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模糊聚类分析的研究及其应用毕业论文.doc
1 前言
1.1 研究背景和发展现状
1.2 本文的研究工作
2 模糊集合
2.1 模糊集合的概念
2.2 模糊集合运算及其性质
2.2.1定义
2.2.2性质
2.3截集
2.4分解定理
3 模糊关系
3.1 模糊关系基本概念
3.2 模糊矩阵与截矩阵
3.2.1模糊矩阵及其运算
3.2.2截矩阵
3.3 模糊关系合成
3.4几种重要的模糊关系
3.4.1模糊关系三大性质
3.4.2模糊相似关系和等价关系
4 模糊聚类分析
4.1 模糊聚类分析的基本步骤
4.2建立模糊相似关系
4.3传递闭包法
4.4传递闭包法聚类实例
5 模糊聚类算法的研究
5.1传递闭包法的不足之处
5.2 最优模糊等价矩阵
5.3 较优模糊等价矩阵
5.3.1改进算法的理论基础
5.3.2较优模糊等价矩阵算法
6 学生综合素质的评定
6.1问题提出
6.2构造传递闭包模糊等价矩阵
6.2.1数据标准化
6.2.2构造模糊相似矩阵
6.2.3传递闭包法求模糊等价矩阵
6.3构造较优模糊等价矩阵
6.4模糊聚类分析及其结果
7 总结
参考文献
致 谢
附 录
代码一：构造模糊相似矩阵
代码二：构造模糊等价矩阵
代码三：构造较优模糊等价矩阵
代码四：模糊聚类分析
目
录
1 前言 ............................................................. 1
1.1 研究背景和发展现状......................................................................................... 1
1.2 本文的研究工作................................................................................................. 1
2 模糊集合 ......................................................... 2
2.1 模糊集合的概念................................................................................................. 2
2.2 模糊集合运算及其性质..................................................................................... 2
2.2.1 定义............................................................................................................... 2
2.2.2 性质............................................................................................................... 3
2.3截集................................................................................................................... 3
2.4 分解定理..............................................................................................................4
3 模糊关系 ......................................................... 5
3.1 模糊关系基本概念............................................................................................. 5
3.2 模糊矩阵与截矩阵............................................................................................. 5
3.2.1 模糊矩阵及其运算....................................................................................... 5
3.2.2 截矩阵........................................................................................................... 6
3.3 模糊关系合成..................................................................................................... 6
3.4 几种重要的模糊关系..........................................................................................7
3.4.1 模糊关系三大性质....................................................................................... 7
3.4.2 模糊相似关系和等价关系........................................................................... 8
4 模糊聚类分析 ..................................................... 9
4.1 模糊聚类分析的基本步骤................................................................................. 9
4.2 建立模糊相似关系............................................................................................10
4.3 传递闭包法........................................................................................................12
4.4 传递闭包法聚类实例........................................................................................13
5 模糊聚类算法的研究 .............................................. 15
5.1 传递闭包法的不足之处....................................................................................15
5.2 最优模糊等价矩阵........................................................................................... 16
5.3 较优模糊等价矩阵........................................................................................... 17
5.3.1 改进算法的理论基础................................................................................. 17
5.3.2 较优模糊等价矩阵算法............................................................................. 18
6 学生综合素质的评定 .............................................. 20
