2008年湖北高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2008 年湖北高考理科数学真题及答案本试卷共 4 面，满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。 3. 非选择题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。 4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本次题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设 a=(1,－2),b=(－3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11 2. 若非空集合 A,B,C满足 A∪B=C，且 B不是 A的子集，则 A. “x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C. “x∈C”是“x∈A”的充要条件 D. “x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 3. 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 A. 8 3 B. 28  3 C. 28 D. 32 3 4. 函数 f(x)= (11 n x 2 x  3 x  2 2 x  3 x  )4 的定义域为 A.(－ ∞,－4) ∪［2,+ ∞］ C.［－4,0］∪（0，1） B.(－4,0)∪(0,1) D. ［－4，0］∪（0，1） 5.将函数 y=3sin（x－θ）的图象 F按向量（  3 ，3）平移得到图象 F′ ，若 F′的一条对称轴是直线 x=  4 A.  5 12 ,则θ的一个可能取值是 B. 5 12  C.  11 12 D. －  11 12 6.将 5 名志愿者分配到 3 个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A.540 B.300 C.180 D.150 7.若 f(x)=  21 x 2  b ln( x  2) 在(-1,+ )上是减函数，则 b的取值范围是  A.[－1，+∞) B.（－1，+∞） C.（－∞，－1] D.（－∞，－1） 8.已知 m∈N*,a,b∈R，若 m  a lim 0 x  (1  ) x x  ,则 a·b= b

A．－m B．m C．－1 D．1 9.过点 A（11，2）作圆 2 x  2 y  2 x  4 y  164 0  的弦，其中弦长为整数的共有 A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①a1+c1=a2+c2; ②a1－c1=a2－c2; ③c1a2＞a1c2; ④ c 1 a 1 c ＜ 2 a 2 . 其中正确式子的序号是 A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. . (其中 1z 表示 z1 的共轭复数)，已知 z2 的实部是－1，则 z2 的 11.设 z1 是复数，z2=z1－i 1z 虚部为 12．在△ABC 中，三个角 A，B，C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+cacosB+abcosC 的值为 13.已知函数 f(x)=x2+2x+a, f(bx)=9x2－6x+2,其中 x∈R，a,b 为常数，则方程 f(ax+b)=0 的解集为 14.已知函数 f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为 2，若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]= 15.观察下列等式： . . . i  n 2  1 2 1 3 1 4   n  i 1  n  i 1  n  i 1  2 i 3 i 1 , n 2 1 2 1 2 n n 3 n 4 n   2  3  1 , n 6 1 4 n 2 , n  i 1  n  i 1  n  i 1  4 i  5 i  6 i  1 5 1 6 1 7 5 n  6 n  7 n  1 2 1 2 1 2 4 n  1 3 3 n  1 30 n , 5 n  5 12 4 n  1 12 2 n , 6 n  1 2 5 n  1 6 3 n  1 42 n , ……………………………………

n  i 1  k i  a n 1 k  k  2  k a n k  a n 1 k  k 1   a k  2 k  2 n    a n a 1  0 , 可以推测，当 k≥2（k∈N*）时， 1  k a  1  1 k , a k  1 2 , a k 1   . ak－2= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分 12 分）已知函数 f(t)= 1 1   t g x , ( ) t  cos x  f (sin ) x  sin x  f (cos ), x x  ( ,   ]. 17 12 （Ⅰ）将函数 g(x)化简成 Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的形式；（Ⅱ）求函数 g(x)的值域. 17.（本小题满分 12 分）袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n号的有 n个（n=1,2,3,4）. 现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ－b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值. 18.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1. （Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为θ,二面角 A1－BC－A 的大小为，试判断θ与的大小关系，并予以证明. 19.（本小题满分 13 分）如图，在以点 O 为圆心，|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中，OD⊥AB，P 是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线 C 是满足||MA|－|MB||为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程；（Ⅱ）设过点 D 的直线 l与曲线 C 相交于不同的两点 E、F. 若△OEF 的面积不小于．．．2 2 ，求直线 l斜率的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t 的近似函数关系式为

V（t）= 2   ( t    (4 t  14 t  3)(10 t 1 e 4 )41 )40  t 0,50  10,50    t t ,10 12 （Ⅰ）该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期.以 i－1＜t＜i 表示第 i 月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e=2.7 计算）. 21.(本小题满分 14 分) 已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1= 2 3 n为正整数. a n   n 4, b n   n ( 1) ( a n  3 n  21), 其中λ为实数，（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设 0＜a＜b,Sn 为数列{bn}的前 n 项和。是否存在实数λ，使得对任意正整数 n，都有 a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分，满分 50 分. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 25 分. 11. 1 12. 61 2 13.  14. －6 15. k 12 ，0 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解：（Ⅰ） ( ) g x  cos x  1 sin  1 sin  x x  sin x  1 cos  1 cos  x x  cos x  (1 sin ) x x  cos 2 2  sin x  2 (1 cos ) x x  sin 2  cos x  1 sin  | cos x x |  sin x  1 cos x  | sin | x ,  cos x   cos , sin x x   sin , x     x      17,  12  ( ) g x  cos x   sin x  1 cos x  sin x  1 sin  cos  cos x  x x 2  sin x  ＝ 2 sin    4   2. x    17  12    （Ⅱ）由  ＜ x sin t 在    3, 5   4 2 ，得 5  4 ＜ x    4 上为减函数，在 5 .  3 3 5,   2 3       上为增函数，又 sin 5  3 ＜ sin 5  4 ,  sin 3  2  sin( x   4 ) ＜ sin 5  4 （当 x     17,  2    ），

