天津大学数分高代真题.pdf-资料库

weixin_46183184-12099235-4744302543401602321.pdf-第1页.png

第1页 / 共8页

weixin_46183184-12099235-4744302543401602321.pdf-第2页.png

第2页 / 共8页

weixin_46183184-12099235-4744302543401602321.pdf-第3页.png

第3页 / 共8页

weixin_46183184-12099235-4744302543401602321.pdf-第4页.png

第4页 / 共8页

weixin_46183184-12099235-4744302543401602321.pdf-第5页.png

第5页 / 共8页

weixin_46183184-12099235-4744302543401602321.pdf-第6页.png

第6页 / 共8页

weixin_46183184-12099235-4744302543401602321.pdf-第7页.png

第7页 / 共8页

weixin_46183184-12099235-4744302543401602321.pdf-第8页.png

第8页 / 共8页

天津大学 2009 − 2020 年真题与答案作者：余泉 QQ：3290487204

1 天津大学 2009 年研究生入学考试试题与答案高等代数余泉一、填空题（每题 5 分，共 50 分） 1. 设 f (x) = 解：法一令 A = QQ : 3290487204 a2 + x b2 + x c2 + x a3 + x b3 + x c3 + x a1 + x b1 + x c1 + x ，则 f (x) 最多是 1 次多项式。 0BB@ a1 1CCA，则 a1 + x b1 + x c1 + x = |A| + x a2 + x b2 + x c2 + x a3 + x b3 + x c3 + x 3X 3X c1 c2 c3 b1 b2 b3 f (x) = a2 a3 i=1 j=1 Aij nP nP nP nP i=1 j=1 余子式。令 x = 1，则和。法二因 f (x) c2−c1===== c3−c1 3290487204，973778784 2. 设 α1 = (6,−1, 1) ′ , α2 = (−7, 4, 2) ′ c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3 a2 + x b2 − a2 a3 + x b3 − a3 a1 + x b1 − a1 8>><>>: a1x1 + a2x2 + a3x3 = a4 x1 + 3x2 − 2x3 = 1 2x1 + 5x2 + x3 = 8 是线性方程组故 f (x) 最多是 1 次多项式。注：记 A = (aij), B = (aij + x)，则 |B| = |A| + x Aij。其中 Aij 为 (aij) 的代数 Aij = |B| − |A|，这个式子通常用来计算 A 的所有代数余子式的 j=1 i=1 ，故 f (x) 最多是 1 次多项式。的两个解，那么此方程组的通解是 k(−13, 5, 1) ′ + (6,−1, 1) ′ , k ∈ R. 。解：因线性方程组 (I) 的系数矩阵对应的秩大于等于 2，故其对应的齐次方程组 (II) 的解空间的维数 ≤ 3 − 2 = 1，而 α2 − α1 为 II 的一个解，故 (I) 的通解为： k(α2 − α1) + α1 = k(−13, 5, 1) ′ + (6,−1, 1) ′ , k ∈ R

