2014吉林高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2014 吉林高考理科数学真题及答案第Ⅰ卷一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M=｛0,1,2｝，N= | x x 2 3 x  ≤ ，则 M N =(  2 0 ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ 2. 设复数 1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1 z D. ｛1，2｝ 2   ，则 1 2z z  （） i A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3. 设向量 a,b满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6 ，则 a b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4. 钝角三角形 ABC 的面积是 1 2 ，AB=1，BC= 2 ，则 AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A. 17 27 B. 5 9 C. 10 27 D. 1 3 7. 执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S= （） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设 ,x y 满足约束条件（） x    x   3 x  7 0 y   ≤ 1 0 3 y  ≤ 5 0 y   ≥ ，则 2  z x  的最大值为 y

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 y 10. 设 F 为抛物线 C: 2 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点， 3 则△OAB 的面积为（） A. 3 3 4 B. 9 3 8 C. 63 32 D. 9 4 11. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（） A. 1 10 12. 设函数  f x   B. 2 5 3 sin x  .若存在  m C. 30 10 f x 的极值点 0x 满足  D. 2 x 0    2 2  f x 0  2    2 m ，则 m 的取值范围是（） A.  C.        , 6 6,     , 2 2,       B.  D. 4,      , 4  , 1     4,   本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生必须做答.第 22 题 ~第 24 题为选考题，考生根据要求做答. 第Ⅱ卷二.填空题 10 13.  x a 14. 函数    sin 2 f x   f x 在  0,  单调递减，  15. 已知偶函数  f 2sin cos  的展开式中， 7x 的系数为 15，则 a=________.(用数字填写答案)   的最大值为_________.  . 若  0 x  2 1  0    x   f x   ，则 x 的取值范围是 __________. 16.设点 M（ 0x ,1），若在圆 O: 2 x y 2 1  上存在点 N，使得∠OMN=45°，则 0x 的取值范围是________. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分）已知数列 na 满足 1a =1， 1   （Ⅰ）证明 a n 3 a n 1  . na  是等比数列，并求 na 的通项公式； 1 2 1 a 2  （Ⅱ）证明： 1 a 1  …+ 1 a n 3 2 . 18. （本小题满分 12 分）

如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC；（Ⅱ）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= 3 ，求三棱锥 E-ACD 的体积. 19. （本小题满分 12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 人均纯收入 y 2.9 2 3.3 3 3.6 4 4.4 5 4.8 6 5.2 7 5.9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： n  i 1   b   t i  t  y i  y  n  i 1   t i  t 2  ˆa   ˆ y bt ， 20. （本小题满分 12 分）  1  a   的左右焦点，M 是 C 上一点且 2MF 与 x轴垂直， b 0  2 2 2 2  x a 设 1F , 2F 分别是椭圆 y b 直线 1MF 与 C 的另一个交点为 N. （Ⅰ）若直线 MN 的斜率为 3 4 ，求 C 的离心率； MN （Ⅱ）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且  15 F N ，求 a,b. x x e  21. （本小题满分 12 分）已知函数   f x = e （Ⅰ）讨论   f x 的单调性；（Ⅱ）设   g x 2 2    x   f x  4 bf x  ，当 0 x  时，  g x  ,求b 的最大值； 0  （Ⅲ）已知1.4142  2 1.4143  ，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分 10）选修 4—1：几何证明选讲如图，P 是  O外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与  O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交  O于点 E. 证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD DE=2 2PB 23. （本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为  ，   2cos   0, 2  .  （Ⅰ）求 C 的参数方程；      （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 : l y  3 x  垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程， 2 确定 D 的坐标. 24. （本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲设函数   f x = x    ( x a a  0) 1 a  f x ≥2；（Ⅰ）证明：  （Ⅱ）若  3 f  ，求 a 的取值范围. 5

一、选择题参考答案 1. D 2. A 7. D 8. D 3. A 9. B 4. B 5. A 6. C 10. D 11. C 12. C 二、填空题 1 2 13. 14. 1 15. ( 1,3)  16. [ 1,1] 17.（本小题满分 12 分）（Ⅰ）证明：由 1 n a   3 a n 1  得 1 n a    1 2 3( a n  1 2 ) a   ，所以又 1 1 2 3 2 { na  是首项为 1 } 2 3 2 ，公比为 3 的等比数列 na   ，因此{ }na 的通项公式为 1 2 n 3 2 na  n 3 1  2 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 na  2 1n 3  因为当 1n  时， n 3 1 2 3    ，所以 1 n  1  1 n 3  1 2 3  1 n  于是所以 1 a 1 1 a 1   1 a 2 1 a 2   1 a 3 1 a 3       1 a n 1 a n 1   1 1 3  1 2 3    1 -1 n 3  11- n 3 1 1- 3   3 2 18.（本小题满分 12 分）（Ⅰ）证明：连结 BD 交 AC 于点O ，连结 EO 3  （） 2 1 n 3 1- 3 2 因为 ABCD 为矩形，所以O 为 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以 //EO PB ， EO  平面 AEC PB  平面 AEC ，所以 //PB 平面 AEC , （Ⅱ）因为 PA  平面 ABCD ABCD , 为矩形，所以 , AB AD AP 两两垂直 ,  如图，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向，|  |AP 为单位长，建立空间直角坐标系 A xyz ，则 D (0, 3,0), E (0, 3 1 , 2 2 ), AE  (0, 3 1 , 2 2 ) ，

