2019浙江省衢州市中考数学真题及答案
考试时间:120分钟 满分:120分
一、选择题:本大题共10小题,每小题3 分,合计30分.
1.(2019年衢州)在 1
2
,0,1,-9四个数中,负数是
(
)
A. 1
2
{答案}D
B.0
C.1
D.-9
2.(2019年衢州)浙江省陆域面积为101 800平方千米,其中数据101 800用科学记数法表示为
(
)
A.0.101 8×105
B.1.018×105
C.0.101 8×106
D.1.018×106
{答案}B
3.(2019年衢州)如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是(
)
A.
B.
C.
D.
主视方向
{答案}A
4.(2019年衢州)下列计算正确的是(
)
A. 8
a
4
a = 12a
B. 4
a
2
a = 6a
C. 8
a
2
a = 4a
{答案}B
D. 4 2
)a = 6a
(
5.(2019年衢州)在一个箱子里放有1个自球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里任
意摸出1个球,摸到白球的概率是(
)
A.1
B. 2
3
D. 1
3
D. 1
2
{答案}C
{解析}本题考查了等可能条件下的概率计算方法,解答时利用概率公式P= m
n
求解.因为箱子里放
有1个自球和2个红球,所以n=1+2=3.因为白球是1个,所以m=1.于是P(从箱子里任意摸出1
个球,摸到白球)= 1
3
.因此本题选C.
6.(2019年衢州)二次函数y=(x-1)2+3图象的顶点坐标是(
)
A.(1,3)
B.(1.-3)
C(-1.3)
D.(-1,-3)
{答案}A
{解析}本题考查了二次函数图象的顶点坐标公式.在二次函数y=a(x+h)2+k图象中,顶点坐标为
(-h,k).∴y=(x-1)2+3图象的顶点坐标为(1,3),因此本题选A.
7.(2019年衢州)“三等分角“大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的
“三等分角仪“能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成,两根棒在O点相连
并可绕O转动.C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是
(
)
A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
{答案}D
8.(2019年衢州)一块圆形宣传标志牌如图所示,点A、B、C在⊙O上,CD垂直平分AB于点D.现测
得AB=8 dm,DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为(
)
A.6 dm
B.5 dm
C.4 dm
D.3 dm
{答案}B
O
D
C
B
A
{解析}本题考查了垂径定理与勾股定理.如答图,连接OA、OB、OD.∵OA=OB,∴点O在AB的垂直
平分线上,.∵CD垂直平分AB于点D,∴点O在CD上.∴OD⊥AB.∴AD= 1
2
AB= 1
2
×8=4.设⊙O的
半径为R.∵CD=2,∴OD=R-2.在Rt△OAD中,由勾股定理得OA2=AD2+OD2.∴R2=(R-2)2+
42.解得R=5.因此本题选B.
9.(2019年衢州)如图,取两根等宽的纸条折叠穿插,拉紧,可得边长为2的正六边形。则原来的
纸带宽为(
)
A.1
B. 2
C. 3
D.2
{答案}C
{解析}本题考查了矩形的性质、正六边形的性质.如答图.设正六边形的中心为点O.则△OAB是等
边三角形.∴∠ABC=60°.过点A作AC⊥OB,则AC为纸带宽.在Rt△ABC中,∵AB=2,∠ABC=
60°,∴AC=AB·sin∠ABC=2×sin60°=2× 3
2
= 3 .因此本题选C.
10.(2019年衢州)10.如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A-
D→C移动至终点C.设P点经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关
系的是(
)
A.
B.
C.
D.
{答案}C
{解析}本题考查了动态问题的函数图象.求解时分别求出各段的函数表达式.当点P在线段EA上时
运动时,y= 1
2
×x·4=2x,此时自变量x的取值范围是0≤0≤2.当点P在线段AD上运动
EP·BC= 1
2
时,y=S正方形ABCD-S△BCE-S△AEP-S△CDP=42― 1
2
×CP×BC= 1
2
<x≤6.当点P线段CD上运动时,y= 1
2
×2×4- 1
2
×2×(x-2)― 1
2
×(6-x)×4=x+2,此时2
×(10-x)×4=20-2x,此时自变量x的取值
范围是6<x≤10.因此本题选C.
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,合计24分.
