2013陕西考研数学一真题及答案.doc-资料库

2013 陕西考研数学一真题及答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. x  x arctan x k  ，其中 ,c k 为常数，且 0 c  ，则（） c （1）已知极限（A） k 2, c （B） k 2, c （C） k 3, c （D） k 3, c  （2）曲面 2 x  lim 0 x  1 2    1 2   1 3 1 3 cos( xy )  yz   在点 (0,1, 1) 处的切平面方程为（） 0 x （A）（B） x x     y z 2    y z 2 （C） 2  x y    z 3 （D） x    y z 0 （3）设 ( ) f x x  ， 1 2 nb  2 1  0 ( )sin f x ( n xdx n  1,2,...) ，令 ( ) S x    n 1  sinn b n x ，则 )  （） 9( S  4 3 4 1 4  （A）（B）（C）（D）  （4）设 1 4 3 4 l 1 : 2 x  2 y  1, l 2 : 2 x  2 y  2, l 3 : 2 x  2 2 y  2, l 4 2 : 2 x  2 y  为四条逆时针的平 2, 面曲线，记 ( y  I i   l i 3 y 6 ) dx  (2 x  3 x 3 ) ( dy i  1,2,3,4) ，则 MAX I  ( ( )i )

（A） 1I （B） 2I （C） 3I （D） 3I （5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C 则可逆，则 , B （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价（6）矩阵      a 1 1 a b a 1 1 a      与      2 0 0 0 b 0 0 0 0      相似的充分必要条件为（A） a  0,b  2 （B） a ,0 b 为任意常数（C） a  b ,2  0 （D） a ,2 b 为任意常数（7）设 1 X X X，，是随机变量，且 2 3 X 1 ~N(0,1) ，X ~N( 2 2 0,2 ），X 3 ~ N 2 (5,3 ) , P j  { 2 P   X j  2}( j  1,2,3), 则（）（A） 1 P P 2   P 3 P （B） 2  P P 1 3  P （C） 3  P P 1 2  （D） 1 P P 3   P 2 （8）设随机变量 ~ ( ), ~ (1, ), X t n Y F n 给定 (0 a a  0.5), 常数 c 满足 { } P X c   ,则 a 2  （） } { c P Y （A） （B）1 

（C） 2 （D）1 2 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数 ( ) f x 由方程 y   x (1 x e  y ) 确定，则 lim ( n f n  ( 1 n ) 1)   ． (10)已知 y 1 3 x  e  xe 2 x ， y 2  x e  xe 2 x ， y 3   xe 2 x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该方程的通解为 y  (11)设 x    y  sin t sin t t  cos t （t 为参数），则．  2 d y 2 dx t   4 ． (12)   1 ln  (1 x dx ) x 2  ．（13）设 A (a ) ij  是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， ijA 为 ija 的代数余子式，若 ij   A 则 a A 0(i, j 1,2,3), ij （ 14 ）设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布 , a 为常数且大于零，则 { P Y  ________。 ____ } a   a 1| Y   三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 10 分）计算 1  0 ( ) f x dx x , 其中 ( ) f x x ln(   1  1) dt t t   n  0 n a x n 的（16）（本题满分 10 分）设数列{ }na 满足条件： 0 a  3, a 1  1, a n 2   ( n n  1) a n  0( n  2), ( )S x 是幂级数和函数，（I）  证明： ( ) S x  ( ) 0 S x  , （II）求 ( )S x 的表达式. （17）（本题满分 10 分）求函数 ( , f x y )  ( y  3 x 3 ) x y e  的极值. （18）（本题满分 10 分）设奇函数 ( ) f x 在[-1,1]上具有 2 阶导数，且 (1) 1,  证明： f

（I）（II）存在 (0,1),   使得 f '( ) 1   存在    ，使得 ''( ) f  '( ) 1  f 1,1 （19）（本题满分 10 分）设直线 L 过 (1,0,0), A B (0,1,1) 两点，将 L 绕 Z 轴旋转一周得到曲面 , 与平面 0,  z z  2 所围成的立体为  ，（I）求曲面  的方程求  的形心坐标. （II），当 ,a b 为何值时，存在矩阵C 使得 AC CA B  ，并求所有  ,   设 B A          1 a 1 0 （20）（本题满分 11 分） 0 1 1 b    矩阵C 。（21）（本题满分 11 分）  , f x x x 3 设二次型 , 1 2   2  a x 1 1  a x 2 2  a x 3 3 2    b x 1 1  b x 2 2  b x 3 3 2  ，记        a 1 a 2 a 3      ,        b 1 b 2 b 3      。（I）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T    T ；（II）若 , 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型 2 2y 1 y 。 2 2 （22）（本题满分 11 分）设随机变量的概率密度为 ( ) f x （I）求 Y 的分布函数（II）求概率 { P X Y } （23）（本题满分 11 分）     21 x 4 0 0   x 3 其他，令随机变量 Y 2   x   1  x 1 x 1  x   2  2 , 设总体 X 的概率密度为  f x  2    xe   x  0, 3 , x  0, . 其它其中 为未知参数且大于零， X X 1 , X，为来自总体 X 的简单随机样本. 2 N

