1996年黑龙江高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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1996 年黑龙江高考文科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共 65 分）注意事项： 1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共 15 小题；第 1—10 题每小题 4 分，第 11—15 题每小题 5 分，共 65 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集  I  1,2,3,4,5,6,7  ，集合 A    1,3,5,7 , B    3,5 ．则 A． I A B   B． I A B   C． I A B   D． I A B   【答案】C 【解析】显然 C 正确． 2．当 1a  时，在同一坐标系中，函数 y x a 与 loga  y x 的图像【答案】A 【解析】当 1a  时，函数 y 且过点 (1,0) ． x a 是减函数，且过点 (0,1) ；而函数 loga  y x 为增函数， 3．若 2 sin x  2 cos x ，则 x 的取值范围是

A． B． C． D．             2 kx   3 4 2 kx   1 4  x 2  x 2 , k   1 4 , k   5 4 Zk  Zk        kx   1 4 kx   1 4  x  x , k   1 4 , k   3 4 Zk  Zk        【答案】D 【解析】 2 sin x  2 cos x  2 sin x   1 2 sin x  2 2 或 sin x   2 2 ，解得 2 k   4  x k    ，即 (2 k Z ) k  1)     x (2 k  1)    2 k 3  ( 4 k Z  或 ) 2 k   3  4   x 2  3 (  4  ，所以 x 的取值范围是 k Z )    4．复数 4 )22( i  )3 1( i  等于 5  ( 4 1 4 kx    x , k   3 4 Zk   4    ． A． 1 i3 B． 1 i3 C． 1 i3 D． 1 i3 【答案】B 【解析】 4 (2 2 ) i  (1 3 ) i  5   4 2 (1 1 2  5 2 (  2 (2 ) i ) 2(   5 4 5 i ) ) i 3 2 1    3 i ． 5．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 A．720 种【答案】C B．360 种 C．240 种 D．120 种【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有 5 A A  5 2 2 240 ． 6．已知是第三象限角且 sin   ，则 tan 24 25  2 

A． 4 3 【答案】D B． 3 4 C．  3 4 D．  4 3 【解析】由已知得 cos   ，所以 7 25 tan  2  sin cos  2  2   ) 7 1 (   25 24 25    4 3 ． 2sin 2  2 cos   2 2 2sin  1 cos   sin  7．如果直线 ,l m 与平面 , ,满足： l  有      m //  , l , 和 m  ，那么必 A．  且l m B．  且 //m  C． //m 且l m D． // 且  【答案】A 【解析】略． 8．当   2   时，函数 ( ) f x x  2 A．最大值是 1，最小值是 1 C．最大值是 2，最小值是 2  sin x  3 cos x 的 B．最大值是 1，最小值是 1 2 D．最大值是 2，最小值是 1  【答案】D 【解析】因为 ( ) f x  sin x  x    3 2  ，即 x 最小值是 1 ．  时， ( )  6  ．故当 5   3 6   时， ( ) f x 有  2 x  3 cos 2sin(  ) 3 f x 有最大值是 2；当 x  ，由已知    x  6 x    3 6   ，即 x 9．中心在原点，准线方程为 x   ，离心率为 4 1 2 的椭圆方程是 A ． 2 x 4 2 y 3  1 B ． 2 x 3 2 y 4  1

C． 2 x 4 2 y  1 【答案】A D． 2 x  2 y 4  1 【解析】由题设可得 2 a c  4, c a  ，解得 2, c a 1 2  ，所以椭圆方程是 1 2 x 4 2 y 3  ． 1 10．圆锥母线长为 1，侧面展开图圆心角为 240 ，该圆锥的体积是 A．  2 2 81 B． 8  81 C．  4 5 81 D． 10  81 【答案】C 【解析】设圆锥底面半径为 r ，则 2 r 1  240 360    2  ，得 r  ，则圆锥高为 2 3 1 (  22 ) 3  5 3 ，圆锥的体积是 1 3 (  2 3 2 ) 5 3   4 5 81 ． 11．椭圆 2 x 25  150 x  9 y 2  18 y   的两个焦点坐标是 9 0 A． ( 3,5),( 3, 3)    B． (3,3),(3, 5) C． (1,1),( 7,1)  【答案】B D． (7, 1),( 1, 1)    【解析】椭圆的标准方程为 ( y 2 1)  2 5 ( x  2 3)  2 3  ，而 1 2 2 y 5 2 x 2 3  的焦点为 (0, 4) ，所以 1 ( y 2 1)  2 5 ( x  2 3)  2 3  的焦点坐标是(3,3),(3, 5) ． 1 12．将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD a ，则三棱锥 D ABC  的

