2013年陕西高考文科数学试题及答案.doc-资料库

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2013 年陕西高考文科数学试题及答案注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。 2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(共 50 分) 1. 第一部分(共 50 分) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1. 设全集为 R, 函数 ( ) f x  1  的定义域为 M, 则 C MR 为 x (A) (－∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (  ,1] (D) [1, ) 【答案】B 【解析】  -1 x  ,0 x .1 即 M  ( ],1, M RC  ,1( ) ,所以选 B 2. 已知向量 a  (1, m b m ),  ( ,2) , 若 a//b, 则实数 m等于 (A) 2 (B) 2 (C) 2 或 2 (D) 0 2. 【答案】C 【解析】  a  ,1( mbm ),  ( ),2, 且 // ba 21,  mm  m .2 ,所以选 C 3. 设 a, b, c均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) log a ·log b c b  log c a (B) log a ·log b a a  lo g a b (C) lo g a ( bc  ) log ·l o b g a c a (D) o l g a ( b c )  log b  og l a c a

3. 【答案】B 【解析】a, b,c≠1. 考察对数 2 个公式: log a xy  log x  log a y log, a b  a log log c c b a 对选项 A: log a b  log c b  log c a  log b  a 对选项 B: log a b  log c a  log c b  log b  a log log log log c c c c a b b a ,显然与第二个公式不符，所以为假。 ,显然与第二个公式一致，所以为真。对选项 C: log ）（ a bc log a b  log a c ,显然与第一个公式不符，所以为假。对选项 D: log cb （ a )  log a b  log c a ,同样与第一个公式不符，所以为假。所以选 B 4. 根据下列算法语句, 当输入 x为 60 时, 输出 y的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 4. 【答案】C 【解析】 x  ,60 y 25  (6.0  x  )50  31 ,所以选 C 输入 x If x≤50 Then y = 0.5 * x y = 25 + 0.6*(x-50) Else End If 输出 y 5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间 [15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 (A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 5. 【答案】D 【解析】组距为 5，二等品的概率为 02.0(1   06.0  5)03.0  45.0 。所以，从该批产品中随

机抽取 1 件，则其是二等品的概率为 0.45. 所以选 D 6. 设 z是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若 2 z  , 则 z是实数 0 (B) 若 2 z  , 则 z是虚数 0 (C) 若 z是虚数, 则 2 z  0 (D) 若 z是纯虚数, 则 2 z  0 6. 【答案】C 【解析】 设 a z Rbabi  z , , 2 2 a 2  b  2 abi 。经观察，C 和 D 选项可能是互相排斥的，应重点注意。对选项 A: 2 若 z  ,0 则 b  0 z 为实数 ,所以为实数 z 为真。对选项 B: 2 若 z  ,0 则 a  ,0 且 b  0 z 为纯虚数 ,所以为纯虚数 z 为真. 对选项 C: 若 z 为纯虚数对选项 D: 若 z 为纯虚数 , , 则 a  ,0 且 b 则 a  ,0 且 b 所以选 C 2  0 z 2  0 z 0 0 ,所以 2 z 0 为假 ,所以 2 z 0 为真. 7. 若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围成的封闭区域, 则 2x－y的最小值为 (A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2 7. 【答案】A 【解析】 y |  x | 与 y  2 的图像围成一个三角形区域，3 个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y = - 6 取最小值。所以选 A 8. 已知点 M(a,b)在圆 :O x 2 2 y  外, 则直线 ax + by = 1 与圆 O的位置关系是 1 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定 8. 【答案】B 【解析】点 M(a, b)在圆 2 x  2 y  1 外 a 2 2 b  .1 . )00( ，圆 O 到直线 ax  by  1 距离 d  1  2 a 2 b  1 =圆的半径，故直线与圆相交。

所以选 B. 9. 设△ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 若 cos b C c  cos B a  sin A , 则△ABC的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 9. 【答案】A 【解析】因为 cos b C c  cos B a  sin A ，所以 sin B cos C  sin C cos B  sin A sin A 又 sin B cos C  sin C cos B  sin( CB  )  sin A 。联立两式得 sin A  sin A sin A 。所以 sin A  A ,1   2 。选 A 10. 设[x]表示不大于 x的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [－x] = －[x] (B) [x + 1 2 ] = [x] (C) [2x] = 2[x] (D) [ ] x  [ x  1 2 ]  [2 ] x 10. 【答案】D 【解析】代值法。对 A, 设 x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以 A 选项为假。对 B, 设 x = 1.8, 则[x+ 1 2 ] = 2, [x] = 1, 所以 B 选项为假。对 C, 设 x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以 C 选项为假。故 D 选项为真。所以选 D 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 双曲线 2 x 16 2 y 9 1  的离心率为 . 11. 【答案】 5 4 9 16 【解析】 2 2 b a  e 2 2 2 c a  e 25 16 5 4 , 所以离心率为 5 4 。

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 12. 【答案】 3 【解析】综合三视图可知，立体图是一个半径 r=1 的半个球体。其表面积 = 1 2  13. 观察下列等式: 2 4 r r   2  3  2 1 (1 1)    (2 1)(2 2)   (3 1)(3 2)(3 3)   2   2 1 3   3 2  1 3 5    … 照此规律, 第 n个等式可为 . 13. 【答案】 ( n  )(1 n  )(2 n  )3  ( nn  )  n 5312      2( n  )1 【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。第 n个等式可为: ( n  )(1 n  )(2 n  )3  ( nn  )  n 5312      2( n  )1 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x为 (m). 14. 【答案】20    【解析】利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为 y, 由三角形相似得: x 40  时，矩形的面积 40  40 x 取最大值仅当 x 且 ,40 20 40 40 xy , ,0 x xy  ,0 y y  x  s  y  y , y 2 400 . 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 设 a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数 x的不等式 | x a  |  | x b   的解集 | 2 是 . B. (几何证明选做题) 如图, AB与 CD相交于点 E, 过 E作 BC的平行线与 AD的延长线相交于点 P. 已知 A    , PD = 2DA = 2, 则 PE = C .

