1998年吉林高考文科数学真题及答案.doc-资料库

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1998 年吉林高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共 65 分) 一．选择题：本大题共 15 小题；第(1)－(10)题每小题 4 分，第(11)－第(15)题每小题 5 分，65 分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的新疆王新敞奎屯 (1) sin600º (A) 1 2 (B) － 1 2 (C) 3 2 (D) － 3 2 (2) 函数 y=a|x|(a＞1)的图像是 (3) 已知直线 x=a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2=4 相切，那么 a的值是 (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线 A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0 垂直的充要条件是 (A) A1A2＋B1B2=0 (B) A1A2－B1B2=0 (C) AA 2 1 BB 1 2  1 (D) BB 1 2 AA 2 1  1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) (x≠0) ) (5) 函数 f(x)= ( x≠0)的反函数 f－1(x)= 1 x (A) x(x≠0) 1 x (6) 已知点 P(sinα－cosα，tgα)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( (C) －x(x≠0) (x≠0) (D) － 1 x (B) (A) ( (C) ( 3  ， )∪( 2 4 3  ， )∪( 2 4 5 ， ) 4 5  3 ， ) 2 2 (B) ( (D) (  ， )∪( 24  ， )∪( 24 5 ， ) 4 ， 3  4  ) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为 (A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是 ( ( ) )

(A) 3  I 2 1 2 (B) － 3  I 2 1 2 (C) ± 3  I 2 1 2 (D) ± (9) 如果棱台的两底面积是 S，S′，中截面的面积是 S0，那么 (A) 2 S 0 S  S  (C) 2S0=S＋S′ (B) S0= SS (D) S 2 0  2  SS 1 3  i 2 2 ( ) (10) 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士．不同的分配方法共 ( ) (A) 6 种 (B) 12 种 (C) 18 种 (D) 24 种 (11) 向高为 H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V与水深 h的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是 ( ) (12) 椭圆 2 x  12 2 y 3 点 M的纵坐标是 =1 的焦点为 F1，点 P在椭圆上，如果线段 PF1 的中点 M在 y轴上，那么 ( ) (A) ± 3 4 (B) ± 3 2 (C) ± 2 2 (D) ± 3 4 (13) 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为 1 6 ，经过这 3 个点的小圆的周长为 4π，那么这个球的半径为 ( ) (A) 4 3 (B)2 3 (C) 2 (D) 3 (14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 ( ) (A) 5 1 2 (B)  2 52 2 (C) 15  2 (15) 等比数列{an}的公比为－ 1 2 ，前 n项的和 Sn满足 lim Sn= n 1 a 1 ，那么  2 52 2 的值为 ( ) (D) 1 a 1

(A) 3 (B)± 3 2 (C) 2 (D) 6 2 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上． (16) 设圆过双曲线 2 x 9 2  y 16  1 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________ 新疆王新敞奎屯 (17) (x＋2)10(x2－1)的展开的 x10 系数为____________（用数字作答）新疆王新敞奎屯 (18) 如图，在直四棱柱 A1B1C1D1 －ABCD中，当底面四边形 ABCD满足条件 ____________时，有 A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形新疆) 奎屯王新敞 (19) 关于函数 f (x)=4sin(2x＋  3 )(x∈R)，有下列命题  6 ①y=f (x)的表达式可改写为 y=4cos(2x－ )；②y=f (x)是以 2π为最小正周期的周期函数； ③y=f (x)的图像关于点     6 0 ，    对称； ④y=f (x)的图像关于直线 x=－  6 对称．其中正确的命题的序号是______ 新疆 (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 奎屯王新敞三．解答题：本大题共 6 小题；共 69 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分 10 分) 设 a≠b，解关于 x的不等式 a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2． 21) (本小题满分 11 分) 在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，设 a＋c=2b，A－C=  3 ，求 sinB的值．以下公式供解题时参考： sin  sin   sin2 ， sin  sin   2 cos cos   cos   2 cos ， cos   cos   sin2 sin cos   2   2  2  2 cos sin   2   2 ，  2 ．  2

(22) (本小题满分 12 分) 如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1 ⊥l2，点 N∈l1．以 A、B 为端点的曲线段 C上的任一点到 l2 的距离与到点 N的距离相等．若 △AMN为锐角三角形，|AM|= 17 ，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线 C的方程． (23) (本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC－A1 B1 C1 的侧面 A1 ACC1 与底面 ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2 3 ，且 AA1 ⊥A1C，AA1= A1 C1． (Ⅰ)求侧棱 A1A与底面 ABC所成角的大小； (Ⅱ)求侧面 A1 ABB1 与底面 ABC所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱 B1B和侧面 A1 ACC1 的距离． (24) (本小题满分 12 分) 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱．污水从 A孔流入，经沉淀后从 B孔流出．设箱体的长度为 a米，高度为 b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b的乘积 ab成反比．现有制箱材料 60 平方米．问当 a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)． (25) (本小题满分 12 分) 已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1＋b2＋…＋b10=100． (Ⅰ)求数列{bn}的能项 bn； (Ⅱ)设数列{an}的通项 an =lg(1＋ 1 nb 1 2 lgbn+1 的大小，并证明你的结论． )，记 Sn是数列{an}的前 n项的和．试比较 Sn与

