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2005年江苏南京农业大学高等数学考研真题.doc
2005 年江苏南京农业大学高等数学考研真题
一．选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．曲线
y
2
x 和
（A）
x
1
2
2
y 围成的面积为（
）
（B）
1
3
（C）
1
4
（D）
1
5
2．设
( )
f x
3
1
x
2
3
x
e
，则当
x 时，有（
0
）
（A） ( )
f x 是 x 的高阶无穷小；
（B） ( )
f x 是 x 的较低阶无穷小；
（C） ( )
f x 是 x 的等价无穷小；
（D） ( )
f x 是 x 的同阶而非等价无穷小。
3．下列广义积分收敛的是（
）
（A）
1 1
0
2
x
dx
（B）
e
1
ln
x
x
dx
（C）
0
3
xx e dx
（D）
1
01
1
x
2
dx
。
4．设可微函数 ( ,
f x y 在点 0
)
(
x y 取得极小值，则下列结论正确的是 （
)
,
0
）
（A）
（C）
( ,
f x y 在
)
0
( ,
f x y 在
)
0
x
x
x 处导数等于零； （B）
0
x 处导数小于零； （D）
0
( ,
f x y 在
)
0
( ,
f x y 在
)
0
x
x
x 处导数大于零；
0
x 处导数不存在。
0
5．交换积分次序
1
4
0
y
dy
y
( ,
f x y dx
)
dy
1
2
y
1
2
1
4
( ,
f x y dx
)
（
）
1
4
0
1
4
0
x
2
x
dx
（A）
,m s
A
B
，要使
s n
（C）
dx
x
x
2
( ,
f x y dy
)
( ,
f x y dy
)
（B）
（D）
1
2
0
1
2
0
x
dx
dx
x
2
( ,
f x y dy
)
x
2
x
( ,
f x y dy
)
6．设
ABX 与
0
BX 是同解方程组的一个充分条件是 （
0
）
（A） (
)R B
n ；（B） (
)R B
s ；（C） (
)R A m ；（D） (
)R A
s 。
7．设 ,A B 为同阶正定阵，则下列结论中不正确的是 （
）
（A）
A B
；
0
（B）
A
0
0
B
可相似于对角阵；
（C） A B 为正定阵；
（D） 存在矩阵 ,G H 使 2
G
,
A H
2
。
B
8．筐中有 5 只黄色的小鸡和 4 只黑色的小鸡，从中任意取出 2 只，则取出的小鸡颜色
相同的概率为 （
）
(A)
4
9
；
(B)
5
8
；
(C)
9．已知随机变量 X 服从二项分布，且
EX
;
5
9
2.4,
值为（
）
(D)
7
12
。
DX
1.44
，则二项分布的参数 ,n p 的
（A）n =4, p =0.6； (B) n =6, p =0.4； (C) n =8, p =0.3； (D) n =24, p =0.1。
10．设随机变量 X 的概率密度函数为
( )
f x
2 2
x
x
1
1
e
，则随机变量 X 的数学期望和方差
分别为（
）
(A) EX =1, DX =1；
(C) EX =
, DX =1；
1
2
二．填空题（每小题 4 分，共 24 分）
11．求极限
1
n
1
n
n
n
(
n
sin
1)
lim
n
12．设方程
ze
z
xy
，则
0
2z
x y
13．求微分方程
y
8
y
16
y
的通解
0
14．四阶方阵 ,A B 按列分块
A
则 B
3
,
,
,
1
2
(B) EX =1, DX 不存在；
(D) EX =1, DX =
1
2
。
。
。
,
若
A
1,
A B
2,
,
B
3
,3 ,4
,
1
2
。
15．设方阵 A 满足 3
A
A ，则当C 取
0
值时 A CI 可逆。
16．设 ,A B 为随机事件， (
P A
) 0.7,
(
P AB
) 0.6
,则 (
P A B
)
=
。
三．解答题（本题共 10 小题，满分 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 6 分）设直线 y
18．（本题满分 8 分）
x 与对数曲线 loga
y
x
相切，求 a
设
( )
f x
x
2
) ,
x
0
1,
x
1
2
x
ln(1
2
x
0
x
0
，试讨论 ( )
f x 在 0
x 处的连续性与可导性。
,
tdt x
0
2sin
19．（本题满分 7 分）已知连续函数 ( )
f x 满足条件
20．（本题满分 8 分） 设 ,a b 均是大于 1 的常数，且
2
x
0
t
2
，求 ( )
f x 。
f
3
x
)
(
dt
e
( )
f x
1
a
1 1
，证明对于任意 0
b
x
有
1
a
ax
。
x
1
b
21．（本题满分 6 分）
计算二重积分
x
y dxdy
D
22．（本题满分 8 分）
，D 是由直线 0,
x
x
1,
y
0,
y
所围成的平面区域。
1
若 ( )
f x 在区间[0,1] 上二阶可导，
f
1( ) 0
3
且
f
(1) 3
1
1
3
xf x dx
( )
，证明：存在 (0,1)
使 ( ) 0
f
。
23．（本题满分 9 分）
构 作 一 个 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX b ， 使
(1,0, 1,2)T
是 它 的 一 个 特 解 ，
1
T
(1,2, 1,0) ,
2
(0,2,1, 1)
是它的导出组
T
AX 的一基础解系。
0
24．（本题满分 12 分）
设二次型
f
2
x
1
2
ax
2
2
x
3
bx x
1 2
2
x x
1 3
2
x x
2 3
经正交线性变换
x
1
x
2
x
3
y
1
T y
2
y
3
化成
了标准形
f
2
y
2
2
34
y
，求 ,a b 之值及矩阵T ；并在 2
x
1
2
x
2
2
x
3
条件下，求函数 f
1
的极值。
25.(本题满分 10 分)
设随机变量 X 的绝对值不大于 1；
{
P X
1}
, {
P X
1}
在事件{-1< X <1}出
;
现的条件下，X 在(-1,1)内在任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求：
1
4
1
4
（1） X 的分布函数 ( )
F x
{
}
P X x
（2） X 取负值的概率 p 。
26．(本题满分 12 分)
设连续性随机变量 X 的分布函数为
mx
( )
F x
A Be
0,
求 （1） A 和 B 的值;
(2) X 概率密度函数 f(x);
,
x
x
(
其中
0,
)
m
为正整数
0
0
(3)
Y
1
mX
的概率密度函数 ( )
y （其中>0）。
Yf
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