10.讨论一个输入、输出关系由下面线形常系数差分方程联系的因果系统
−
1)
1)
− +
y n
( )
x n
( )
y n
(
x n
(
=
+
1
2
1
2
(a) 求该系统的单位取样响应
x n
(b) 用(a)中所得结果及卷积和,求对输入 ( )
(c) 求系统的频率响应
j n
e ω= 的响应
x n
(d) 求系统对输入 ( )
=
cos
⎛
⎜
⎝
nπ π
⎞
⎟ 的响应
2
4
⎠
+
解:
a
)
H Z
(
)
=
因为是因果系统,
1
+
1
−
1
2
1
2
−
1
−
1
z
z
= −
1
+
2
z
z
−
1
2
h n
(
)
=
Z
−
1
[
X z
(
)]
= −
(
δ
n
)
+
1
2 n
−
1
≥
n
0
j n
ω
∗ −
⎛
⎜
⎝
δ
(
n
)
+
1
n
2
⎞
⎟
⎠
e
1
n
2
b
)
y n
(
)
=
x n
(
)
∗
h n
(
)
=
j
(
ω
n
+
1)
e
j
ω
e
n
1
a
+−
2
a
−
2
−
1
2
−
a
≠
1
a
2
= −
e
j n
ω
+
根据
n
a
1
∗
n
a
2
=
n
1
a
+
1
a
1
c)
H e
(
j
ω
)
=
H
(
z
)
z
=
e
j
ω
=
=
H e
(
j
ω
)
e
ϕ ω
(
)
j
ω
j
ω
e
e
+
−
1
2
1
2
)ω
其中 ( jH e
迟
为幅频特性,表示系统对某一频率的幅度响应, (
)ϕω 为相频特性,表示系统对某一频率的相位延
d
)
j
H e ω
)
(
=
(
ϕω
) =
arctan(
ω
ω
5/ 4 cos
+
5/ 4 cos
−
sin
ω
ω
+
cos
1/2
)-arctan(
sin
ω
ω
−
1/2
cos
)
题中
ω= ,则 (
jH e ω
)
π
2
=
1
)
ϕω
(
=
2arctan 2
cos(
nπ π
2
4
+
+
2arctan 2)
y n
所以 ( )
=
课后答案网 www.khdaw.com
幅度特性
1
e−
+
aT
c
)
H e
(
D
j
0
)
=
c
1
)j
0
(
DH e 为 1,则有
可见要想使
20.下列差分方程表示一线性非时变因果系统
=
1
= +
y n
( )
e−
c
aT
y n
(
1)
− +
y n
(
−
2)
+
x n
(
− )
1
(a) 求这个系统的系统函数 ( )
H z
=
( )
X z
( )
Y z
。画出 ( )H z 的零、极点分布图,并指出其收敛域。
(b) 求这个系统的单位取样响应。
(c) 读者会发现它是一个不稳定系统,求满足上述差分方程的一个稳定(但非因果)系统的单位取样响应。
解:
a
)
1
z X z
−
( )
Y z
( )
=
+
+
Η( ) =
z
1
z Y z
−
( )
Y z
( )
X z
( )
=
2
z Y z
−
( )
1
z
−
1
−
−
1
−
z
=
2
−
z
(
z
−
z
)(
α α
2
−
1
z
)
则零点为
z =
0
,极点为
z
=
α
1
=
(1/ 2)[1
+
5] 1.62
=
z
=
因为是因果系统,所以收敛域为
=
α
2
z >
(1/ 2)[1
−
5]
= −
0.62
1.62
,如图所示
b H z
)
( )
=
=
(
z
−
1
α −
1
z
)(
⎛
⎜
⎝
Z H z
α
2
1
−
[
z
α α
2
1
z
)
−
z
α
−
1
h n
( )
=
( )]
=
z
α
−
2
(
⎞
⎟
⎠
n
α −
1
α
2
−
z
1
α −
1
n
α
2
)
u n
( )
由于 ( )H z 的收敛域不包括单位圆,所以这是个不稳定系统
c)若要使系统稳定,则其收敛域应包括单位圆,则选 ( )H z 的收敛域为0.62
z<
<
1.62
则
课后答案网 www.khdaw.com
H z
( )
=
1
α −
1
α
2
⎛
⎜
⎝
z
−
α
1
z
−
h n
( )
=
1
−
Z H z
( )]
[
=
z
z
−
α
2
1
α −
1
α
2
⎞
⎟
⎠
(
n
α
1
)
n
α
2
u n
( )
u n
(
− − −
1)
z
对应于一个非因果序列
z α−
1
23.见课本 58P 上面几行描述,可得(a)----(3), (b)----(1), (c)----(2)
24.考虑一个因果线性非时变系统,它具有下列系统函数
( )
H z
=
1
−
a z
1
1
−
−
az
1
1
−
−
式中 a 是实数。
1a< <
(a) 假如0
(b) 在 z 平面内,用通过几何法证明这个系统是一个全通系统。
解:
,画出零、极点图,并用斜线画出收敛域。
a H z
)
( )
=
零点
z
=
1
a−
a=
,收敛域为
z
a>
=
1
z a
−
−
z a
−
1
−
1
a z
−
1
−
1
az
−
1
−
z
极点
b
)
见右图,根据余弦定理,有
a
a
PZ
=
QZ
=
所以
1
2
−
2
−
a
2 cos
1
a
−
2
+
ω
cos
−
ω
1 1/
+ =
a a
2
−
a
2 cos
+
ω
1
H e
(
j
ω
)
=
PZ
QZ
=
1/
a
即频率响应的幅度为常数,所以是一个全通系统
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
2.