1998 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题 4 分，第(11)－(15) 题每小题 5 分．满分 65 分． (1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 4 分，满分 16 分． (16) 16 3 (17) －5120 (18) AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如 ABCD是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给 0 分．三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分 10 分．解：将原不等式化为 (a2－b2)x+b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2，移项，整理后得 (a－b)2(x2－x) ≤0， ∵ a≠b 即 (a－b)2＞0， ∴ x2－x≤0，即 x(x－1) ≤0．解此不等式，得解集 {x|0≤x≤1}． (21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分 11 分．解：由正弦定理和已知条件 a＋c=2b得 sinA＋sinC=2sinB．由和差化积公式得由 A＋B＋C=π，得又 A－C=  3 ，得 3 2 cos =sinB，  sin2 B ． CA  2 cos B cos ) = ， 2 sin2 sin( CA  2 CA  2 B 2

∴ 3 2 cos ∵ 0＜＜ =2sin B 2 cos B 2 ．， cos B 2 ≠0， B 2  2 3 4 B 2 B 2 ∴sin = ，从而 cos B 2 = 1  sin 2 B 2 = 13 4 ∴ sinB= 3 2  13 4 = 39 8 (22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分 12 分．解法一：如图建立坐标系，以 l1 为 x轴，MN的垂直平分线为 y轴，点 O为坐标原点．依题意知：曲线段 C是以点 N为焦点，以 l2 为准线的抛线段的一段，其中 A、B分别为 C的端点．设曲线段 C的方程为 y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中 xA，xB分别为 A， B的横坐标，P=|MN|．，0)，N ( ，0)． P 2 所以 M (－ P 2 由 |AM|= 17 ，|AN|=3 得 (xA＋ (xA－ P 2 P 2 )2＋2PxA=17， )2＋2PxA=9．由①、②两式联立解得 xA= ① ② 4 P    4 p  1 Ax  或    2 p  2 Ax  ．，再将其代入①式并由 p＞0 解得因为△AMN是锐角三角形，所以 P 2 ＞xA，故舍去    2 p  2 Ax  ．

∴ P=4，xA=1．由点 B在曲线段 C上，得 xB=|BN|－ P 2 =4．综上得曲线段 C的方程为 y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以 l1、l2 为 x、y轴，M为坐标原点．作 AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为 E、D、F．设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)．依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3， yA=|DM|= AM  2 DA 2 =2 2 ，由于△AMN为锐角三角形，故有 xN=|AE|+|EN|=4． =|ME|+ 2 AN  2 AE =4 XB=|BF|=|BN|=6．设点 P (x，y)是曲线段 C上任一点，则由题意知 P属于集合 {(x，y)|(x－xN)2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．故曲线段 C的方程 y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)． (23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分 12 分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．解：(Ⅰ)作 A1D⊥AC，垂足为 D，由面 A1ACC1⊥面 ABC，得 A1D⊥面 ABC， ∴ ∠A1AD为 A1A与面 ABC所成的角． ∵ AA1⊥A1C，AA1=A1C， ∴ ∠A1AD=45º为所求． (Ⅱ)作 DE⊥AB，垂足为 E，连 A1E，则由 A1D⊥面 ABC，得 A1E⊥AB． ∴∠A1ED是面 A1ABB1 与面 ABC所成二面角的平面角．由已知，AB⊥BC，得 ED∥BC．又 D是 AC的中点，BC=2，AC=2 3 ，

∴ DE=1，AD=A1D= 3 ，tgA1ED= DA1 = 3 ． DE 故∠A1ED=60º为所求． (Ⅲ) 作 BF⊥AC，F为垂足，由面 A1ACC1⊥面 ABC，知 BF⊥面 A1ACC1． ∵ B1B∥面 A1ACC1， ∴ BF的长是 B1B和面 A1ACC1 的距离．在 Rt△ABC中， AB  2 AC  BC 2  22 ， ∴ BF  AB BC  AC 62 3 为所求． (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分 12 分．解法一：设 y为流出的水中杂质的质量分数，则 y= 意，即所求的 a，b值使 y值最小．根据题设，有 4b＋2ab＋2a=60(a＞0，b＞0)， k ab ，其中 k＞0 为比例系数，依题得 b  于是 y 30 a  2 a  k ab   (0＜a＜30＝， ① k 30 aa  2 a  2    k 32   a 64 a  2 k 34     a  2 64 a  2    k 34  2  a   2  64 a  2 k 18 64 a 当 a＋2= 时取等号，y达最小值． 2

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