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激光原理及应用第二版(陈家璧)课后思考练习题答案(全).doc
思考练习题 1
1． 试计算连续功率均为 1W 的两光源，分别发射＝0.5000m，=3000MHz 的光，每秒
从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？
答：粒子数分别为：
n
1
q
h
1
10
34
c
5.0
10
63.6
63.6
6
10
34
3
.2
5138
10
18
8
10
n
2
q
h
1
34
63.6
10
3
10
9
.5
0277
10
23
2．热平衡时，原子能级 E2 的数密度为 n2，下能级 E1 的数密度为 n1，设
g ，求：(1)
1
g
2
当原子跃迁时相应频率为＝3000MHz，T＝300K 时 n2/n1 为若干。(2)若原子跃迁时发光波
长＝1，n2/n1＝0.1 时，则温度 T 为多高？
h
kT
E
m
kT
E
）
n
34
m
9
(
则有：
e
exp[
63.6
38.1
10
10
3
23
10
300
1]
答：（1）
n
m
n
n
/
/
g
g
n
e
n
2
n
1
（2）
n
2
n
1
h
kT
e
exp[
63.6
10
38.1
10
23
34
3
10
1
8
10
6
]
T
1.0
T
26.6
10
3
K
3．已知氢原子第一激发态(E2)与基态(E1)之间能量差为 1.64×l0－18J，设火焰(T＝2700K)中
含有 1020 个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布，且 4g1＝g2。求：(1)能级 E2 上的原子数 n2 为
多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为 l08 n2，求光的功率为多少瓦？
答：（1）
h
kT
1
e
n
g
2
gn
1
2
4
n
2
n
1
exp[
64.1
10
38.1
10
23
18
2700
]
11.3
10
19
且
n
1
n
2
20
10
可求出
2 n
31
（2）功率＝
8
10
31
64.1
10
18
.5
084
10
W9
4．(1)普通光源发射 ＝0.6000m 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比
q
q
， 求 此 时 单 色 能 量 密 度 为 若 干 ？ (2) 在 He — Ne 激 光 器 中 若
2000
1
=
激
自
0.5
10
4
msJ
/
3
，为 0.6328m，设＝1，求
答：（1）
q
q
激
自
为若干？
q
q
激
自
＝
3
c
3
8
h
3
8
h
1
2000
6.0(
8
10
63.6
36
)
10
（2）
q
q
激
自
＝
3
c
3
8
h
3
8
h
10
6328
.0(
8
63.6
10
36
)
34
msJ
/
3
.3
857
10
17
34
5
10
4
6.7
10
9
5．在红宝石 Q 调制激光器中，有可能将全部 Cr3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。
设红宝石直径 0.8cm，长 8cm，铬离子浓度为 2×1018cm－3，巨脉冲宽度为 10ns。求：(1)输
出 0.6943m 激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命＝10－2s，问自发辐射
功率为多少瓦？
答：（1）最大能量
hNW
r
2
d
ch
.0
004
2
08.0
2
10
18
6
10
63.6
10
34
.0
脉冲平均功率＝
W
t
6
3.2
10
10
10
9
30.2
10
瓦8
8
3
6943
10
10
3.2
J
6
N
自
（2）
0
en
20
tA
21
dt
P
自
hN
自
3.2
n
11
20
e
11
e
145
瓦
6．试证单色能量密度公式，用波长来表示应为
8
hc
5
1
hc
kT
e
1
证明：
dw
dVd
dw
dVd
c
2
c
2
8
h
3
1
kT
c
2
8
hc
5
1
h
e
1
kT
h
e
1
7. 试证明，黑体辐射能量密度 ( ) 为极大值的频率 m 由关系
mT
1
2.82
kh
1
给出，并
求出辐射能量密度为极大值的波长 m 与 m 的关系。
答：（1）由
3
8
h
3
c
1
hv
kT
e
1
可得：
2
8
3(
h
3
h
c
e
kT
1
3
1
h
kT
(
e
2
)1
h
kT
e
h
kT
)
0
令
x
h
kT
，则上式可简化为：
x
(3
e
)1
x
xe
解上面的方程可得：
82.2x
即：
h
m
kT
82.2
m
T
1
82.2
kh
1
（2）辐射能量密度为极大值的波长 m 与 m 的关系仍为
m
c
m
8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数
1A
证明：
f N
)(
A
2
)
)2/1(
2
，由归一化条件且 0 是极大的正数可得：
2
4
0
(
40
2
0
(
A
2
)
)2/1(
2
d
1
2
0
4
(
2
0
A
2
)
)2/1(
2
d
1
A
2
0
2
2
1
41(
)
2
d
1
A
2
2
4
arctg
4[
]'
0
A
1
1
9．试证明：自发辐射的平均寿命
1
A
21
， 21A 为自发辐射系数。
证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：
)(
tn
2
＝