1 天津大学 2009 年研究生入学考试试题与答案高等代数 2021 年版本 3. −1 2 5 0 0 0 0 2 3 0BBBB@ 0 0 1 1 1CCCCA 0BBBB@ 0 0 1 1 3 7 0 0 0 0 2 3 2 5 0 0 解： 3 7 0 0 4. 设 R3 的两个基为 0BBBB@ 0 0BBBBB@ = = 1CCCCA −1 0 −7 0 0 3 −1 −2 1 0 1 1 2 3 1CCCCA 。 !−1 2 5 3 7 5 3 −2 0 0 0 !−1 1CCCCCA = 0BBBB@ 0 0 −7 0 0 3 −1 −2 1 0 5 3 −2 0 0 0 1CCCCA。 ′ (I) : α1 = (1, 1, 1) , α2 = (1, 0,−1) ′ ′ ′ , β2 = (2, 3, 4) (II) : β1 = (1, 2, 1) ′ , α3 = (1, 0, 1) ′ , β3 = (3, 4, 3) 1CCA ，向量 β = β1 + 2β2 + 3β3 4 0BB@ 2 3 0 −1 −1 0 0 −1 则基 (I) 到基 (II) 的过度矩阵为在基 (I) 下的坐标为 (20,−2,−4) ′ 。解：设基 (I) 到基 (II) 的过度矩阵为 A，则 (β1, β2, β3) = (α1, α2, α3)A，故 4 0 0 −1 3 0 −1 −1 0BB@ 2 1CCA 1CCA = (α1, α2, α3) 0BB@ 1 ! 3 −1B) 2 1CCA 0BB@ 20 −2 −4 A = (α1, α2, α3) −1 (β1, β2, β3) = 故向量 β = β1 + 2β2 + 3β3 在基 (I) 下的坐标为 0BB@ 1 ! 2 3 1CCA = (α1, α2, α3)A −−−−−−→ (E, A (A, B) 初等行变换 −−−−−−→ 初等列变换 E BA −1 β = (β1, β2, β3) 注：计算 A −1B 时. 计算 BA −1 时. A B 5. 设 x1, x2, x3 为矩阵 A 的分别属于特征值 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3 的特征向量，而 S = (3x2, x3,−2x1)，则 S −1S = diag( , 1) 。 −1A , 1 2 1 3 解：A −1 的特征值为 µ1 = 1, µ2 = 1 3x2, x3,−2x1，则 2, µ3 = 1 3。由题可知 µ2, µ3, µ1 对应的特征向量分别为 −1A −1S = diag(µ2, µ3, µ1) = diag( S 1 2 , 1 3 , 1) 3

2021 年版本 1 天津大学 2009 年研究生入学考试试题与答案高等代数 1CCA 。 6. 设 A = 0BB@ −1 0 0 1CCA，则 A100 = !100 解：因 1 3 0 1 0 0 1 3 = E + 0 1 300 0 1 0 0 0BB@ 1 0 !!100 0 3 0 0 0 1 0BB@ −1 0 0 1 3 0 0 0 1 故 A = = E + C 1 = E100 + C 1 0 3 100E99 0BB@ (−1)100 100 0 0 1CCA100 = 0 3 0 0 ! !100 ! + ··· + 0BB@ 1 0 1CCA = 1 300 0 1 !100 0 0 1 300 0 0 1 0 3 0 0 ! = 1 3 0 1 1CCA。 7. 设三阶矩阵 A 的特征值为 −1, 1, 2，A ∗ 的特征值为 6, 0, 。 15 2 为 A 的伴随矩阵，则 B = 3A2 + A −1 + A ∗ − 2A 解：A −1 = A ∗ |A| ⇒ A ∗ = |A| A −1 = −2A −1，则 B = 3A2 − 2A − A −1。令 f (x) = 3x2 − 2x − x −1 则 f (−1) = 6, f (1) = 0, f (2) = 15 0BB@ 3 2 a 3 −2 8 a 2 −2 2 。 2 ，故 B 的特征值为 6, 0, 15 1CCA 是正定矩阵，a 是正整数，则 a = 1 。 = 2(8 − 4a)(3 + a) > 0 = 9 − a2 > 0, 3 a 3 2 a 3 −2 8 a 2 −2 a 3 8. 设 A = 解：因 A 正定，故 |3| = 3 > 0, 解得 a = 1。 4

2021 年版本 1 天津大学 2009 年研究生入学考试试题与答案高等代数 9. 设 α1, α2, α3 是欧式空间 V 的一个基，其度量矩阵为 1CCA 2 −2 5 −4 6 2 −2 −4 0BB@ 2 1CCA，则 0BB@ 1 1CCA (α1, α2, α3) 1 1 A = 0BB@ α1 α2 α3 β = α1 + α2 + α3，则 |β| = √ 5 。解：β = α1 + α2 + α3 = (α1, α2, α3) ⟨β, β⟩ = β ′ β = (1, 1, 1) 故 |β| = √ 5。 0BB@ 1 1 1 1CCA = (1, 1, 1)A 0BB@ 1 1 1CCA = 5 1 注：最后一个等式即 A 的所有元素的和。 10. 设 n 元实二次型 f 的秩为 n，且 f 与 −f 有相同的规范性，则 f 的正惯性指数为。 n 2 解：设 f 的正惯性指数为 m，则负惯性指数为 n− m；则 −f 的正惯性指数为 n− m，负惯性指数为 m。从而 m = n − m，解得 m = n 3290487204，973778784 2 。二.V 是实数域上以可微函数组 (I) : ex, e2x, xe2x 为基的 3 维线性空间。 (1) 求微分运算 D 在基 (I) 下的矩阵； (2) 是否存在 V 的某个基使得线性变换 D 在该基下的矩阵为对角矩阵。解：(1) D(ex) = ex, D(e2x) = 2e2x, D(xe2x) = e2x + 2 · xe2x，故 0BB@ 1 0 0 0 2 1 1CCA 0 0 2 所以微分运算 D 在基 (I) 下的矩阵为 D(ex, e2x, xe2x) = (ex, e2x, xe2x) 0BB@ 1 0 0 0 2 1 1CCA； 0 0 2 5

