2008吉林考研数学三真题及答案.doc

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参考答案

一、选择题

二、填空题

三、解答题

(15) 【详解】

(16) 【详解】(I)

(17) 【详解】曲线将区域分成两

个区域和

区域分割，最后为

(18) 【详解】

方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数，

(19) 【详解】

方法一：设为用于第

(20) 【详解】(I)

证法一：

(II) 记，则

(II)

方法一：，

2008 吉林考研数学三真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数 ( ) f x 在区间[ 1,1] 上连续，则 0 x  是函数 ( ) g x x f   0 ( ) t dt x 的（）  A 跳跃间断点.  B 可去间断点.  C 无穷间断点.  D 振荡间断点. （ 2 ）曲线段方程为 y  ( ) f x ，函数 ( ) f x 在区间 [0, ]a 上有连续的导数，则定积分 a  0 taf ( ) x dx 等于（）  A 曲边梯形 ABCD 面积.  B 梯形 ABCD 面积.  C 曲边三角形 ACD 面积.  D 三角形 ACD 面积. （3）已知 ( , f x y )  e 2 x  y 4 ，则（A） (0,0) xf  ， (0,0) yf  都存在（B） (0,0) xf  不存在， (0,0) yf  存在（C） (0,0) xf  不存在， (0,0) yf  不存在（D） (0,0) xf  ， (0,0) yf  都不存在（4）设函数 f 连续，若 ( , ) f u v  2 2 ( f x x   2 ) 2 y y  uvD dxdy ，其中 uvD 为图中阴影部分，则 F  u   （）（A） 2( vf u ) （B） v f u 2( u ) （C） ( ) v f u vf u （D） ( ) u （5）设 A 为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 3 A  ，则（） 0  A E A 不可逆， E A 不可逆.  B E A 不可逆， E A 可逆.  C E A 可逆， E A 可逆.  D E A 可逆， E A 不可逆. （6）设 A     1 2 2 1    则在实数域上域与 A 合同矩阵为（）  A 2   1  1   2  .  B 2   1  1  2    .

 C    2 1 1 2    .  D 1   2  2  1    . （7）随机变量 ,X Y 独立同分布且 X 分布函数为  F x ，则 Z  max  , X Y  分布函数为（）  A  2F x .   B  F x F y .     C 1    1 F x   2   .  D  1    F x  1       F y    . （8）随机变量 ~ X N   0,1 ， ~ Y N  1,4  且相关系数 XY  ，则（） 1  A  P Y   2 X   1 1  .  B  P Y X 2   1 1  .  C  P Y   2 X   1 1  .  D  P Y X 2   1 1  . 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数 ( ) f x      2 1, x  2 , x x  c x  c 在 (   内连续，则 c  ) , . （10）设 ( f x  1 x )  x 1   3 x 4 x ，则 2 2  2 ( ) f x dx  ______ . （11）设 D  {( , x y x ) 2  2 y  ，则 1}  D 2( x  ) y dxdy   . （12）微分方程 xy    满足条件 (1) 1  的解 y   . 0 y y （13）设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则 2 （14）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则  P X EX 4 A 1   E  _____ .   . 三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 10 分） sin x x (16) （本题满分 10 分） lim ln x  求极限 1 2 x . 0 设 z  ( , z x y ) 是由方程 2 x  2 y   z   x 数且 1   时. （1）求 dz   所确定的函数，其中具有 2 阶导 y z 

（2）记  , u x y   1  x y    z  x   z  y     ，求 u  x  . (17) （本题满分 11 分）计算 max(  D xy dxdy ,1) , 其中 D  {( , x y ) 0   x 2,0   y 2} . (18) （本题满分 10 分）设   f x 是周期为 2 的连续函数，（1）证明对任意实数t ，有（2）证明  G x  2x   (19) （本题满分 10 分）    0 f  f x dx  ； t  2 t    t  2  f x dx  0      f s ds dt   t  2  t 是周期为 2 的周期函数．设银行存款的年利率为 0.05 ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第 n 年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ r  (20) （本题满分 12 分） 2 a 2 a        设矩阵 A  B   1,0,  ， ,0 1 2 a    2 a     1  2 a   n n ，现矩阵 A 满足方程 AX B ，其中 X    1, x , x n T  ，（1）求证 A   n  1 n a ; （2） a 为何值，方程组有唯一解; （3） a 为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分 10 分）设 A 为 3 阶矩阵， 1 ,a a 为 A 的分别属于特征值 1,1 特征向量，向量 3a 满足 2 Aa 3  a 2  ， a 3 证明（1） 1 a a a 线性无关； , , 2 3 （2）令 P   , a a a 1 3 , 2  ，求 1P AP . （22）（本题满分 11 分）设随机变量 X 与Y 相互独立， X 的概率分布为  P X i     i    1,0,1 ，Y 的概率 1 3 密度为  f Y y  1 0 y      0  其它 1 ，记 Z X Y  