tAen
20
21
自发辐射的平均寿命可定义为
1
n
0
20
dt
tn
2
式中 dt
tn2
为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔 dt 产生的总时间，因此上述广
义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自
发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出
e
0
tA
21
dt
1
A
21
10．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为
c ，证明接收器接收到的频率
1
1
/
/
c
0
c
，在一级近似下为：
0(1
)
c
证明：
1
1
c
c
0
1(
即证
2
2
c
c
1)(
1
2
)
0
1(
11)(
2
c
2
2
c
)
0
1(
)
c
0
11．静止氖原子的 3S22P4 谱线的中心波长为 0.6328m，设氖原子分别以0.1c,0.5c 的
速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少？
答：
1.0
c
0
1
1
c
c
1.1
9.0
c
1.1
9.0
.0
同理可求：
1.0
c
.4
288
10
14
Hz
；
8
3
6328
10
10
.5
241
10
14
Hz
6
5.0
c
211.8
14
10
Hz
；
5.0
c
.2
737
10
14
Hz
12．设氖原子静止时发出 0.6328m 红光的中心频率为 4.74×1014Hz，室温下氖原子的平均
速率设为 560m/s。求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？
0
答：
1(
0
1(
)
.11(
8667
10
6
)
0
.1
6
10
14
.8
848
10
8
Hz
)
c
8667
560
10
3
74.4
8
10
13．(1) 一质地均匀的材料对光的吸收为 0.01mm-1、光通过 10cm 长的该材料后，出射光强
为入射光强的百分之几? (2) —光束通过长度为 1m 的均匀激活的工作物质，如果出射光强是
入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。
答；（1）
)(
zI
I
)0(
e
Az
)(
zI
)0(
I
100
01.0
e
1
e
.0
368
（2）
)(
zI
I
)0(
e
Gz
)(
zI
)0(
I
G
1
e
G
2
2ln
.0
693
m
1
思考练习题 2
1. 利用下列数据，估算红宝石的光增益系数 n2－n1＝51018cm-3，1/f()＝2×1011 s-1，t自发 ＝
1A 310-3s，λ＝0.6943m，＝l.5，g1＝g2。
21
答：
G
)(
A
21
B
21
)(
fh
21
nB
c
3
8
3
h
3
c
G
)(
An
21
3
c
3
3
8
h
c
)(
fh
An
21
2
2
8
f
)(
G
)(
5
10
18
1
10
3
.0(
6943
10
2
8
5.1
24
)
1
10
11
2
3
71.0
cm
1
2. He-Ne 激光器中，Ne 原子数密度 n0＝n1+n2＝l012 cm-3，1/f()＝15×109 s-1，λ＝0.6328m，
1A 10-17s，g3＝3，g2＝5， 1 1 ,又知 E2、E1 能级数密度之比为 4，求此介质
t自发 ＝
21
的增益系数 G 值。
12
10
n
0
E
n
1
E
和
能级数密度之比为
1
cm
n
3
2
2
答：
14
比
n
1
n
2
2
8
10
10
11
n
n
2
11
g
g
2
1
n
1
14
3
11
10
A
21
B
21
3
3
8
8
3
h
3
c
h
3
c
B
21
3
cA
21
3
8
h
G
)(
nB
21
c
)(
fh
2
An
21
8
f
)(
14
3
17
10
.0(
11
10
10
26
)
6328
8
1
10
9
5.1
72.0
cm
1
3.
(a)要制作一个腔长 L＝60cm 的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定
腔的一块反射镜的曲率半径 R1＝4L，求另一面镜的曲率半径取值范围。
答：（a）
R
1
R
2
R
；
0
1(
L
R
1)(
1)
R
30
cm
L
R
3
4
（b）
0
1(
L
R
1
1)(
L
R
2
1)
1(
0
L
R
2
1)
R
2
RL
或
2
3
L
4. 稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为 R1＝40cm，R2＝100cm，求腔长 L 的取值
范围。
答：
0
1(
L
R
1
1)(
L
R
2
1)
0
1(
L
40
1)(
L
100
1)
0
L
40
cm
或
100
L
140
cm
5. 试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。
G
0
D
)(
证明：
f
D
(
0
)
D
f
21
0
)(
Bn
h
c
)2ln(2
21
D
G
0
D
(
0
)
0
Bn
21
h
0
c
(
f
D
0
)
G
0
D
(
0
)
0
Bn
21
2
c
D
h
0
ln2(
21
)
即证。
6. 推导均匀增宽型介质，在光强 I，频率为的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。
证明：
G
)(
1
[(
0
)
2
(