6.1 问题提出............................................................................................................20
6.2 构造传递闭包模糊等价矩阵............................................................................20
6.2.1 数据标准化................................................................................................. 20
6.2.2 构造模糊相似矩阵..................................................................................... 21
6.2.3 传递闭包法求模糊等价矩阵..................................................................... 22
6.3 构造较优模糊等价矩阵....................................................................................22
6.4 模糊聚类分析及其结果....................................................................................23
7 总结 ............................................................ 25
参考文献 .......................................................... 26
致谢 .............................................................. 27
附录 .............................................................. 28
代码一：构造模糊相似矩阵..................................................................................28
代码二：构造模糊等价矩阵..................................................................................29
代码三：构造较优模糊等价矩阵..........................................................................32
代码四：模糊聚类分析..........................................................................................34
1 前言
1.1 研究背景和发展现状
俗话说：“物以类聚，人以群分”，在现实世界中存在着大量的分类问题。传
统的聚类分析是研究事物分类的基本方法，它把每个待辨识的对象严格地划分到
某类中，具有“非此即彼”的性质，因此这种类别划分的界限是分明的。而模糊
聚类分析既认识到事物“非此即彼”的明晰性状态，又认识到事物的“亦此亦彼”
的模糊性状态，因此它的适应面也就比传统聚类广泛得多。
模糊数学是一门新兴的学科，在国内它通常被称为模糊集合论（fuzzy set）。
人类对模糊数学的研究起源于 1965 年扎德（L.A.Zadeh）创立的模糊集合论。模
糊数学从它诞生的那天起，便和计算机的发展息息相关，相辅相成。因为利用模
糊数学构造数学模型，来编制计算机程序，可以更广泛、更深入地模拟人的思维。
迄今为止，模糊数学已在模式识别、自动控制、信息处理、天气预报、地震研究、
人工智能、医疗诊断、农作物选种以及心理学、生态学、语言学等许多领域内得
到了研究应用。
同时，国际和国内的许多学者对于模糊聚类分析的研究也非常重视。IEEE
的汇刊中《模式分析与机器智能》、《系统、人和控制》、《模糊系统》、《神经网络》、
《信号处理》等杂志中每期都有讨论聚类分析问题的文章。从 1992 年开始的由
IEEE 和神经网络理事会共同主办的 FUZZ-IEEE 会议，每两年召开一次，每次至
少有 3 到 4 个专题讨论聚类和模糊分析的最新研究进展和发展现状。另外，我国
作为模糊数学研究的大国，不仅在基础理论研究上取得了丰硕的成果，而且在模
糊聚类的应用研究上亦令世人瞩目。目前，模糊聚类的研究主要集中在模糊目标
函数的演化研究、模糊聚类算法的实现途径研究、模糊聚类的应用研究及模糊聚
类有效性的研究等四个方面。其应用范围涉及到通信系统中的信道均衡、矢量量
化编码中的码书设计、时间序列的预测、神经网络的训练、非线性系统辨别、参
数估计、医学诊断、天气预报、食品分类、水质分析等众多领域。
1.2 本文的研究工作
本文通过阐述模糊集合知识，引出模糊数学中一个重要的研究领域，即模糊
聚类分析，介绍模糊聚类分析的原理、方法及运算过程。然后进一步阐述传递闭
包法的特点，指出这个方法的不足之处，并给出改进算法。最后使用这个改进算
法针对学生综合素质的评定实现模糊聚类分析。
1
2 模糊集合
2.1 模糊集合的概念
在现实世界中，有许多诸如“成绩突出”、“个子很高”、“水温很低”等模糊
概念，经典集合论对于这些概念就显得力不从心，因为这些模糊概念难以用“属
于”或“不属于”来描述，因此，这里引入模糊集合的概念：
定义 2.1 [1] ：论域 X 上的“模糊集合” A 定义为：
A
{( ,
x A x
( )) |
或者 {( ,
x
x X
A
A
}
( )) |
x
x X
},
其中的 ( )A x 或 ( )
A x 称为“隶属函数”，它满足： :A X M ，其中， M 称
为“隶属空间”，且 ( )
A x
[0,1].
由定义可以看出，模糊集合 A 是由隶属函数 ( )
A x 唯一确定的，以后可以把
模糊集合 A 与隶属函数 ( )
A x 看成是等同的。而且，当 ( )
A x 的值域变为集合{0,1}
时，模糊集合 A 就是经典集合，可见经典集合是模糊集合的特殊情形。
2.2 模糊集合运算及其性质
2.2.1 定义
现将经典集合的运算推广到模糊集合。由于模糊集合中没有点和集之间的绝
对属于关系，所以其运算的定义只能以隶属函数间的关系来确定。
定义 2.2 [2] ：论域 X 上的模糊集合 ,A B ，则有：
包含：对于任意 x X ，有 ( )
A x
( )
B x
A B
;
相等：对于任意 x X ，有 ( )
A x
( )
B x
.
A B
定义 2.3 [1] ：论域 X 上的模糊集合 ,A B ，定义：
并：对于任意 x X ， A B 的隶属函数 ( )
A x 为：
(
)( )
A B x
( )
A x
( ) max(
B x
( ),
A x B x
( ));
交：对于任意 x X ， A B 的隶属函数 ( )
A x 为：
2
(
)( )
A B x
( )
A x
( ) min(
B x
( ),
A x B x
( ));
补：对于任意 x X ， ~ A 的隶属函数 ( )
A x 为：
~
A
1
( ).
A x
2.2.2 性质
(1)交换律：
(2)幂等律：
;
A B B A A B B A
;
;
A A A A A A
,
(3)结合律： (
A B
C A
B C
)
(
); (
A B
C A
B C
)
(
);
(4)分配律： (
B C
A B
);
A C A
A
)
(
)
(
B C
A B
A C
(
)
(
)
(
);
(5)吸收律： (
A B
A
)
,
A A
A B
(
)
;
A
(6)对偶律： ~ (
A B
) ~
A
~ , ~ (
B
A B
) ~
A
~ ;
B
(7)还原律： ~ (~ )
A
;
A
(8)同一律：
A
,
A A X
;
A
(9)零律：
A
,
A X
X
.
2.3截集
定义 2.4 [1] ：设 A 为论域 X 中的模糊集合， [0,1]
，定义 A 的“截集”
为：
A
{ |
( )
x A x
}
实数称为“阈值”又称为“置信水平”。特别是，当集合
A
{ |
( )
x A x
}
称为 A 的“强截集”。
定理 2.1 [1] ：令 A B、 为模糊集合，则以下等式成立：
① (
A B
)
A
B
② (
A B
)
A
B
3
定理 2.2 [1] ：令 A 为模糊集合，
、
[0,1]
且 ，则 A
.