2021 年版本 0BB@ 1 0 0 0 2 1 1 天津大学 2009 年研究生入学考试试题与答案高等代数 1CCA 不可对角化，而线性变换 D 在任意基下的矩阵都与 0BB@ 1 0 0 0 2 1 1CCA 相 (2) 因 0 0 2 0 0 2 似，故不存在 V 的某个基使得线性变换 D 在该基下的矩阵为对角矩阵。三. 在 Rn×n 上定义内积：(A, B) = tr(AB ′ ) (1) 求子空间 W = {A ∈ Rn×n|tr(A) = 0} 的维数与一组基； (2) 求 W 的维数与基。 ⊥ 解：(1) dim W = n2− 1；一组基为：Eij (i ̸= j, i, j = 1, 2,··· , n), E11− Eii (i = 2, 3,··· n)。证明如下：∀A = (aij) ∈ W ，有 tr(A) = 0 ⇒ a11 + a22 + ··· + ann = 0，则 nP aii(Eii − E11) nX nX nP aijEij + i,j=1 i̸=j A = i=2 令 kijEij + i,j=1 i̸=j i=2 lii(Eii − E11) = 0，解得 kij = 0 (i ̸= j, i, j = 1, 2,··· , n), lii = 0 (i = 2, 3,··· n) 则这个向量组线性无关。证毕。 (2) dim W ⊥ = n2 − (n2 − 1) = 1；因 tr(E, E11 − Eii) = 0 (i = 2, 3,··· n), tr(E, Eij) = 0 (i ̸= j, i, j = 1, 2,··· , n) 的基为 E。 ⊥ 所以 W 3290487204，973778784 四.(1) 试证存在 2 阶矩阵 A, B 使得 AB − BA = 1 0 0 −1 (2) 试证不存在矩阵空间 R2×2 上的线性变换 σ 满足 1 0 0 −1 ∀A, B ∈ R2×2, σ(AB) = σ(A)σ(B), σ ! ! ；证：(1) 取 A = E12, B = E21，则 AB − BA = E12E21 − E21E12 = E11 − E22 = ! = 1 0 0 1 ! 1 0 0 −1 (2) 假设 σ 满足条件，由 (1) 知： σ(E12E21 − E21E12) = σ(E12E21) − σ(E21E12) = σE12σE21 − σE21σE12 = E 但是 tr(σE12σE21 − σE21σE12) = tr(σE12σE21) − tr(σE21σE12) = 0 ̸= trE = 2 故不存在这样的线性变换 σ。 6

