2004年湖南高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2004 年湖南高考理科数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1．复数的值是（） A． B．－ C．4 D．－4 2．如果双曲线上一点 P 到右焦点的距离等于，那么点 P 到右准线的距离是（） A． B．13 C．5 D． 3．设是函数的值为的反函数，若，则（） A．1 B．2 C．3 D． 4．把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当 A、B C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 与平面 ABC 所成的角的大小为（） A．90° B．60° C．45° D．30° 5．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为①；在丙地区中有 20 个特大型销售点，要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②。则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（） A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 6．设函数则关于 x的方程解的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设则以下不等式中不恒成立的是（） B． D． A． C． 8．数列（）

A． B． C． D． 9．设集合，那么点 P（2，3）（）的充要条件是（） A． C． B． D． 10．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（） A．56 B．52 C．48 D．40 11．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元), 预计该地区自 2004 年起的 5 年内，农民的工资性收入将以每年 6% 的年增长率增长，其它收入每年增加 160 元。根据以上数据， 2008 年该地区农民人均收入介于（） A．4200 元~4400 元 B．4400 元~4600 元 C．4600 元~4800 元 D．4800 元~5000 元 12．设分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当时，且 A． C．则不等式的解集是（） B． D．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 13．已知向量 a= ，向量 b= ，则|2a－b|的最大值是 . 14．同时抛物线两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1 表示结果中有正面向上，ξ=0 表示结果中没有正面向上，则 Eξ= . 15．若的展开式中的常数项为 84，则 n= . 16．设 F 是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi（i=1，2， 3， …），使 |FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为 d 的等差数列，则 d 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）已知的值. 18．（本小题满分 12 分）

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 19．（本小题满分 12 分）如图，在底面是菱形的四棱锥 P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD= ,点 E 在 PD 上，且 PE:ED=2:1. （I）证明 PA⊥平面 ABCD；（II）求以 AC 为棱，EAC 与 DAC 为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF//平面 AEC？证明你的结论. 20．（本小题满分 12 分）已知函数为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值. 21．（本小题满分 12 分）如图，过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于 A，B 两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点. （I）设点 P 分有向线段所成的比为，证明: ；（II）设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0，过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆 C 的方程. 22．（本小题满分 14 分）如图，直线相交于点 P.直线 l1 与 x轴交于点 P1，过点 P1 作 x轴的垂线交直线 l2 于点 Q1，过点 Q1 作 y 轴的垂线交直线 l1 于点 P2，过点 P2 作 x轴的垂线交直线 l2 于点 Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点 P1、 Q1、P2、Q2，…，点 Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）比较的大小. 2004 年普通高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题参考答案 1.D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.C 11.B 12.D

13．4 14．0.75 15．9 16． 17．解：由得于是又 18．解：（Ⅰ）设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. ① ② ③ 由题设条件有由①、③得代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0. 解得将（舍去）. 分别代入 ③、② 可得即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是（Ⅱ）记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 19．（Ⅰ）证明因为底面 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以 AB=AD=AC=a，在△PAB 中，由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以 PA⊥平面 ABCD.

（Ⅱ）解作 EG//PA 交 AD 于 G，由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H，连结 EH，则 EH⊥AC，∠EHG 即为二面角的平面角. 又 PE : ED=2 : 1，所以从而（Ⅲ）解法一以 A 为坐标原点，直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴，过 A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点 F 是棱 PC 上的点，则令得解得即时，亦即，F 是 PC 的中点时，、、共面. 又 BF 平面 AEC，所以当 F 是棱 PC 的中点时，BF//平面 AEC. 解法二当 F 是棱 PC 的中点时，BF//平面 AEC，证明如下，证法一取 PE 的中点 M，连结 FM，则 FM//CE. ①

由知 E 是 MD 的中点. 连结 BM、BD，设 BD AC=O，则 O 为 BD 的中点. 所以 BM//OE. ② 由①、②知，平面 BFM//平面 AEC. 又 BF 平面 BFM，所以 BF//平面 AEC. 证法二因为所以、、共面. 又 BF 平面 ABC，从而 BF//平面 AEC. 20．解：（Ⅰ）（i）当 a=0 时，令若若（ii）当 a<0 时，令若若若上单调递增；上单调递减. 上单调递减；上单调递增；上单调递减. （Ⅱ）（i）当 a=0 时，在区间[0，1]上的最大值是（ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是 . （iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是 21．解：（Ⅰ）依题意，可设直线 AB 的方程为代入抛物线方程得设 A、B 两点的坐标分别是、、x2 是方程①的两根. ① 所以由点 P（0，m）分有向线段所成的比为，得

又点 Q 是点 P 关于原点的对称点，故点 Q 的坐标是（0，－m），从而 . 所以（Ⅱ）由得点 A、B 的坐标分别是（6，9）、（－4，4）. 由得所以抛物线在点 A 处切线的斜率为设圆 C 的方程是则解之得所以圆 C 的方程是即 22．（Ⅰ）证明：设点 Pn 的坐标是，由已知条件得点 Qn、Pn+1 的坐标分别是：由 Pn+1 在直线 l1 上，得所以即（Ⅱ）解：由题设知又由（Ⅰ）知，所以数列从而是首项为公比为的等比数列.

（Ⅲ）解：由得点 P 的坐标为（1，1）. 所以（i）当而此时（ii）当而此时时， >1+9=10. 时， <1+9=10.

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