即 1 sin(   x   4 ) ＜  2 2  ， 2 2   2 sin( x   4 ) 2  故 g(x)的值域为  2 2, 3 .     ＜，  3 17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力. （满分 12 分）解：（Ⅰ）  的分布列为：  P 2 1 10 3 3 20 4 1 5 0 1 1 2 2   1 20 3 20  ∴ D 0 1 2 (0 1.5) 1 10 2 (1 1.5) 1 1 E     20 1 2 a D 2 ，得 a2×2.75＝11，即 3   1 20 4 1 5 (2 1.5)           2 （Ⅱ）由 D    1.5. 1 10 2    (3 1.5) 2  a   又 2. E   aE 2   1 5 2.75. (4 1.5)   3 20   所以 b , 当 a=2 时，由 1＝2×1.5+b,得 b=－2; 当 a=－2 时，由 1＝－2×1.5+b，得 b=4. ∴ 2, a     2 b  或 2, a   4 b     即为所求. 18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分 12 分）（Ⅰ）证明：如右图，过点 A在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B于 D，则由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC  侧面 A1ABB1=A1B, 得 AD⊥平面 A1BC,又 BC  平面 A1BC，所以 AD⊥BC.

因为三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱，则 AA1⊥底面 ABC，所以 AA1⊥BC. 又 AA1  AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1，又 AB  侧面 A1ABB1，故 AB⊥BC. （Ⅱ）解法 1：连接 CD，则由（Ⅰ）知 ACD 是直线 AC与平面 A1BC所成的角， 1ABA 是二面角 A1—BC—A的平面角，即  ACD    ,   , ABA 1 ,AD AB 于是在 Rt△ADC中， sin 在 Rt△ADB中，sin   由 AB＜AC，得sin   ＜，＜，所以  ＜，   ,AD AC ＜，又 0 sin  2 解法 2：由（Ⅰ）知，以点 B为坐标原点，以 BC、BA、BB1 所在的直线分别为 x轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AA1=a, AC=b,AB=c, 则 B(0,0,0), A(0,c,0), C b ( 2 2  c ,0,0), A 1 (0, , ), c a 于是  BC  AC  ( 2 b 2  c ,0,0),  ( 2 b 2  c ,  c ,0),  BA  1  AA 1 (0, , ), c a  (0,0, ). a 设平面 A1BC的一个法向量为 n=(x,y,z)，则    n BA  1   n BC   由   0, 0, 得    cy 2 b   0 az  2 xc   0 可取 n=(0,－a,c)，于是 n AC ac   ＞，与 n的夹角 为锐角，则 与  互为余角.  AC 0 sin    cos cos   |  ACn  | | n AC    BA BA 1   BA BA 1    a ac 2  ab 2 c , 所以 sin   2 c a 2  a 2 c ,  | c  2

于是由 c＜b，得 ac 2  b a 2 c ＜ a 2  2 c , 即sin sin ,  ＜又 0  ＜，＜所以 ,  ＜ a  2 , 19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分 13 分）（Ⅰ）解法 1：以 O为原点，AB、OD所在直线分别为 x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则 2 3 ＝） 2 1  22 ＜ A（－2，0），B（2，0），D(0,2)，P（ 1,3 ），依题意得 |｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＝ 2(  2 )3  2 1  2 （  ｜AB｜＝4. ∴曲线 C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设实半轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，则 c＝2，2a＝2 2 ，∴a2=2,b2=c2－a2=2. ∴曲线 C的方程为 2 x 2 2  y 2  1 . 解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得 |｜MA｜－｜MB｜|=｜PA｜－｜PB｜＜｜AB｜＝4. ∴曲线 C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为 2 2 x a  2 2 y b  (1 a ＞0，b＞0）. 2 则由 )3( 2 a 2  a  2 1 2 b .4  2 b  ,1 解得 a2=b2=2, ∴曲线 C的方程为 2 x 2 2  y 2  .1 (Ⅱ)解法 1：依题意，可设直线 l的方程为 y＝kx+2，代入双曲线 C的方程并整理得（1－K2）x2－4kx－6=0. ∵直线 l与双曲线 C相交于不同的两点 E、F， ①

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