2021 年版本 1 天津大学 2009 年研究生入学考试试题与答案高等代数五. 设 r(Am×n) = r ̸= 0，求证：存在矩阵 Bm×r, Cr×n 使得 A = BC, r(B) = r(C)。 ! 证：由 r(A) = r ̸= 0 知，存在可逆矩阵 Pm×m, Qn×n 使得 ! ! A = P Er 0 0 0 Q = P Er 0 (Er, 0) Q 令 B = P Er 0 , C = (Er, 0) Q，则 A = BC, r(B) = r(C)。六. 设矩阵 As×n 的秩为 r，线性方程组 Ax = b (I)（其中 x, b 为列向量，b ̸= 0）有特解 ξ0，导出方程组 Ax = 0 的一个基础解系为 ξ1, ξ2,··· , ξn−r，试证明： (1) 向量 η0 = ξ0, η1 = ξ0 + ξ1,··· , ηn−r = ξ0 + ξn−r 是方程组 (I) 的线性无关解向量； (2)η0, η1,··· , ηn−r 的一切线性组合 k0η0 +k1η1 +···+kn−rηn−r(k0 +k1 +···+kn−r = 1) 是方程组 (I) 的全部解。证：(1) 令 k0η0 + k1η1 + ··· + kn−rηn−r = 0，即 k0ξ0 + k1(ξ0 + ξ1) + ··· + kn−r(ξ0 + ξn−r) = (k0 + k1 + ··· + kn−r)ξ0 + k1ξ1 + ··· + kn−rξn−r = 0 方程两边同时左乘 A 得：又 b ̸= 0，故 k0 + k1 + ··· + kn−r = 0，从而又 ξ1, ξ2,··· , ξn−r 线性无关，则 (k0 + k1 + ··· + kn−r)b = 0 k1ξ1 + ··· + kn−rξn−r = 0 k1 = ··· = kn−r = 0 则 k0 = 0，即 η0, η1,··· , ηn−r 线性无关；又显然有 Aηi = b (i = 0, 1,··· , n − r)，故向量 η0 = ξ0, η1 = ξ0 + ξ1,··· , ηn−r = ξ0 + ξn−r 是方程组 (I) 的线性无关解向量。 (2) 方程组 (I) 的全部解可表示为： ξ0 + l1ξ1 + l2ξ2 + ··· + ln−rξn−r = (1 − l1 − ··· − ln−r)ξ0 + l1(ξ0 + ξ1) + ··· + ln−r(ξ0 + ξn−r) = k0ξ0 + k1(η1) + ··· + kn−r(ηn−r) 其中 k0 = 1 − l1 − ··· − ln−r, ki = li(i = 1,··· , n − r)。故 η0, η1,··· , ηn−r 的一切线性组合 k0η0 + k1η1 + ··· + kn−rηn−r(k0 + k1 + ··· + kn−r = 1) 是方程组 (I) 的全部解。 3290487204，973778784 7

2021 年版本 1 天津大学 2009 年研究生入学考试试题与答案高等代数七.(1) 设 A, B 都是 n 阶正定矩阵，求证：A + B 是正定矩阵； (2) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵，且 A 的特征值大于 a，B 的特征值小于 b。证明 A − B 的特征值大于 a − b。证：(1) 因为 A, B 都是 n 阶正定矩阵，所以 A, B 都是 n 阶实对称矩阵，则 A + B 也是 n 阶实对称矩阵；因为 A, B 都是 n 阶正定矩阵，所以对 ∀x ̸= 0 有 ′ x Ax > 0, x ′ Bx > 0 且 ′ Bx = 0 ⇔ x = 0 ′ Ax = x x (A + B)x = 0 ⇔ x = 0。故 A + B 是正定矩阵。 (2) 由题可知：A − aE,−B + bE 均为正定矩阵，故 (A − B) − (a − b)E 为正定矩阵，从则 ∀x ̸= 0, x ′ (A + B)x > 0，且 x ′ 而 A − B 的特征值大于 a − b。 3290487204，973778784 八. 多项式 f (x), g(x) 互素，A 为 n 阶矩阵，齐次线性方程组的解空间分别为 W1, W2, W 。证明：W = W1 ⊕ W2。 f (A)x = 0, g(A)x = 0, f (A)g(A)x = 0 证：1) 因为 f (x), g(x) 互素，故 ∃u(x), v(x) 使得对 ∀α ∈ W1 ∩ W2 有则 u(x)f (x) + v(x)g(x) = 1 f (A)α = g(A)α = 0 α = u(A)f (A)α + v(A)g(A)α = 0 ⇒ W1 ∩ W2 = 0 故 W1 ⊕ W2； 2) 对 ∀α ∈ W 有 f (A)g(A)α = 0 且 α = u(A)f (A)α + v(A)g(A)α，而 f (A)[v(A)g(A)α] = v(A)[f (A)g(A)α] = 0 ⇒ v(A)g(A)α ∈ W1 g(A)[u(A)f (A)α] = u(A)[f (A)g(A)α] = 0 ⇒ u(A)f (A)α ∈ W2 故 W = W1 + W2。综上可知：W = W1 ⊕ W2。 8

资料库

天津大学数分高代真题.pdf

相关推荐

课程资源

热门标签

最新资料