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2010年黑龙江大兴安岭中考数学真题及答案.doc
2010 年黑龙江大兴安岭中考数学真题及答案
一、单项选择题（每题 3 分，满分 30 分）
1． 下列各式：①(－
1
3
)—2＝9；②(－2)0＝1；③(a＋b)2＝a2＋b2；④(－3ab3)2＝9a2b6；⑤3x2－4x＝－x，
其中计算正确的是（
A．①②③
B．①②④
）
C．③④⑤
D．②④⑤
解析：
答案：B
点评：
2． 下列图形中不是轴对称图形的是（
）
解析：
答案：C
点评：
3． 六月 P 市连降大雨，某部队前往救援，乘车行进一段路程之后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队
短暂休整后决定步行前往，则能反映部队离开驻地的距离 S（千米）与时间 t（小时）之间的函数关
系的大致图象是（
）
解析：
答案：A
点评：
4． 方程(x－5)( x－6)＝x－5 的解是（
）
A．x＝5
B．x＝5 或 x＝6
C．x＝7
D．x＝5 或 x＝7
解析：
答案：D
点评：
5． “一方有难，八方支援”，当青海玉树发生地震后，全国人民积极开展捐款款物献爱心活动．下列是
我市某中学七年级二班 50 名同学捐款情况统计表：
捐款金额（元）
捐款人数（人）
10
3
15
10
20
10
30
15
50
5
60
2
根据表中所提供的信息，这 50 名同学捐款金额的众数是（
A．15
D．20
B．30
C．50
80
1
90
1
100
2
70
1
）
解析：
答案：B
点评：
1
6． 已知函数 y＝
x
的图象如图所示，当 x≥－1 时，y的取值范围是（
）
A．y＜－1
B．y≤－1
C．y≤－1 或 y＞0
D．y＜－1 或 y≥0
解析：
答案：C
点评：
7． 直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，∠C＝60º，AD＝DC＝2 2，则 BC的长为（
）
A． 3
B．4 2
C．3 2
D．2 3
解析：
答案：C
点评：
1
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为 6，sinB＝
3
，则线段 AC的长是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：
答案：B
点评：
9． 现有球迷 150 人欲同时租用 A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中 A、B、C三种型号客车
载客量分别为 50 人、30 人、10 人，要求每辆车必须满载，其中 A型客车最多租两辆，则球迷们一次
性到达赛场的租车方案有（
A．3 种
D．6 种
C．5 种
B．4 种
）
解析：
答案：B
点评：
10．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，AE与 BD交于点 O，AE
与 CD交于点 G，AC与 BD交于点 F，连接 OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；
④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（
A．1 个
）
D．4 个
C．3 个
B．2 个
解析：
答案：D
点评：
二、填空题（每题 3 分，满分 30 分）
11．上海世博会永久地标建筑世博轴获“全球生态建筑奖”，该建筑占地面积约为 104500 平方米，这个数
用科学记数法表示为_______________平方米．
解析：
答案：1.01×105
点评：
x－1
x＋2
12．函数 y＝
解析：
答案：x≥1
点评：
中，自变量 x的取值范围是_______________．
13．如图所示，E、F是矩形 ABCD对角线 AC上的两点，试添加一个
条件：_______________，使得△ADF≌△CBE．
解析：
答案：AF＝CE或 AE＝CF或 DF∥BE或∠ABE＝∠CDF等
点评：
14．一个不透明的口袋中，装有红球 6 个，白球 9 个，黑球 3 个，这些球除颜色不同外没有任何区别，丙
从中任意摸出一个球，要使摸到黑的概率为
1
4
，需要往这个口袋再放入同种黑球_______________个．
解析：
答案：2
点评：
15．抛物线 y＝x2－4x＋
m
2
_______________．
解析：
答案：（3,0）
点评：
与 x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则此抛物线与 x轴的另一个交点的坐标是
16．代数式 3x2－4x－5 的值为 7，则 x2－
4
3
x－5 的值为_______________．
解析：
答案：－1
点评：
17．由一些完全相同的小正方体的搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，
则组成这个几何体的小正方体的个数可能是_______________．
解析：
答案：4 或 5（答对一值得 1 分，多答不得分）
点评：
18．Rt△ABC中，∠BAC＝90º，AB＝AC＝2，以 AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD，则线段
BD 的长为_______________．
解析：
答案：4 或 2 5或 10（答对一值得 1 分，多答不得分）
点评：
19．已知关于 x的分式方程
a＋2
x＋1
＝1 的解是非正数，则 a的取值范围是_______________．
解析：
答案：a≤－1 且 a≠－2
点评：
20．如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C的对角线 A1C和 OB1 交于点 M1；以 M1A1 为对角线