11.(2019年衢州)计算: 1
a
=________.
2
a
{答案} 3
a
12.(2019年衢州)数据2,7,5,7,9的众数是________.
{答案}7
13.(2019年衢州)已知实数m、n满足
m n
m n
{答案}3
1
,
3
,
,则代数式 2
m n 的值为________.
2
{解析}本题考查了因式分解的平方差公式以及整体思想.∵
m n
m n
=1×3=3.
1
,
3
,
∴ 2
m n =(m+n)(m-n)
2
14.(2019年衢州)如图,人字梯AB、AC的长都为2米,当α=50°时,人字梯顶端离地面的高度
AD是______米.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈
1.19)
{答案}1.5
{解析}本题考查了锐角三角函数的应用.在Rt△ACD中,∵sinα= AD
AC
0.77≈1.5(米).
,∴AD=AC·sin50°=2×
15.(2019年衢州)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,□ABCD的边AB在x轴上,顶点D在
y轴的正半轴上,点C在第一象限.将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中
点,DE与BC交于点F.若y= k
x
(k≠0)图象经过点C,且S△BEF=1,则k的值为________.
y
C
D
O
F
B
E
A
x
{答案}24
{解析}本题考查了平行四边形的性质,反比例函数的性质、相似三角形的性质.如答图.过点C作
CG⊥x轴于点G.设BE=x.∵点B为OE的中点,∴OB=x.由翻折得OA=OE.∴OA=2x,AE=4x,AB
=3x.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,AB∥CD,AD∥BC.∴CD=3x.∴△EBF∽△EAD,△
BEF∽△CDF.∴ EBF
EAD
S
S
=
(
)EB
EA
2
=
(
x
4
x
2
)
= 1
16
S
S
, EBF
CDF
=
(
)EB
CD
2
=
(
x
3
x
2
)
= 1
9
.∵S△BEF=1,∴S△EAD
=16,S△CDF=9.∴S△AOD=S△DOE= 1
2
S△EAD=8.∴S四边形ODFB=8-1=7.∵AD∥BC,∴∠DAO=∠CBG.又
∵∠AOD=∠BGC=90°,AD=BC,∴△AOD≌△BCG.∴S△AOD=S△BCG.∴S△BCG=8.∴S矩形ODCG=S四边形ODFB
+S△CDF+S△BCG=7+9+8=24.∴k=S矩形ODCG=24.
16.(2019年衢州)如图,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形.
(1)将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶
点A位于x轴上,顶点B、D位于y轴上,O为坐标原点,则 OB
OA
的值为________.
(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1,摆放第三个“7”字图形得
顶点F2,依此类推…,摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1,…,则顶点F2 019,的坐标为________.
{答案}(1) 1
2
(2)( 6 062 5
5
, 405 5 )
{解析}本题考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、点的坐标、规律探究.
(1)∵∠AOB=∠ABC =90°,∴∠OAB+∠OBA=∠DBC+∠OBA.∴∠OAB=∠DBC.又∵∠AOB=
∠BCD =90°,∴△OAB∽△CDB.∴ OB
OA
= CD
CB
= 1
2
.