（1）求  P Z    1 2 X   0   ；（2）求 Z 的概率密度．（23）（本题满分 11 分） X X 1 , 2 , X , n 是总体为 N  的简单随机样本 . 记 ( ) , 2 X 1 n   ， n  1 i X i 2 S  n n 1   1 1  i ( X i  X 2 ) ， T X  2  21 S n . （1）证 T 是 2 的无偏估计量. （2）当   0,  时，求 DT . 1 参考答案一、选择题 (1)【答案】 B 【详解】 lim ( ) g x x  0  lim 0 x  x  0 f ( ) t dt x  lim 0 x   f x   f   0 ，所以 0 x  是函数 ( )g x 的可去间断点． (2)【答案】C a xf x dx  ( )  a  0 ( ) xdf x  ( ) xf x  a 0 a  0 ( ) ( ) f x dx af a   a  0 ( ) f x dx 【详解】  其中 ( ) 0 af a 是矩形 ABOC面积， a f x dx ( )  0 为曲边梯形 ABOD的面积，所以 a xf x dx  ( )  0 为曲边三角形的面积． (3)【答案】 B 【详解】  f x (0,0)  lim 0 x  (0,0) ( ,0) f x x   f 0  lim 0 x  e 2 x  40  1 x  lim 0 x  e 1 x  x lim 0 x   x e 1  x  lim 0 x   x e 1  x 1  ， lim 0 x   x e 1  x  lim 0 x    e 1 x  x 1   故 (0,0) xf  不存在． f  y (0,0)  lim 0 y  (0,0) f (0, ) y y   f 0  lim 0 y  e 2 0  y 4  1 y  lim 0 y  y e 1 2  y  lim 0 y  2 y y  0 所以 (0,0) yf  存在．故选 B .

(4)【答案】 A 【详解】用极坐标得 , F u v    2  f u 2 u   2 v 2 v  D  dudv  v 0  dv u  1 2 ( f r r ) rdr  v u  1 ( f r dr 2 ) F vf u   u   2 . 所以 (5)【答案】C  【详解】 ( E A E A A   )( 2 )   E A 3  ， E ( E A E A A   )(  2 )   E A 3  E . 故 E A E A  均可逆．  , (6)【答案】 D 【详解】记 D 1    2  2  1    ，则  E D   1   2 2   1     2 1  4 ，又  E A   1   2  2  1       2 1  4 ，所以 A 和 D 有相同的特征多项式，所以 A 和 D 有相同的特征值. 又 A 和 D 为同阶实对称矩阵，所以 A 和 D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故 D 正确. (7)【答案】 A 【详解】   (8)【答案】 D 【详解】用排除法. 设Y aX b    z P X z P Y z F z F z F z   XY  ，知道 ,X Y 正相关，得 0    , max F z P Z z P X Y Z    a  ，排除    A 、  ，由     C    1      . Z Z 2 Z 由 ~ X N (0,1), ~ Y N (1,4) ，得 EX  0, EY  1,     所以 1b  . 排除  a 1, 0 b B . 故选择 ( ) E Y  E aX b  ( )  aEX b  所以  D . 二、填空题 (9)【答案】1 【详解】由题设知 | x c | 0  ，所以 ( ) f x 2 , x   2 1, x    2 , x  c x  c x    x c   c 因为  f x   lim c x   lim( x  c  2 x 1)   c 2 1  ， lim c x    f x   lim c x   2 x  2 c 又因为 ( ) f x 在 (   内连续， ( ) f x 必在 x ) , 所以 lim c x    f x   lim c x    f x   ( ) f c ，即 2 c c 处连续 1 1     . c 2 c