作第二个正方形 A2A1B2 M1，对角线 A1 M1 和 A2B2 交于点 M2；以 M2A1 为对角线作第三个正方形 A3A1B3 M2，
对角线 A1 M2 和 A3B3 交于点 M3；……，依次类推，这样作的第 n个正方形对角线交点的坐标 为
Mn_______________．
解析：
答案：(1－
1
2n
,
1
2n
)或另一书写形式(
2n－1
2n
,
1
2n
)
点评：
三、解答题（满分 60 分）
21．(本小题满分 5 分)先化简：(a －
2a—1
a
)÷
1－a2
a2＋a
，然后给 a选择一个你喜欢的数代入求值．
解析：
答案：解：原式＝
a2－2a＋1
a
(a－1)2
＝
a
×
÷
…………………………1 分
……………………2 分
1－a2
a2＋a
a (a＋1)
(1－a) (a＋1)
＝(1－a) …………………………………………1 分
点评：（a取—1，1，0 以外的任何数，计算正确均可得分）……1 分
22．(本小题满分 6 分) 每个小方格都是边长为 1 个单位长度的小正方形，菱形 OABC在平面直角坐标系中
的位置如图所示．
（1）将菱形 OABC先向右平移 4 个单位，再向上平移 2 个单位，得到菱形 OA1B1C1，请画出菱形 OA1B1C1，
并直接写出点 B1 的坐标；
（2）将菱形 OABC绕原点 O顺时针旋转 90º，得到菱形 OA2B2C2，请画出菱形 OA2B2C2，并求出点 B旋转到
B2 的路径长．
解析：
答案：（1）正确画出平移后图形…………………………1 分
B1（8,6）………………………………………1 分
（2）正确画出旋转图形……………………………1 分
OB＝ 42＋42＝ 32＝4 2……………………1 分
BB2 的弧长＝
90π×4 2
180
＝2 2π…………………………2 分
点评：
23．(本小题满分 6 分) ．已知二次函数的图象经过点（0,3），（－3,0），（2, －5），且与 x轴交于 A、B
两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点 P（－2,3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试
说明理由．
解析：
答案：解：（1）设二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c
∵二次函数的图象经过点（0,3），（－3,0），（2, －5）
c＝3
∴ 9a—3b＋c＝0…………………………………………………2 分
4a＋2b＋c＝－5
a＝－1，b＝－2，c＝3，y＝－x2－2x＋3 …………………………1 分
（2）∵－(－2)2－2×(－2)＋3＝－4＋4＋3
∴点 P（－2,3）在这个二次函数的图象上…………………………1 分
∵－x2－2x＋3＝0
∴x1＝－3，x2＝1 ∴与轴的交点为：（－3,0），（1,0）…………1 分
1
S△PAB＝
2
点评：
×4×3＝6 …………………………………………………1 分
24．(本小题满分 7 分) ．某区对参加 2010 年中考的 5000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制
出频分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a的值为__________，b的值为__________，并将频数分布直方图补充完整；
（2）甲同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况应在什么范
围内？
（3）若视力在 4.9 以上（含 4.9）均属正常，则视力正常的人数占被统计人数的百分比是__________，
并根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
解析：
答案：（1）a＝60，b＝0.05 …………………………………………………………………1 分
补全直方图 ………………………………………………………………………1 分
（2）甲同学的视力情况范围：4.6≤x≤4.9…………………………………………1 分
（3）视力正常的人数占被统计人数的百分比是：
60＋10
200
×100%＝35% ………1 分
全区初中毕业生中视力正常的学生约有：5000×35%＝1750（人） …………1 分
点评：
25．(本小题满分 8 分)因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情，北方
甲水库立即以管道运输的方式给予以支援下图是两水库的蓄水量 y（万米 3）与时间 x（天）之间的函
数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的
损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：
（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？
（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？
（3）求直线 AD的解析式．
解析：
答案：解：（1）甲水库每天的放水量为(3000－1000)÷5＝400（万米 3/天）……………………1 分
（2）甲水库输出的水第 10 天时开始注入乙水库………………………………………1 分
设直线 AB的解析式为：y＝kx＋b ∵B(0,800)，C(5,550)
∴
b＝800
5 k＋b＝550
∴k＝－50
b＝800
………………………………1 分
∴直线 AB的解析式为：yAB＝－50x＋800 ……………………………………1 分
当 x＝10 时，y＝300 ∴此时乙水库的蓄水量为 300（万米 3） ………………1 分
（3）∵甲水库单位时间的放水量与乙水库单位时间的进水量相同且损耗不计
∴乙水库的进水时间为 5 天
∵乙水库 15 天后的蓄水量为：300＋(3000－1000) －50×5＝2050(万米 3) …1 分