C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线   x  y  2 t 2 t (t为参数)的焦点坐标是 . 15. A 【答案】R 【解析】考察绝对值不等式的基本知识。函数 )( xf |  ax  |  | bx  | 的值域为： [| ba  |,  ). 因此，当  Rx 时， )( xf |  ba  2| . 所以，不等式 | ax  |  | bx  2| 的解集为 R。 B 【答案】 .6 【解析】  BC // PE  BCD  . PED 且在圆中  BCD  BAD  PED  . BAD  EPD ∽  APE  C 【答案】 (1, 0) PE PA  PD PE  2 PE  PA  PD  23 .6 所以 PE  .6 【解析】    x y   2 t 2 t .  x 4 2 y 抛物线的焦点 F )0,1( 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a  (cos , x  1 2 ), b  ( 3 sin ,cos 2 ), x x x  R , 设函数 ( ) f x  a b . · (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f (x) 在 0,     2   上的最大值和最小值. 16. 【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) 1,1  . 2 【解析】(Ⅰ) ( ) f x  a b = · cos x  sin3 x  1 2 2cos x  3 2 2sin x  1 2 2cos x  sin( 2 x   ) 6 。

最小正周期 T  2  2   。所以 )( xf  sin( 2 x   ), 6 最小正周期为。 (Ⅱ) x 当  ,0[  ] 2( 时， 2 x   ) 6  -[ 5,  ] y ，由标准函数 6 6  sin -[ x 在 5,  ] 上的图像知， . 6 6 )( xf  sin( 2 x   ) 6  [ f -(  )] 6 2 ), ( f 1[  2 ]1, . 所以，f (x) 在 0,     2   上的最大值和最小值分别为 1,1  . 2 17. (本小题满分 12 分) 设 Sn表示数列{ }na 的前 n项和. (Ⅰ) 若{ }na 为等差数列, 推导 Sn的计算公式; (Ⅱ) 若 1 1, q a  , 且对所有正整数 n, 有 0 S n  n 1 q  1 q  . 判断{ }na 是否为等比数列. 17. 【答案】(Ⅰ) S n  ( an 1 a n )  2  ( an 1  n 1  2 d ) ; (Ⅱ) }{ na数列是首项 11 a ,公比 1q 的等比数列。【解析】(Ⅰ) 设公差为 d,则 an  a 1  ( n  )1 d S S    n n   a 1 a n   a 2 a n  1      a  1 n  a 2   a n a 1  2 S n  ( a 1  a n )  ( a 2  a n 1  )    ( a n 1   a 1 )  ( a n  a 1 )  2 S n  ( an 1 a n  S ) n ( an 1 a n )  2  ( an 1  n 1  2 d ) . (Ⅱ) a 1  1 q ，  ,0 q 由题知  1 。  Nn *， S  n n 1 q  1 q   a n 1   S n 1   S n  1 q  1  1  n q  n 1 q  1 q   1  q n  1  n q q  n q a n  1   q  n 1  n n   1 2  a n q n 1  ， Nn  * .

所以, }{ na数列是首项 11 a ,公比 1q 的等比数列。 18. (本小题满分 12 分) 如图 , 四棱柱 ABCD－ A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形 , O 为底面中心 , A1O⊥ 平面 ABCD, AB AA 1  2 . (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD－A1B1D1 的体积. 18. 【答案】 (Ⅰ) 面 BDA 1 // 面 BCD 11 ,见下. (Ⅱ) 1 【解析】 (Ⅰ) 设 DB 线段的中点为 . O 1 1 1 是和 DB 1 1 BD ABCD  DCBA 的对应棱 1 1 1 1  BD // DB 1 1 .  同理， AO 和 OA 是棱柱 1 1 ABCD  DCBA 的对应线段 11 1 1  AO // OA 1 1 且 AO // OC  OA 1 1 // OC 且 OA 1 1  OC 四边形 A 1 OCO 1 为平行四边形  OACOOA 1 . 且 // 1 1  BD  ODBCOO 1   1 1 1 , 面 BDA 1 // 面 BCD 1 1 .(证毕) (Ⅱ) 1 OA  面 ABCD  OA 1 是三棱柱 DBA 1 1 1  ABD 的高 . 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在 OAART  1 中， OA 1  .1 三棱柱 DBA 1 1 1  ABD 的体积 V DBA 111  ABD  S  ABD  OA 1 所以，三棱柱 DBA 1 1 1  ABD 的体积 DBAV 111  ABD  1 . 1  2 11)2(  2 . 19. (本小题满分 12 分) 有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛, 由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为 5 组, 各组的人数如下:

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