(10)【答案】 1 ln 3 2 【详解】 f x    1   x   1 x 1 2 x  x  2 x  所以 2 2  2 (11)【答案】    f x dx  4 2 2  2 2 x    x  1 x  1 x x 2  x      ，得   t x f 1 x  t 2 2  t ，令 t  2  dx 2 1 2 ln  x 2  2  2 2 2  1 2  ln 6 ln 2    1 2 ln 3 . 【详解】  D 2 ( x  ) y dxdy  利用函数奇偶性 D 2 x dxdy  2  x  2 y dxdy  1 2  D 2  1  d  0 2 r rdr   4 . 1 2   0 1 x y  x  y (12)【答案】【详解】由 dy dx 以 y  1 x . (13)【答案】3  ，两端积分得  ln y  ln x C 1  ，所以 1 y  x C  ，又 (1) 1  ，所 y 【详解】 A 的特征值为1,2,2 ，所以 1A 的特征值为1,1 2,1 2 ，所以 1 4A   的特征值为 4 1 1 3    ， 4 1 2 1 1   ， 4 1 2 1 1   E   所以 4 B 1   E 3 1 1 3     . (14)【答案】 1 e 1 2 【详解】由 DX EX  2  ( EX 2 ) ，得 2 EX  DX  ( EX 2 ) ，又因为 X 服从参数为 1 的泊松  ，所以 2 EX    ，所以  P X 1 1 2 1   2  2 1 e 2 ！  1  1 2  1 e . 分布，所以 DX EX 三、解答题 (15) 【详解】方法一： lim ln x  0 1 2 x sin  lim 0 x  x x sin x  x 3 x   0 1  lim ln 1  2 x  x  cos x  2 3 x lim 0 x  1  x sin x    lim 0 x  1    sin x 6 x   1 6

方法二： lim ln x  0 1 2 x x sin x 洛必达法则 lim 0 x  洛必达法则 lim 0 x  1 6      x sin x 2 6 x ydy dz  (16) 【详解】(I) 2 xdx  2  x   y z    dx dy dz    x cos 2 x x  2 sin sin x x  lim 0 x  x cos sin x x  3 2 x       1 dz       2  x dx       2  y dy      2   dz  x dx          1 2  y dy   1   (II) 由上一问可知 z  x   x        2 1 , z  y   y        2 1 ，所以  , u x y   1 x y  ( z  x   z  y  )  1 x y  (        2 1 x  y        2 1 )  1 x y   x 2 2 y    1    2    1 所   2 (1      )  z  x   2 1 u  x       2 (1      2 x   1    2 1  ) (17) 【详解】曲线 xy  将区域分成两 1 以     2 (1       1   2 x  3   )     2 (1 2 ) x    3    1  . 个区域 1D 和 2 D D ，为了便于计算继续对 3 区域分割，最后为  ,1 max xy  dxdy  D    D 1 1 2 0  xydxdy  dxdy   D 2 dxdy  D 3 dx 2  0 1 dy  dx  2 1 2 1 1x 0  dy   2 1 2 dx  2 1 x xydy D1 D3 D2  15 4  ln 2 O 0.5 2 x 1 2ln 2   19 ln 2 4   (18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，   f x dx  f x dx    2 0 2  t t   f x dx  令 2    ，则 u x t 0   f x dx  t  2  2  f x dx   t  2 2   u du  t  0 f  2   t  0  f u du    0 t   f x dx 

所以 t  2  t  f x dx   0  t  f x dx  (II) 由(1)知，对任意的 t 有 t  2  2 2  0   f x dx   f x dx   2  0  f x dx   0  t   f x dx  ，记  a  f x dx  2 0 2   0  f x dx  ，则 ( ) G x  2 x  0  f u du ax   . 所以，对任意的 x ， ( G x  2)  ( ) G x  2 x  2  ( f u du a x    2) 2  x  0  f u du ax    2 x  2  x  f u du   2  2  2 0  f u du   2 a  0 所以  G x 是周期为 2 的周期函数. 0  a t t 2   F 方法二：(I) 设 ( ) F t ( ) f x dx  ，由于 ( ) F t  f ( t  2)  f ( ) 0 t  ，所以 ( )F t 为常数，从而有 ( ) F t (0) . 而 F (0) 2   0 ( ) f x dx ，所以 ( ) F t 2   0 2 t  2 t   ( ) f x dx ( ) f x dx  (II) 由(I)知，对任意的t 有 . 0 t  2  2  f x dx   2  0 ( ) G x  2 x  0  f u du ax   ， ( G x  2)  2  0 x  2  f x dx  a ，记    ( f u du a x   2 0  ( ) f x dx ，即  f x dx  ，则 2) 由于对任意 x ， ( G x  2)    2 ( f x  2)   a 2 ( ) f x  ， a ( ) G x    2 ( ) f x  a 所以即有  ( G x  2)  G x   ( )  ，从而 0 ( G x  2)  ( ) G x 是常数 ( G x  2)  G x G ( )  (2)  G (0) 0  所以  G x 是周期为 2 的周期函数. (19) 【详解】方法一：设 nA 为用于第 n 年提取 (10 9 )n 万元的贴现值，则 nA (1   r )  n (10 9 ) n  故 A    n 1  A n    n 1  10 9 n  n ) (1 r   10   n 1  1 r  n ) (1    n 1  9  n r n ) (1  200 9    n 1  n r  n ) (1 设 ( ) S x    n 1  n nx    ( 1,1) x 因为 ( ) S x  x (   n 1  x n  )  x ( x  1 x  )  x x  2 ) (1    ( 1,1) x

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