（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量. 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. x  x arctan x k  ，其中 ,c k 为常数，且 0 c  ，则（） c lim 0 x  1 2    1 2   1 3 （1）已知极限（A） k 2, c （B） k 2, c （C） k 3, c （D） k 3, c  【答案】D 1 3 【解析】 x lim 0 x  （2）曲面 2 x  k  arctan x cos( xy ) x  ( x  x  lim 0 x  1 x 3 k x 3  ( o x 3 )) 3 1 x 3 k x  lim 0 x     , c k 3, c  1 3  yz   在点 (0,1, 1) 处的切平面方程为（） 0 x （A）（B） x x     y z 2    y z 2 （C） 2  x y    z 3 （D） x    y z 0 【答案】A 【解析】设 , ) F x y z ( ,  2 x  cos( xy )  yz  ， x 则 ( , , ) F x y z x  2 x  y sin( xy ) 1   F x (0,1, 1) 1   ；

, ) F x y z y ( ,   x sin( xy )   z F y (0,1, 1)    ； 1 , ) F x y z z ( ,   y F z (0,1, 1) 1   ，所以该曲面在点 (0,1, 1) 处的切平面方程为 (  x y 1)   ( z 1) 0   ，化简得 x     ，选 A y 2 z （ 3 ）设 ( ) f x   x 1 2  , x  [0,1]  ， nb  2 1  0 ( )sin f x ( n xdx n  1,2,...) ，令    n 1  sinn b n x ，则 9( S  4 )  （） ( ) S x （A）（B） 3 4 1 4  （C） 1 4 3 4 【答案】C （D）  【解析】根据题意，将函数在[ 1,1] 上奇延拓 ( ) f x x   1 ,   2    x  1 , 2 0   x 1 1    x 0 ，它的傅里叶级数为 ( )S x 它是以 2 为周期的，则当 ( 1,1) x   且 ( ) f x 在 x 处连续时， ( ) S x  ( ) f x ，因此 S (  )  S (   2)  S (  （4）设 l 1 2 x  2 y 1, l 2 : 2 x  9 4 : 9 4  1 4 2 y )   S (  2, l 3 : 1 4 x )   f ( 2  2 2 y 1 4  1 4 : 2 )   2, l 4 2 x  2 y  为四条逆时针的平 2, MAX I  ( ( )i 面曲线，记 ( y  I i   l i 3 y 6 ) dx  (2 x  3 x 3 ) ( dy i  1,2,3,4) ，则（A） 1I （B） 2I （C） 3I （D） 4I ) y O 1 2 x

【答案】D 【解析】 ( y  I i   l i 3 y 6 ) dx  (2 x  3 x 3 ) ( dy i  1,2,3,4) (1  2 x    iD 2 y 2 ) dxdy 利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域 1 ,D D 上函数为正值， 4 1 I ，在 4D 之外函数值为负，因此 4 I I 则区域大，积分大，所以 4 2 （5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且C 可逆，则（）（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】（B）  I , I 4  ，故选 D。 I 3 【解析】由 C  AB 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有 A  CB 1 ，从而 A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。（6）矩阵      a 1 1 a b a 1 1 a      与      2 0 0 0 b 0 0 0 0      相似的充分必要条件为（A） 0, b a  2 （B） a ,0 b 为任意常数（C） a  b ,2  0 （D） a ,2 b 为任意常数【答案】(B) 【解析】由于      a 1 1 a b a 1 1 a      为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而      a 1 1 a b a 1 1 a      与      2 0 0 0 b 0 0 0 0      相似的充分必要条件为      a 1 1 a b a 1 1 a 的特征值为 0, ,2 b 。     

又  E A  1   a   1  a  b   a  1  a  1         [( )( b 2 2) 2 ]  a ，从而 a ,0 b 为任意常数。（7）设 1 X X X，，是随机变量，且 2 3 X 1 ~N(0,1) ，X ~N( 2 2 0,2 ），X 3 ~ N 2 (5,3 ) , P j  { 2 P   X j  2}( j  1,2,3), 则（）（A） 1 P P 2   P 3 P （B） 2  P P 1 3  P （C） 3  P P 1 2  （D） 1 P P 3   P 2 【答案】（A）【解析】由 X 1  N   0,1 , X 2  N p 1  P  2   X 1   2   2   2 1  P X  P X  X   2 2  0,2 , 2 X 3  N  5,3 2  知，  2  1  ，    2 p 2  P  2    2  2 p    ，故 1 2 1   1 p 2 . 由根据 X 3 N 5,3 p 及概率密度的对称性知， 1  p 2  ，故选（A） p 3 （8）设随机变量 ~ ( ), ~ (1, ), X t n Y F n 给定 (0 a a  0.5), 常数 c 满足 { } P X c   ,则 a  （） 2 } { c P Y （A） （B）1  （C） 2 （D）1 2 【答案】（C）【解析】由 ~ ( ), ~ (1, ) X t n Y F n 得， Y X 2 ，故 2 c     P X  P Y 二、填空题(9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上)． c X c  或  P X   2 a      c 2 2 (9)设函数 ( ) f x 由方程 y   x (1 x e  y ) 确定，则 lim ( n f n  ( 1 n ) 1)   ．【答案】1 【解析】 lim ( n f n  ( 1 n ) 1)   lim 0 x  ( ) 1 f x  x  f  (0)

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