A(0,300)，D(15,2050)
设直线 AB的解析式为： y＝k1x＋b1
∴
10k1＋b1＝300
15k1＋b1＝2050
∴k1＝350
b1＝－3200
………………………………1 分
∴直线 AD的解析式为：yAD＝350x－3200 ……………………………………1 分
点评：
26．(本小题满分 8 分) ．已知在 Rt△ABC中，∠ABC＝90º，∠A＝30º，点 P在 AC上，且∠MPN＝90º．
当点 P为线段 AC的中点，点 M、N分别在线段 AB、BC上时（如图 1），过点 P作 PE⊥AB于点 E，PF⊥
BC于点 F，可证 t△PME∽t△PNF，得出 PN＝ 3PM．（不需证明）
当 PC＝ 2PA，点 M、N分别在线段 AB、BC或其延长线上，如图 2、图 3 这两种情况时，请写出线段
PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明．
解析：
答案：解：如图 2，如图 3 中都有结论：PN＝ 6PM……………………………2 分
选如图 2： 在 Rt△ABC中，过点 P作 PE⊥AB于 E，PF⊥BC于点 F
∴四边形 BFPE是矩形
∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90º
可知∠EPM＝∠FPN
∴∠EPF＝90º，
∴△PFN∽△PEM ……………………2 分
∴
PF
PE
＝
PN
PM
…………………………………………………………1 分
又∵Rt△AEP和 Rt△PFC中：∠A＝30º，∠C＝60º
∴PF＝
PA……………………………………………1 分
∴
PN
PM
＝
＝
3PC
PA
……………………………………………1 分
1
PC，PE＝
2
3
2
PF
PE
∵PC＝ 2PA ∴
PN
PM
＝ 6 即：PN＝ 6PM
………………1 分
若选如图 3，其证明过程同上（其他方法如果正确，可参照给分）
点评：
27．(本小题满分 10 分) ．为了抓住世博会商机，某商店决定购进 A、B两种世博会纪念品．若购进 A种
纪念品 10 件，B种纪念品 5 件，需要 1000 元；若购进 A种纪念品 5 件，B种纪念品 3 件，需要 550
元．
（1）求购进 A、B 两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出 1 万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进 A种纪念品的数
量不少于 B种纪念品数量的 6 倍，且不超过 B种纪念品数量的 8 倍，那么该商店共有几种进货方
案？
（3）若销售每件 A种纪念品可获利润 20 元，每件 B种纪念品可获利润 30 元，在第（2）问的各种进
货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
解析：
答案：解：（1）设该商店购进一件 A种纪念品需要 a元，购进一件 B种纪念品需要 b元
则
10a＋5b＝1000
0
5a＋3b＝550
…………………………………………………………………1 分
∴解方程组得
a＝50
b＝100
………1 分
∴购进一件 A种纪念品需要 50 元，购进一件 B种纪念品需要 100 元 ………………1 分
（2）设该商店购进 A种纪念品 x个，购进 B种纪念品 y个
∴
50x＋100y＝10000
6y≤x≤8y
……………………………………………………………2 分
解得 20≤y≤25 ……………………………………………………………………………1 分
∴共有 6 种进货方案…………………………………………………1 分
∵y为正整数
（3）设总利润为 W元
W ＝20x＋30y＝20(200－2 y)＋30y
(20≤y≤25)
＝－10 y ＋4000
…………………………………………………2 分
∵－10＜0∴W随 y的增大而减小
∴当 y＝20 时，W有最大值 ……………………………………………………………1 分
W最大＝－10×20＋4000＝3800(元)
∴当购进 A 种纪念品 160 件，B 种纪念品 20 件时，可获最大利润，最大利润是 3800 元
……………………………………………………………1 分
点评：
28．(本小题满分 10 分) ．如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x＋12 的图象分别交 x轴、y轴于 A、B
两点．过点 A的直线交 y轴正半轴于点 M，且点 M为线段 OB的中点．△ABP△AOB
（1）求直线 AM的解析式；
（2）试在直线 AM上找一点 P，使得 S△ABP＝S△AOB ，请直接写出点 P的坐标；
（3）若点 H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 H，使以 A、B、M、H为顶点的四
边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点 H的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：
答案：解：（1）函数的解析式为 y＝2x＋12
∴A(－6,0)，B(0,12) ………………1 分
∵点 M为线段 OB的中点
设直线 AM的解析式为：y＝kx＋b
∴M(0,6) ……………………………1 分
∵
b＝6
－6k＋b＝0
………………………………………………2 分
∴k＝1
∴直线 AM的解析式为：y＝x＋6 ………………………………………1 分
………………………………………………………1 分
b＝6
（2）P1(－18，－12)，P2(6，12) ………………………………………………2 分
6
（3）H1(－6，18)，H2(－12，0)，H3(－
5
，
18
5
)………………………………3 分
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