. Y大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为，因此 Y大于零的概率的估计值为 0.8. 19.解：（1）取 AC 的中点 O连结 DO，BO. 因为 AD=CD，所以 AC⊥DO. 又由于△ABC是正三角形，所以 AC⊥BO. 从而 AC⊥平面 DOB，故 AC⊥BD. （2）连结 EO. 由（1）及题设知∠ADC=90°，所以 DO=AO. 在 Rt△AOB中， . 又 AB=BD，所以，故∠DOB=90°.

由题设知△AEC为直角三角形，所以 . 又△ABC是正三角形，且 AB=BD，所以 . 故 E为 BD的中点，从而 E到平面 ABC的距离为 D到平面 ABC的距离的，四面体 ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的，即四面体 ABCE与四面体 ACDE的体积之比为 1:1. 20.解：（1）不能出现 AC⊥BC的情况，理由如下：设 , ,则满足所以 . 又 C的坐标为（0，1），故 AC的斜率与 BC的斜率之积为，所以不能出现 AC⊥BC 的情况. （2）BC的中点坐标为（），可得 BC的中垂线方程为 . 由（1）可得，所以 AB的中垂线方程为 . 联立又，可得所以过 A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径故圆在 y轴上截得的弦长为，即过 A、B、C三点的圆在 y 轴上的截得的弦长为定值. 21.解：（1）f（x）的定义域为（0，+ ）， . 若 a≥0，则当 x∈（0，+ ）时，，故 f（x）在（0，+ ）单调递增.

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