%( )x n
表示一周期为 的周期性序列,而
N
( )X k
表示它的离散傅立叶级数的系数,也是周期为 的周期性序列.试
N
根据
%( )x n
确定
( )X k
离散傅立叶级数的系数.
课后答案网 www.khdaw.com
解:据题意,有
X k
( )
=
N
1
−
∑
n
=
0
kn
x n W
( )
%
N
而
X k
( )
的离散傅里叶级数的系数 为
X r
( )
=
kr
X k W
N
( )
=
kr
x n W W
( )
%
N
kn
N
n
1
−
X r
( )
N
1
⎡
−
∑ ∑
⎢
⎣
=
=
n
0
0
k
⎤
⎥
⎦
N
1
−
∑
k
0
=
Ν−1
N
1
−
)
n
∑ ∑
k n r
(
x n W
+
( )
%
N
k
0
=
=0
n r
N
,
+ =
⎧
⎨
0,
其他
⎩
r
lN
)
− +
N x
%
lN
=
−
(
=
=
N
因为
1
−
k n r
(
W
+
N
)
所以
=
N x
%
(
∑
k
0
=
X r
( )
%( )x n
)
r
5.
表示一具有周期为 的周期性序列, 具有周期为
N
2N
的周期性序列.令
X k
1( )
表示当
%( )x n
看成是具有周
期为 的周期性序列离散傅立叶级数的系数.而
N
X k
2( )
表示当
%( )x n
看成是具有周期为
2N
的周期性序列离散傅
立叶级数的系数. 当然
X k
1( )
为具有周期为 的周期性序列,
N
X k
2( )
为具有周期为 2 的周期性序列.试用
N
确定
X k
1( )
解:按照题意,有
X k
2( )
X k
( )
1
=
X k
( )
2
=
kn
x n W
( )
%
N
N
1
−
∑
n
0
=
N
1
2
−
∑
n
=
0
kn
x n W
( )
%
N
2
=
N
1
−
∑
n
=
0
kn
x n W
( )
%
N
/ 2
+
2
N
1
−
∑
n N
=
kn
x n W
( )
%
N
/ 2
'n
= −
n N
令
,则
X k
( )
2
=
N
1
−
∑
n
=
0
kn
x n W
( )
%
N
/ 2
+
N
1
−
∑
'
n
=
0
'
k n N
(
x n N W
(
%
N
+
)
+
'
(1
= +
−
e
jk
π
)
N
1
−
∑
n
=
0
(1
= +
−
e
jk
π
)
X
1
kn
x n W
( )
%
N
/ 2
⎛
⎜
⎝
k
2
⎞
⎟
⎠
) / 2
所以
X k
( )
2
=
kX
⎛
1
⎜
2
⎝
⎧
⎞
k
2
,
⎪
⎟
⎠
⎨
⎪
k
0,
⎩
为偶数
为奇数
7. 求下列序列的 DFT
(a){
1,1,-1,-1}
(b){
1,j,-1,-j}
(c)
x
(n)
=
cn
≤ ≤
n N
0
−
1
课后答案网 www.khdaw.com
(d)
x
(n)
=
sin
n
2
π
N
≤ ≤
0
n
N
−
1
X k
( )=DFT[ ( )]=
x n
N
1
−
∑
n
=
0
kn
x n W
( )
N
a) {
0,2-2j,0,2+2j b) {
}
}
0,4,0,0
c X k
)
( )=DFT[ ( )]=
x n
N
1
−
∑
n
=
0
kn
cnW
N
W X k
( )=
k
N
N
1
−
∑
n
=
0
k n
(
cnW
N
1)
+
=
k
0,1......