0
)
2
)(
f
f
)(
(
)
0
(
2
1(
0
2
])
I
I
)(
)(
G
)
2
2
s
0
G
I
I
s
而：
0
G
)(
0
Bn
21
0
G
(
0
)
0
Bn
f
(
0
)
2
0
f
)(
h
c
h
0
c
(
f
0
21
)
0
G
)(
f
f
)(
0
0
G
(
0
)
1
2
)
(
0
(2
)
(
2
2
)2
0
G
(
0
)
依据上面两式可得：
G
)(
(
(
0
2
0
G
)
2
2
)
1(
)
)(
(
0
I
sI
；即证。
2
)
2
7. 设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为 ，求证，I＝IS 时的稳定工作时讯号增
益曲线的线宽为 2 ，并说明其物理意义。
证明：（1）
G
)(
1
[(
0
)
2
(
0
)
2
)(
f
f
)(
(
)
0
(
2
1(
0
2
])
I
I
)(
)(
G
)
2
2
s
(
(
0
0
G
I
I
s
当
1sII
时，增益系数的最大值为：
G
G
(
)
0
)
0
(
0
2
；
当增益系数的最大值为增益系数的最大值的一半时，即
2
0
G
)
2
2
)
1(
)
)(
(
0
I
I
s
2
)
2
G
)(
G
0
)(
)(
f
(
)
f
0
1
(
)
2
(
0
)
2
2
0
G
)
(
0
)
2
(2
0
G
)
(
0
4
2
时，对应有两个频率为：
0
1
(2
)
以及
2
－
0
2
(2
)
2
2
＝－＝
1
2
（2）物理意义：当光强
I 时，介质只在
sI
2 范围内对光波有增益作用，在此范围外
增益可忽略不计，而光波也只在这个线宽范围内对介质有增益饱和作用。
8. 研究激光介质增益时，常用到“受激发射截面” ( )
e (cm2)概念，它与增益系数 ( )G (cm
－1)的关系是
( )
e
( )
G
n
， n 为反转粒子数密度，试证明：具有上能级寿命为，线
型函数为 ( )
f 的介质的受激发射截面为
( )
e
(
2
2
c f
）
2
8
。
G
)(
)(
fh
21
nB
c
3
8
3
h
3
c
)(
G
n
A
21
B
21
证明：
)(
e
c
)(
e
A
21
3
c
3
3
8
h
)(
fh
2
c
1
2
8
2
f
)(
2
)(
fc
2
2
8
9. 饱和光强 ( )
sI 是激光介质的一个重要参数。证明均匀增宽介质在中心频率 0 处的饱和
光强
I
s
(
0
)
h
0
(
0
)
e
，并计算均匀增宽介质染料若丹明 6G 在 0 ＝0.5950m 处的饱和光
强。(已知＝5.5×l 0—9s， ＝4.66×1013Hz，＝1.36)
I
s
(
0
)
答：(1)
)(
e
c
2
B
21
)(
G
n
nB
c
21
G
)(
)(
fh
I
s
(
0
)
f
(
0
)
c
2
2
h
0
c
f
(
)
0
(
0
e
)
I
s
(
0
)
h
0
(
0
e
)
I
s
(
0
)
(2)
0
(
e
)
h
0
(
)
0
e
2
(
)
fc
0
2
2
8
0
h
4
0
(
hc
3
)
2
2
e
0
I
s
(
0
)
.3
213
10
5
cmW
/
2
10. 实验测得 He-Ne 激光器以波长＝0.6328工作时的小讯号增益系数为 G0＝310－
4/d(cm-1)，d 为腔内毛细管内径(cm)。以非均匀增宽计算腔内光强 I＝50W／cm2 的增益
系数 G(设饱和光强 Is＝30W／cm2 时，d＝1mm)，并问这时为保持振荡稳定，两反射镜
的反射率(设 r1＝r2，腔长 0.1m)最小为多少(除透射损耗外，腔内其它损耗的损耗率 a内 ＝
910－4cm-1)?又设光斑面积 A＝0.11mm2，透射系数＝0.008，镜面一端输出，求这时输
出功率为多少毫瓦。
答：（1）
G
D
)(
D
1(
0
D
)(
I
21
)
I
s
3
10
1(
1
10
21
)
4
50
30
.1
837
10
3
1
cm
（2）
rrK
21
exp(
aG
内
2)
L
1
2
r
exp(
.1
837
10
3
9
10
4
)
20
1
r
99.0
（3）
P
0
IA
.0
008
11.0
10
2
50
10
3
44.0
mW
11. 求 He-Ne 激光的阈值反转粒子数密度。已知＝6328Å，1/f() ＝109Hz，＝1，
设总损耗率为 a总 ，相当于每一反射镜的等效反射率 R＝l－L a总 ＝98.33％，＝10—7s，
腔长 L＝0.1m。
答：
n
阈＝
2
2
8
a
2
)(
fc
2
1
8
L
)(
f
2
R
总
8
10
7
.0(
6328
10
.0
0167
1.0
26
)
9
10
.1
048
10
15
3
/
m
12. 红宝石激光器是一个三能级系统，设 Cr3＋的 n0＝1019／cm3，21=310-3s，今以波长λ＝
0.5100m 的光泵激励。试估算单位体积的阈值抽运功率。
答：
P
＝阈
3
Vnh
0
2
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63.6
10
51.02
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3
13. YAG 激光器为四能级系统。已知 n 阈 ＝1.8×1016cm－3，32＝2.310-4s。如以波长 0.75m
的光泵激励。求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值功率是它的几倍。
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