2002 年浙江高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页.第 II 卷 3
至 9 页.共 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
(1)圆
(
x
)1
2
2
y
1
的圆心到直线
y
3
3
x
的距离是
(C)1
(D) 3
(A)
1
2
(B)
3
2
(2)复数
1(
2
3
2
i
3)
的值是
(D)1
x
(C)
(A)
(A) i
(3)不等式
0|{
x
1|{
x
(4)在
|)
0
(B)
(B)i (C) 1
|1)(
1(
x
}1
x
}1
x
)2,0( 内,使
5,(
)
)
(
4
4
2
|{
xxM
(D)
cos
(5)设集合
sin
(B)
(A)
x
,
k
2
1
4
且
}1x
}1x
的解集是
0
|{
xx
且
|{
1
xx
成立的 x 的取值范围是
x
5,
(
)
(
)
4
4
4
k
4
|{
xx
(C)
N
,
Z
}
k
,
,
(C)
NM
(D)
(
4
)
,
5(
3,
)
4
2
,
k
1
2
(D)
Z
}
,则
NM
(A)
NM
(B)
(6)点
)0,1(P
到曲线
NM
2
x
t
2
t
y
(其中参数 Rt )上的点的最短距离为
(A)0
(B)1
(C) 2
(D)2
(7)一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么这个
圆锥轴截面顶角的余弦值是
(A)
3
4
(B)
4
5
(C)
3
5
(D)
3
5
(8)正六棱柱
ABCDEF
FEDCBA
1
11
1
1
1
的底面边长为 1,侧棱长为 2 ,则这个棱柱侧
面对角线 DE1 与 1BC 所成的角是
(A) 90
(B) 60
(C) 45
(D) 30
2
x
(9)函数
y
(A) 0b
c
(
bx
(B) 0b
,0[
)
)是单调函数的充要条件是
(C) 0b
(D) 0b
(10)函数
y
1
1
1
x
的图象是
(11)从正方体的 6 个面中选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的选法共有
(A)8 种
(B)12 种
(C)16 种
(D)20 种
(12)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001 年国内生产总值
达到 95933 亿元,比上年增长 7.3%”,如果“十•五”期间(2001 年-2005 年)每年的国
内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为
(A)115000 亿元 (B)120000 亿元 (C)127000 亿元
(D)135000 亿元
第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线.
(13)函数
y 在 ]1,0[ 上的最大值与最小值这和为 3,则 a =
xa
(14)椭圆
2
5
x
2
ky
5
的一个焦点是 )2,0(
,那么 k
(15)
2
(
x
)(1
x
7
)2
展开式中 3x 的系数是
(16)已知
)(
xf
x
2
2
x
1
,那么
f
)1(
f
)2(
f
1(
2
)
f
)3(
f
1(
3
)
f
)4(
f
1(
4
)
=
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)已知
sin 2
2
2sin
cos
cos
2
1
,
,0(
)
2
,求 sin 、 tg 的值
新疆
王新敞
奎屯
(18)如图,正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直
新疆
王新敞
奎屯
点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若
(1)求 MN 的长;
(2) a 为何值时, MN 的长最小;
(3)当 MN 的长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成二面角的大小
CM
BN
(
a
0
a
新疆
王新敞
奎屯
2
)
C
P
M
B
D
A
Q
E
N
F
)0,1( 、 )0,1( 距离之差为 m2 ,到 x 、 y 轴的距离之比为 2,求 m 的取
(19)设点 P 到点
值范围
王新敞
奎屯
新疆
(20)某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的
6%,并且每年新增汽车数量相同
新疆 为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万
奎屯
王新敞
辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
(21)设 a 为实数,函数
(1)讨论 )(xf 的奇偶性;
(2)求 )(xf 的最小值
王新敞
奎屯
新疆
)(
xf
2
x
|
ax
1|
, Rx
(22)设数列 }{ na 满足:
a
1
n
a
n
2
na
n
1
,
,3,2,1n
(I)当
1 a
2
时,求
,
aaa
2
,
3
并由此猜测 na 的一个通项公式;
4
(II)当
1 a
3
时,证明对所的 1n ,有
(i)
an
2 n
(ii)
1
a
1
1
1
a
2
1
1
a
3
1
1
na
1
1
2
参考答案
一、选择题
题号 1
答案 A
二、填空题
2
C
3
D
4
C
5
B
6
B
7
C
8
B
9
A
10
B
11
B
12
C
(13)2
(14)1
(15)1008
(16)
三、解答题
7
2
2
sin 2
(17)解:由
2