N
−
1
(1
−
W X k
( )=
)
k
N
N-1
∑
kn
c W
N
n=1
−
Nk
c N W
(
N
1)
−
= −
cN
X k
( )=
X
(0)
=
k
,
=
1,2,......
N
−
1
cN
k
W
1
−
N
cN N
(
−
2
1)
d X k
)
( )=
=
N
1
−
0
∑
n
=
1
2j
1
2j
N
1
−
∑
n
=
0
n
W
−
(
N
−
kn
W W
N
n
N
)
k
1)
−
n
(
W
(
N
−
(
W
N
k
1)
+
n
)
k
W
−
N
k
W
N
=
sin
1
−
2
π
k
N
k
W
N
,
k = 1,2,.....N - 1
=
X
(0)
=
k
W
−
1
N
2j 1
−
2
π
N
2 2cos
sin
−
2
π
N
8.计算下列有限长序列的离散傅里叶变换(假设长度为 N)
a x n
)
( )
b x n
( )
)
c x n
)
( )
=
=
=
n
( )
δ
n n
(
−
δ
0
a
n
0 ≤ ≤
)
0 ≤
n N
N
n
≤
0
1
−
解:
a X k
)
c X k
)
( )=
0kn
b X k W
( )=1
)
N
N
N
1
a
1
−
−
∑
k
aW
1
−
N
n
kn
a W
N
( )=
=
=
n
0
=
k
0,1,.....
N
−
1
10. 计算下图两个有限长序列的 6 点圆周卷积
课后答案网 www.khdaw.com
x2(-n)的圆周移位
x1(n)与 x2(n)的 6 点圆周卷积{5 6 1 2 3 4 }
11.有限长序列的离散傅里叶变换对应序列在单位圆的 z 变换的取样。例如一个 10 点序列的离散傅里叶变换对应
于单位圆上 10 个等间隔点的 ( )X z 的取样。我们希望找到如下一个取样
X z
( )
j
⎡⎛
⎜
⎢
⎝
⎣
k
2
π π
⎞
⎟
N
10
⎠
⎞ ⎛
+
⎟ ⎜
⎠ ⎝
x n
⎥ ,证明如何修改 ( )
⎤
⎦
z
e
0.5
=
以获得一个序列 1( )
解:
x n 致使它的离散傅里叶变换对应于所希望的 ( )X z 的取样。
X z
( )
z
=
0.5
e
j
[(2
k
π
/10)
π
+
/10]
=
9
∑
n
=
0
x n
e
( )[0.5
j
[(2
k
π
/10)
π
+
/10]
n
−
]
=
x n
−
( )0.5
n
−
e
jn
π
/10
kn
W
10
9
∑
0
=
n
( )0.5 n
x n
−
可见, 当
x n
1( )
=
jn
e π
−
/10
时, 其离散富立叶变换相当于如图所示的
( )X z 的采样.
13.列长为 8 的一个有限长序列具有 8 点离散傅里叶变换 ( )X k 。列长为 16 点的一个新序列为
课后答案网 www.khdaw.com
请选择对于应于
y n
( )
的 16 点的离散傅里叶变换。解:按照题意,得当 n 为奇数时 y(n)为零,有
y n
( )
nx
⎧
n
)
(
⎪=
为偶数
2
⎨
⎪
n
为奇数
0
⎩
nk
y n W
( )
16
=
n
14
∑
=
0,2..
nk
x W
(
16
)
n
2
lk
x l W
( )
N
, 0
≤ ≤
k
15
15
∑
0
n
=
7
∑
=
0
l
Y k
( )
=
=
, 0
≤
k
≤
7
而
X k
( )
=
lk
x l W
( )
N
7
∑
l
=
0
7
所以
Y k
( )
=
, 0
≤
lk
x l W
( )
N
∑
l
0
=
X k
( ),
0
≤ ≤
X k
8),
(
8 ≤ ≤
−
k
k
即
Y k
( )
⎧
= ⎨
⎩
故答案选 c
14. 给定一个 4 点序列 ( )
x n
k
≤
15
7
5
1
1)试绘出 ( )
x n 与 ( )
x n 的线性卷积略图
2)试绘出 ( )
x n 与 ( )
x n 的 4 点圆周卷积略图
3)试绘出 ( )
x n 与 ( )
x n 的 10 点圆周卷积略图
4)若 ( )
x n 同 ( )
x n 的某个 点圆周卷积同线性卷积相同,试问 的最小值是多少?
Ν
Ν
解 1)线性卷积
x(n)与 x(n)的线性卷积
课后答案网 www.khdaw.com