(2)如答图,过点C作CG⊥y轴于点G,过点F作FK⊥x轴于点K,GC与FK交于点H.在Rt△BCD中,∵
CD=1,BC=2,∴BD= 2
1
2
2 = 5 .∵S△BCD= 1
2
BC·CD= 1
2
BD·CG,∴CG= BC CD
BD
= 1 2
5
=
.由(1)知 OB
OA
= 1
2 5
2
5
(2x)2+x2=12.解得x= 5
5
BCG中,同理可求BG= 4 5
5
.设OB=x,则OA=2x.在Rt△OAB中,由勾股定理得OA2+OB2=AB2.∴
.∴OB= 5
5
,OA= 2 5
5
+ 4 5
5
.∴OG=OB+BG= 5
5
.在Rt△GCD中,同理可求DG= 5
5
.在Rt△
= 5 .∴C( 2 5
5
, 5 ).易证△AKF
∽△BOA,∴ AK
KF
= OB
OA
= 1
2
.同理可求AK= 3 5
5
,KF= 6 5
5
.∴FH=FK-HK=FK-OG= 6 5
5
-
5 = 5
5
,OK=OA+AK= 2 5
5
+ 3 5
5
= 5 .∴F( 5 , 6 5
5
).过点C作CM⊥AF于点M.在Rt△
MCF中,∵CM=AB=1,MF=DE=1,∴CF= 2
1
2
1 = 2 .在Rt△FCH中,由勾股定理得CH=
2
CF
FH
2
=
( 2)
2
(
25
)
5
= 3 5
5
.过点F作FH1∥x轴,F1H1∥y轴,FH1交F1H1于点H1.∵CF=
)沿CF的方向平行2 019次得F2 019,此时水平方向平移的距离是CH的2 019倍,即2 019×
,竖直方向平行的距离是FH的2 019倍,即2 019× 5
5
FF1,∠F1H1F=∠FHC,∠H1=∠FHC,∴△F1H1F≌△FHC.∴FH1=CH,FH=F1H1.∵将点F( 5 ,
6 5
5
3 5
5
3 5
5
019( 6 062 5
,纵坐标为FK+2 019× 5
5
= 5 + 6 057 5
= 6 062 5
= 6 5
+ 2 019 5
= 405 5 .∴F2
.∴点F2 019的横坐标为OK+2 019×
5
5
, 405 5 ).
5
5
5
三、解答题:本大题共 小题,合计分.
17.(2019年衢州)计算:
3
(π 3)
0
4
tan 45
.
{答案}解:原式=3+1-2+1=3.
18.(2019年衢州)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC、CD上,且BE=DF,连结AE、
AF.
求证:AE=AF.
{解析}本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定.利用全等三角形的判定方法“SAS”证明.
{答案}证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF.∴AE=
CF.
19.(2019年衢州)如图,在4×4的方格子中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图1中画出线段CD,使CD⊥CB,其中D是格点;
(2)在图2中画出平行四边形ABEC,其中E是格点.
A
A
C
B
图1
D
C
B
图1
A
A
C
C
B
图2
B
图2
E
{答案}解:
20.(2019年衢州)某校为积极响应“南孔圣地,衡州有礼”城市品牌建设,在每周五下午第三节
课开展了丰富多彩的走班选课活动,其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”
“礼源”等五门课程,要求全校学生必须参与其中一门课程.为了解学生参与综合实践类课程活动
情况,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统
计图。
被抽样学生参与综合实践课程情况
被抽样学生参与综合实践课程情况
条形统计图
人数(人)
12
10
8
4
礼行 礼知 礼思 礼艺 礼源
课程
12
10
8
6
4
2
0
扇形统计图
礼知 礼思
30%
礼源
礼行
礼艺
15%
(1)请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数;
(3)若该校共有学生1 200人,估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人?
{答案}解:(1)学生共有40人.条形统计图如图所示.
被抽样学生参与综合实践课程情况
条形统计图
人数(人)
12
10
4
8
6
礼行 礼知 礼思 礼艺 礼源
课程
12
10
8
6
4
2
0
(2)选“礼行”课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为 4
40
(3)参与“礼源”课程的学生约有1200× 8
40
=240(人).
×360°=36°.
21.(2019年衢州)如图,在等腰△ABC中,AB=AC.以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥
AB,垂足为E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE= 3 ,∠C=30°,求 AD 的长.
{解析}本题考查了切线的判定、弧长的计算.
(1)连接OD,证明DE⊥OD.(2)先分别求出⊙O的半径、 AD 所对的圆心角的度数,再利用弧长
计算.
{答案}(1)证明:如图,连结OD.∵OC=OD,AB=AC,∴∠1=∠C,∠C=∠B.∴∠1=∠B.∵
DE⊥AB,∴∠2+∠B=90°.∴.∠2+∠1=90°.∴∠ODE=90°.∴.DE为⊙O的切线.
(2)连结AD.∵AC为⊙O的直径,.∠ADC=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD.∴∠
AOD=60°.∵DE= 3 ,∴BD=CD= 2 3 .∴OC=2.∴ AD = 60
180
= 2 π
π 2
3
.
22.(2019年衢州)某宾馆有若干间标准房,当标准房的价格为200元时,每天入住的房间数为60
间.经市场调查表明,该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元,240元)浮动时,每
天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表:
x(元)
y(间)
… 190
…
65
200
60
210
55
220 …
50
…