体积为 A． 3a 6 【答案】D B． 3a 12 C． 3 3 a 12 D． 3 2 a 12 【解析】取 AC 的中点O ，连接 ,BO DO ，如图所示．  ABC ADC  , 均为等腰直角三角形， BO DO  AC 2  2 a 2 ， ∴  BOD  ，则 DO  面 ABC ，DO 就是三棱锥 D ABC   2 的高，所以 V D ABC    1 1 3 2 2 a  a 2 2  2 12 3 a ． 13．等差数列 na 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为 A．130 B．170 C．210 D．260 【答案】C 【解析】由已知得 S m  30, S 2 m  100 ，则 , S S m 2 m  , S S m 3 m  成等差数列，所以 S 2 m S 3 m  23( S m  S m )  210 ． 14．设双曲线 2 2 x a  2 2 y b  0(1  a b ) 的半焦距为 c ，直线l 过 ( ,0),(0, ) b 两点．已知原点 a 到直线l 的距离为 c 3 4 ，则双曲线的离心率为 A．2 B． 3 C． 2 D． 32 3 【答案】A 【解析】直线l 的方程为 bx ay ab    ，原点到直线l 的距离为 0 ab 2  a 2 b  3 4 c ，则 2 2 a b 2 b a  2  3 16 2 c ，即 2 ( a c 2 c 2 a )  2  3 16 2 c ，解得 2 e  或 e  2 3 3 ，又 0 a b   ，所以

e  2 a 2 b  2 a  1  2 2 b a  ，所以 2 e  2 3 3 不合题意． 15． ( ) f x 是 (   上的奇函数， ( f x ) ,  2)   ( ) f x ，当 0 1x  时， ( ) f x x ，则 f (7.5) 等于 A． 0.5 B． 0.5 C．1.5 D． 1.5 【答案】B 【解析】 (7.5) f  f (5.5 2)    f (5.5) [    f (3.5)]  f (3.5)   f (1.5) f  (0.5)   ． 0.5     ( 0.5)] [ f 注意事项：第Ⅱ卷（非选择题共 85 分） 1．第Ⅱ卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分．把答案填在题中横线上． 16．已知点 ( 2,3)  与抛物线 2 y  2 ( ppx  )0 的焦点的距离是 5，则 p  ．【答案】4 【解析】由已知得 ( p  2 2 2)  2 3  ，解得 5 p  ． 4 17．正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有个．（用数字作答）【答案】32 【解析】从 7 个点中取 3 个点有 3 7C 种取法，3 个点共线的有 3 种，三角形共有 3 7 C   个． 3 32

18． tg20   tg40   3tg20 tg40   的值是．【答案】 3 【解析】∵ tg(20   40 )    tg20 tg40   1 tg20 tg40     3 ，∴ tg20   tg40   3(1- tg20 tg40 )  ，  tg20   tg40   3tg20 tg40    3 ． 19．如图，正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 60 的二面角，则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值是．【答案】 2 4 【解析】由于 //AD BC ，所以 CBF 即为异面直线 AD 与 BF 所成角，设正方形边长为 a ，在 CBF  中， BF  2 , a BC a FC  ,  2 FD CD  2  2 AD FA  2  2 AD FA  cos60   CD 2  2 a ， cos  CBF  2 BF FC 2 BC   2 BF BC  2  2 4 ．三．解答题：本大题共 6 小题；共 69 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分 11 分）解不等式 log ( a x 1   a ) 1  ．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分 11 分．（Ⅰ） 1a 时，原不等式等价于不等式组： 1 x a         1 x a  0, . a 解得 2 a x 1  ．（Ⅱ）当 0 1a  时，原不等式等价于不等式组： 1 x a         1 x a  0, . a ——2 分 ——5 分 ——7 分解得 1    a x 2 a 1  ． 10 分

综上，当 1a 时，不等式的解集为 x x 2 a  1  ；当0 1a  时，不等式的解集为 x a 1    x 2 a  1  ． ——11 分 21．（本小题满分 12 分）设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ．若 3 S  S 6  92 S ，求数列的公比 q ．【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分 12 分．若 1q  ，则有 3 S  3 , a S 1 6  6 , a S 1 9 9  ．但 1 a 1 a  ， 0 S 即得 3  S 6  92 S ，与题设矛盾，故 1q  ． ——2 分 S 又依题意 3  S 6  92 S 可得 a 1 (1 q  1 q  3 ) a 1  6 ) (1 q  1 q   9 ) 2 (1 q a  1 1 q  ．整理得 3 q (2 q 6 3 q 1) 0   ．由 0 q  得方程 6 q 2 3 q   ． 3 1 0 q (2  1)( q 3 1) 0   ， —— 9 分 ∵ q 31, q  ，∴ 32 q   ，∴ 1 0 1 q   ． 3 4 2 ——12 分 22．（本小题满分 11 分）已知 ABC 的三个内角 , ,A B C 满足： CA   ,2 B 1 cos  A 1 cos C  2 cos B ，求 cos CA  2 的值．解法一：由题设条件知 B  60 ,  A C   120  ． ——2 分 ∵ 2  cos60    2 2 ，∴ 1 cos  A 1 cos C  22 ．将上式化为 cos A  cos C  22 cos A cos C ．利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2 cos CA  2 cos CA  2  2 [cos( CA  )  cos( CA  )] ． ——6 分

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