cos
sin4
2
cos
sin2(
cos
2
2sin
2
cos
2
sin2
cos
sin
)1
0
2
2
2
cos
2
0
1
,得
)(sin
1
)1
0
cos 2
,即
sin
0
1
2
2
cos
2
sin2(
,0(
)
2
01
01
,
∵
∴
∴
sin
sin2
∴
6
∴
3tg
3
(18)解(I)作 MP ∥ AB 交 BC 于点 P , NQ ∥ AB 交 BE 于点Q ,连结 PQ ,依题意
可得 MP ∥ NQ ,且
∴
,即 MNQP 是平行四边形
MP
NQ
王新敞
奎屯
新疆
MN
PQ
CM
由已知
BN
a
,
CB
BE
1
∴
AC
BF
2
,
CP
BQ
AB
2
2
a
)
)
2
2
2
)
2
BQ
a
2
(
MN
PQ
1(
1(
(
a
CP
a
2
2
2
(II)由(I)
MN
(
a
2
2
)
2
1
2
2
)
1
2
0(
a
)2
所以,当
2a
2
时,
2MN
2
即当 M 、 N 分别为 AC 、 BF 的中点时, MN 的长最小,最小值为
2
2
(III)取 MN 的中点G ,连结 AG 、 BG ,
,G 为 MN 的中点
∵
,即 AGB
AN
MN
BN
MN
AM
AG
∴
即为二面角的平面角
,
BM
,
BG
6
4
又
AG
BG
,所以,由余弦定理有
cos
6(
4
2
)
2
2
)
1
6(
4
6
4
6
4
1
3
故所求二面角为
arccos
1
3
(19)解:设点 P 的坐标为
,(
yx ,依题设得
)
|
|
y
x
|
|
2
,即
y
2
x
,
0x
、
)0,1(N
三点不共线,得
因此,点
|
||
PM
|
||
PM
∵
|0
m
,(
)
)0,1(M
yxP
、
||
|
|
MN
PN
||
|2
|
PN
1|
2|
0|
m
∴
因此,点 P 在以 M 、 N 为焦点,实轴长为
|2 m 的双曲线上,故
|
2
2
x
m
y
1
2
2
m
1
将
y
2
x
代入
2
2
x
m
y
1
2
2
m
1
,并解得
2
x
所以
2
1(
m
m
2
51
m
2
51
m
解得
|0
m
|
,因
1
m
2
0
2
)
0
5
5
即 m 的取值范围为
(
5
5
)0,
5,0(
5
)
,
b
2
30
94.01
b
(20)解:设 2001 年末汽车保有量为 1b 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 2b 万辆, 3b
万辆,…,每年新增汽车 x 万辆,则
1 b
对于 1n ,有
94.0
b
b
1
n
n
b
94.0
)94.01(
x
2
x
x
1
n
所以
b
1
n
b
1
94.0
n
x
94.01(
94.0
2
94.0
n
)
94.01
b
n
x
06.0
0
30(
,即
n
x
94.01
06.0
x
06.0
8.1x
时
94.0)
n
当
30
x
06.0
b
x
06.0
n
b
n
1
b
1
30
新疆
王新敞
奎屯
当
30
0
,即
8.1x
时
数列 }{ nb 逐项增加,可以任意靠近
lim
n
b
n
lim
[
n
x
06.0
30(
x
06.0
n
1
]
x
06.0
因此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即
x
06.0
94.0)
60nb
x
06.0
则
(
,3,2,1n
)
60
,即
6.3x
万辆
综上,每年新增汽车不应超过 6.3 万辆
新疆
王新敞
奎屯
(21)解:(I)当 0a
此时, )(xf 为偶函数
时,函数
f
(
x
)
(
x
)
2
|
x
1|
)(
xf
当
2
时,
0a
)(
af
此时 )(xf 既不是奇函数,也不是偶函数
)(
af
)
a
)(
af
1
(
f
)
a
,
,
a
a
)
(
(
f
f
a
2
|2
a
1|
,
(II)(i)当 a
x 时,
)(
xf
2
x
(1
ax
x
1
2
2
)
a
3
4
,则函数
)(xf 在
(
上单调递减,从而函数
],
a
)(xf 在
(
上的最小值为
],
a
,则函数 )(xf 在
(
上的最小值为
],
a
f
a
,且
f
(ii)当 a
x 时,函数
)(
xf
2
x
(1
ax
x
a
,则函数
)(xf 在
(
上的最小值为
],
a
)
3
4
2
)
1(
2
1
)
2
1(
2
f
3
4
a
,且
3
4
)(xf 在
1(
2
)
)(
af
.
f
1(
2
)
)(
af
,则函数
)(xf 在
,[ a
)
上单调递增,从而函数
,[ a
)
上的最小值为
当
1a
2
)(
af
a
1a
2
若
2
1
.
若
若
)(
af
.
1a
2
1a
2
2
1
a
1a
2
1
a
2
1a
2
当
当
综上,当
时,函数 )(xf 的最小值为
时,函数 )(xf 的最小值为
12 a
1
2
时,函数 )(xf 的最小值为
3
4
a
.
a
3
4
311
a
(22)解(I)由
1 a
2
,得
a
2
2
a
1
由
2 a
3
,得
a
3
2
a
2
2 2
a
41
由
3 a
4
,得
a
4
2
a
3
3 3
a
51
由此猜想 na 的一个通项公式:
an
1 n
( 1n )
(II)(i)用数学归纳法证明:
①当 1n 时,
a
1
213
,不等式成立.
②假设当 k
n 时不等式成立,即
ak
2 k
,那么
a
1
k
(
aa
k
k
k
(1)
k
)(2
k
2
k
21)
k
也就是说,当
n
1 k
时,
ak
1
(
k
2)1
据①和②,对于所有 1n ,有
na
n .
2
5
k
3
.
(ii)由
a
1
n
(
aa
n
n
n
1)
及(i),对 2k
,有
a
k
a
(
a
k
1
k
1
1)1
k