2020青海考研数学三真题及答案.doc-资料库

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一、选择题：1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分．下列每题给出的四个选项中,只有一个 2020青海考研数学三真题及答案选项是符合题目要求的． (1)设 lim f (x)  a  b ，则 lim sin f (x) sin a  ( ) xa x  a xa x  a (A). bsin a (B). bcosa (C). b sin f (a) (D). b cos f(a) 【答案】B 【解析】 lim sin f (x)  sin a  lim sin f (x)  sin a  f (x)  a  cos f (x)  b  b cos f (a) x  a x a x a f (x)  a x a xa 设 f (x)  u ，则lim sin f (x)  sin a = lim sinu sin a  cosu  cos f (a) xa f (x) a u f (a) u a u  f (a) sin f (x)  sin a  lim sin f (x)  sin a  f (x)  a  lim sin f (x)  sin a  lim f (x)  a lim 则xa x  a x a f (x)  a x a xa f (x)  a =bcosa x  a x  a ，则第二类间断点个数为（） 1 ex1 ln 1 x (ex 1)(x  2) (2) 函数 f (x)  (A).1 (B).2 (C).3

(D).4 【答案】C 【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一般步骤为： 1. 找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判定。第二类间断点的定义为 f (x0 ), f (x0 ) 至少有一个不存在，很显然 f (x) 不存在的点为 x  1, x  0, x  1, x  2 。在x  1处， lim x1 f (x)  , lim x1 f (x)   ；在x  0 处， f (x)  lim x0+ f (x)=  1 ； 2e lim x 0 1 在x 1处， lim ex1  0 1 x1 x1 x1 在x  2 处， lim x2 f (x)   ， lim x2+ f (x)  + ；，lim ex1   ，lim f (x)  0 ，lim f (x)   ； x1+ 所以，第二类间断点为 3 个。 (3) 对奇函数 f (x) 在 (,  ) 上有连续导数，则( ) (A).  cos f (t)  f (t)dt 是奇函数 x 0 (B).  cos f (t)  f (t)dt 是偶函数 x 0 (C).  (D).  x 0 x 0 cos f (t)  f (t)dt 是奇函数 cos f (t)  f (t)dt 是偶函数【答案】：A 【解析】 f (x) 为奇函数，则其导数 f (x) 为偶函数，又 cos x 为偶函数，则 cos f (x)  cos f (x) ，则cos f (x) 为偶函数，故cos f (x)  f (x) 为偶函数，以 0 为下限、被

积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选 A ;对于C和D 选项， f (x)为偶函数，则cos f (x)  cos f (x) 为偶函数， f (x) 为奇函数，则cos f (x)  f (x) 既非奇函数又非偶函数。 (4).已知幂级数na (x  2)n 的收敛区间为(2,6) ，则a (x  1)2n 的收敛区间为  n n1  n n1 (A).(-2,6) (B).(-3,1) (C).(-5,3) (D).(-17,15) 【答案】B 【解析】由比值法可知，幂级数收敛时，lim n1  则要求 a (x  2)2n 的收敛区间，只需要求出lim n n1 a (x 1)2n 2 a  lim n1 (x  1)2 1 n a (x 1)2n n n a n an1 an n 的值即可，而条件告诉我们幂级数na (x  2)n 的收敛区间为(2,6) ，即收敛半径为 4 n  (n  1)an1 nan  lim n  lim n  n n  1 an1  1  lim an n an1 an n 4 1  则 lim an1 an n 4 (x 1)2n  1 (x 1)2  1，即 3  x  1 所以本题选B 。 (5) 设 4 阶矩阵 A  (aij ) 不可逆，a12 的代数余子式 A12  0 ，α1 ,α2 ,α3 ,α4 为矩阵 A 的列向量组， A* 为A 的伴随矩阵，则 A* x  0 的通解为（（A）x  k1α1  k2α2  k3α3 ）（C）x  k1α1  k2α3  k3α4