m  ，则 ( C m 0) , 3,0),  AC m ( , 3,0) 设 ( B m 设 1( , ,0,0)( , ) n x y z 为平面 ACE 的法向量，    n AC  则 1   n AE   1   0, 0, 即  y      mx 3 2 3 y 1 2   0, z  0 n 可取 1  3( m , 1, 3)  又 2 n  (1,0,0) 为平面 DAE 的法向量，由题设 | cos  , n n 1 2 |   ，即 1 2 3 3 4  2 m  1 2 ，解得 m  3 2 因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 E ACD  的高为 1 2 ，三棱锥 E ACD  的体积 V    1 1 3 2 3    3 1 2 2 3 8 19. （本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）由所给数据计算得 t  y        1 (1 2 3 4 5 6 7) 7 1 (2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 7 4         4.3 7  i 1  ( t i  t 2 )         9 4 1 0 1 4 9 28 7  ( t i  t )( y i  y ) 1 i  ( 3)     ( 1.4)         ( 2) ( 1) ( 1) ( 0.7) 0 0.1 1 0.5 2 0.9 3 1.6         14 7  i 1   b   t i  t  y i  y  n   t i  t 2   14 28  0.5 ， 1 i  ˆ y bt    ˆ 4.3 0.5 4 a 所求回归方程为 0.5 t    2.3 2.3   y

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 0.5 0   ，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年  b 增加，平均每年增加 0.5 千元。将 2015 年的年份代号 9 t  代入（Ⅰ）中的回归方程，得 y  0.5 9 2.3 6.8  ，   故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 608 千元。 20. （本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）根据 c  2 a 2  及题设知 b 2 ),2 b  3 ac 将 2 b  2 a 2  代入 22 b c  3 ac ，解得  1 , 2 c a   （舍去） 2 2 bM c ( , a c a 故C 的离心率为 1 2 （Ⅱ）由题意，原点O 为 1 2F F 的中点， 2 //MF y 轴，所以直线 2MF 与 y 轴的交点 (0,2) D 是线段 1MF 的中点，故 2 b a  ，即 4 ① | 2 MN b DF 得 1 N x y ，由题意知 1 | 5 |  F N 1 ( ) , | 1 1 | 由设  , c 2( c     2 y   1 ) x 1 2, 4 a | 2 |  | F N 1 0 y  ，则 3 ,    x c  即 1 2     1, y  代入C 的方程，得 2 2 9 c 4 a  1 2 b  1 ② 将①及 c  2 a 2  代入②得 b 9( 2 a 4 4 ) a  2 a  1 4 a  1 解得 a  27, b  4 a  ，故 28 a 7, b  2 7 21. （本小题满分 12 分）  解：（Ⅰ） ( ) f x e  f x 在 ( 所以 ( )   单调递增   ，等号仅当 0 ) e  , 2 0  x x x  时成立（Ⅱ） ( ) g x  f (2 ) 4  x ( ) bf x 2 x  e  e 2  x  4 ( b e x  e  x )  (8 b  4) x ，

 ( ) g x  2[ e 2 x  e 2  x  2 ( b e x  e  x )  (4 b  2)] x x x  x  e   （ⅰ）当 2 2)( e  g x 2( e e  b  时， ( ) 0  ，等号仅当 0 ( ) 0 (0) 0 g g x  ，所以对任意 0, 2 b 2)    x x  时成立，所以 ( )g x 在 (  ；   单调递增，而 ) , （ ⅱ ）当 b  时，若 x 满足 2 2  x e  e  x  2 b  ，即 2 0   x ln( b 1   2 b  2 ) b 时  ，而 (0) 0  ，因此当 g x ( ) 0 g 综上，b 的最大值为 2. 0   x ln( b 1   2 b  2 ) b 时， ( ) 0 g x  。（Ⅲ）由（Ⅱ）知， g (ln 2)   3 2 2 2 b  2(2 b  1)ln 2 当 2 b  时， g (ln 2)   3 2 4 2 6ln 2 0  ，  ln 2  8 2 3  12  0.6928 ；当 b  3 2 1 4  时， ln( b 1   2 b  2 ) b  ln 2 g (ln 2)    2 2 (3 2 2)ln 2 0    3 2 2  0.6934 ln 2  18  28 所以 ln 2 的近似值为 0.693 22.（本小题满分 10）证明：（Ⅰ）连结 AB，AC，由题设知 PA=PD，故 PAD    PDA 因为 PDA    DAC   DCA   PAD DCA     BAD PAB   PAB 所以 DAC    BAD ，从而  BE EC 因此 BE EC （Ⅱ）由切割线定理得 2PA  PB PC  因为 PA PD DC   ，所以 DC  2 PB BD PB  , 由相交弦定理得 AD DE BD DC   

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