A
这种让由大到小取值，而 A所含的元素由少到多的过程，实际上就是一
种分类过程。取值越大， A所含的元素越少，分出的类就越多，分类就越细；
反之，取值越小， A所含的元素越多，分出的类就越粗，这是以后模糊聚类
分析的基础。
2.4 分解定理
模糊集合 A 的截集是经典集合，所以我们自然会考虑能否用经典集合来表
示模糊集合，模糊集合的分解定理就可以解决这个问题。
定义 2.5 [3] ：设 [0,1]
， A 为论域 X 上的模糊集合，定义与集合 A的数
积为模糊集合 B ，其隶属函数为：
, x A
0 , x A
( )
B x
定理 2.3 [3] ：(分解定理)令 A 为论域 X 中的模糊集合，则
A
[0,1]
A
分解定理是模糊数学的重要定理之一，由分解定理可知各数积项的最终计算
是取最大值，所以只需要计算各区间中上界与其相应截集的数积。
4
3 模糊关系
3.1 模糊关系基本概念
定义 3.1 [1] ：集合 X 到集合Y 的一个“二元模糊关系” R 是给定论域 X Y
中的模糊集合，记为：
X
R
Y
模糊关系 R 的隶属函数 ( ,
R x y 是 X Y 到实数区间[0,1] 的一个映射。特别
)
地，当 X Y 时，称 R 为论域 X 中的模糊关系。对于任意 x X , y Y ，隶属函
数 ( ,
R x y 事实上表示 x
)
y、 之间存在关系 R 的程度。
由于模糊关系 R 是笛卡尔积 X Y 中的模糊集合，所有前面介绍的模糊集合
的运算、性质、截集及分解定理都完全适用于模糊关系，在此不做赘述。
定义 3.2 [4] ：设 R 为集合 X 到Y 的模糊关系，则 R 的“逆关系” TR 是集合Y
到 X 的模糊关系，它们的隶属函数之间有关系式：
R
( ,
x y
)
R
T
3.2 模糊矩阵与截矩阵
( , ) (x X,y Y)
y x
当论域为有限集合时，对于二元模糊关系常常采用模糊矩阵来描述。
3.2.1 模糊矩阵及其运算
定义 3.3 [4] ：如果 X 与Y 都是有限集，则 X 到Y 的模糊关系的隶属函数值可
用一个矩阵表示。设
X={ ,
x x
1
2
,
,
x
}m
,
Y
{ ,
y y
1
2
,
,
y
}n
, R 是 X 到Y 的一个模糊
关系，令
r
ij
R
(
,
x y
i
j
) (
i
1,2,
,
;
m j
1,2,
则称矩阵 [
R
]ij m n
r
为“模糊矩阵”。
，若其所有元素满足 [0,1]
, )
n
ijr
，
定义 3.4 [4] ：设 [
R
]ij m n
r
、 [
S
s
]ij n m
均为 n m 模糊矩阵，则
r
①当且仅当 ij
s 时， R “等于” S ，记为 R S ;
ij
5
②当且仅当 ijr ijs 时， S “包含” R ，记为 R S ;
③定义 R 与 S 的“并运算”为 R S =[
r
ij
]
s
ij n m
;
④定义 R 与 S 的“交运算”为 R S =[
r
ij
]
s
ij n m
;
⑤定义 R 的“补运算”为 ~
R
[1
]
r
ij n m
.
3.2.2 截矩阵
定义 3.5 [1] ：设 R 为 n m 模糊矩阵，对于任意实数 [0,1]
，定义 R 的“截
集”为
R
(
'
)ij
r
n m
,且有
3.3 模糊关系合成
'
r
ij
1 ,
r
ij
0 ,
r
ij
如果已知 X Y 中的关系 R 和Y Z 中的关系 S ，要想通过 R 和 S 求出 X Z
中的某个关系Q ，则需要研究关系的合成运算。
定义 3.6 [1] ：设 Q 、 R 为两个模糊关系，且Q X Y ， R Y Z ，定义模
糊关系Q 对 R 的“合成”为模糊关系Q R ，对于任意 x X , y Y , z Z ，模糊
合成关系的隶属函数为：
Q R
( , )
x z
y Y
(
Q
( ,
x y
)
R
( , ))
y z
定义 3.7 [1] ：设模糊矩阵 [
R
]ij n m
r
、 [
S
]ij m l
s
，定义矩阵 R 与 S 的“合成”
为 R S =[
]ij n l
e
， R S 的元素为：
e
ij
m
(
1
k
r
ik
s
kj
)
令Q 、 R 和 S 为任意模糊关系，则模糊关系的合成运算具有如下性质：
(1)结合律： (
R Q S
)
(
R Q S
)
(2)对 的分配律： (
R Q S
)
(
R Q
)
(
R S
)
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