（B）x  k1α1  k2α2  k3α4 （D）x  k1α2  k2α3  k3α4

【答案】（C）【解析】 A  (a ) 不可逆知， A  0 及 r(A)  4 ；由 A  0 知A*  O 且 α ,α ,α 线性无关（无 ij 12 1 3 4 关组的延长组仍无关），故r( A)  3 及 r(A* )  1 ，故 A* x  0 的基础解系含有 3 个向量。由 A* A  A E  O 知， A 的列向量均为 A* x  0 的解，故通解为 x  k α  k α  k α 。 1 1 2 3 3 4 (6) 设A 为 3 阶矩阵，α1,α2 为A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，α3 为A 的特征值 1的特征向量。若存在可逆矩阵P ，使得P1 AP  0 （A）(α1  α3 ,α2 ,α3 ) （C）(α1  α3 ,α3 ,α2 ) 【答案】（D） 1  0  0 1 0 0 0 ，则P 可为（  1  ）（B）(α1  α2 ,α2 ,α3 ) （D）(α1  α2 ,α3 ,α2 ) 【解析】因为α1,α2 为A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，故α1  α2 ,α2 仍为特征值1的两个线性无关的特征向量；因为α3 为A 的特征值1的特征向量，故α3 仍为特征值 1的特征向量，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需 P  (α1  α2 ,α3 ,α2 ) ， ,PAB 0,PAC  PBC ，则 A, B, C 恰好发生一个的概率为 1 12 0 0 。  1  1 4 1 就有P1 AP  0  0  (7) 0 1 0 PA PB PC （） (A). 3 4 (B). 2 3 (C) .1 (D). 5 2 12

【答案】（D）【解析】 P( ABC)  P( ABC)  P( ABC)  P(AI B UC)  P(B I AUC)  P(C I A U B)  P( A)  P( AB)  P( AC)  P( ABC)  P(B)  P( AB)  P(BC)  P( ABC)  P(C)  P(AC)  P(BC)  P(ABC) 又 ABC  AB ， P( ABC)  P( AB)  0  1  1  1  5 4 12  1  1 4 12 1  4 1 12 原式  12 12 (8) .若二维随机变量 X ,Y 服从  1   ，则下列服从标准正态分布且与X 独立的 N0,0;1,4;    2 是（） (A). (B). (C). (D). 5 X Y  5 5 X Y  5 3 X Y  3 3 X Y  3 【答案】（C）【解析】由二维正态分布可知 X ~ N (0,1) ，Y ~ N (0,4) ，XY D(X Y)  DX  DY  2XY DX DY  3，   1 2 所以 X Y ~ N(0,3) ， X  Y  ~ N (0,1) 3 3 又cov(X , X Y)  cov(X , X )  cov(X ,Y )  DX  XY DX DY  0

所以 X 与 X  Y 独立 3 3

二、填空题：9～14 小题,每小题 4 分,共 24 分． (9) z  arctanxy sin(x  y)，则 dz  . (0,π) 【答案】 dz 【解析】 dz  (0,π) dx  (π 1)dx  dy y  cos(x  y) 1 xy  sin(x  y) 2 , dz  dy x  cos(x  y) 1 xy  sin(x  y) 2 ，将 x  0, y  π 带入可知， dz (0,π)  (π 1)dx  dy (10) 已知曲线满足 x  y  e2 xy  0 ，求曲线在点(0,1) 处的切线方程【答案】 y  x 1 【解析】在 x  y  e2 xy  0 两侧同时对 x 求导有1+ dy dy 可知  1，所以切线方程为 y  x 1 dx +e2 xy (2 y  2x dx dy )  0 ，将 x  0, y  1 带入 dx (11) 设产量为Q ，单价为 P ,厂商成本函数为C(Q) 100 13Q ，需求函数为Q(P)  求厂商取得最大利润时的产量 800  2， P 3 【答案】Q  8 【解析】由Q(P)  800  2 可知P  800  3 ，则利润函数为 P 3 Q 2 L(Q)   800     ， dL(Q)  1600 16 ，令 dL(Q)  0 可得， Q  8 ，此时  Q  2  3Q (100 13Q)  dQ (Q  2)2 dQ d2 L(Q)   dQ2 3200 (Q 2)3  0 ，故取得最大利润 (12) 设平面区域D  x 剟y (x, y)   2 ,0剟x 1 1 1 x2 ，则求D 绕 y 轴旋转所成旋转体的体积   【答案】π(ln 2  1 ) 3 1

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