第1页 / 共16页
第2页 / 共16页
第3页 / 共16页
第4页 / 共16页
第5页 / 共16页
第6页 / 共16页
第7页 / 共16页
第8页 / 共16页
2003年上海高考理科数学真题及答案.doc
2003 年上海高考理科数学真题及答案
一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）
1．（4 分）函数 sin cos(
y
x
x
)
4
cos sin(
x
x
的最小正周期T
)
4
．
2．（4 分）若
x
是方程 2cos(
3
x
的解，其中 (0,2 )
) 1
，则
．
3．（4 分）在等差数列{ }na 中， 5
a ， 6
a ，则 4
a
3
2
a
5
a
10
．
4．（4 分）在极坐标系中，定点 (1,
A
)
2
最短时，点 B 的极坐标是
．
，点 B 在直线 cos
sin
上运动，当线段 AB
0
5．（4 分）在正四棱锥 P ABCD
中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60 ，则异面直线 PA
与 BC 所成角的大小等于
．（结果用反三角函数值表示）
6 ．（ 4 分 ） 设 集 合
A
{ ||
x x
| 4}
，
B
{ |
x x
2
4
x
， 则 集 合 { |x x A 且
3 0}
}
x A B
7．（4 分） ABC
．
中，若 sin : sin : sin
A
B
C
2 : 3: 4
，则 cos2C
．
8．（4 分）若首项为 1a ，公比为 q 的等比数列{ }na 的前 n 项和总小于这个数列的各项和，则
首项 1a ，公比 q 的一组取值可以是 1(a ， )q
．
9．（4 分）某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成．现从中
随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为
．（结果用分
数表示）
10．（4 分）方程 3
x
lgx
18
的根 x
．（结果精确到 0.1)
11．（4 分）已知点
(0,
A
2
n
),
B
(0,
2
n
),
C
(4
2
n
,0)
，其中 n 的为正整数．设 nS 表示 ABC
外接
圆的面积，则 lim n
S
n
．
12．（4 分）给出问题： 1F 、 2F 是双曲线
2
x
16
2
y
20
1
的焦点，点 P 在双曲线上．若点 P 到焦
点 1F 的距离等于 9，求点 P 到焦点 2F 的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，
PF
由 1
||
|
|
PF
2
|| 8
，即
| 9 |
PF
2
|| 8
，得 2
PF 或 17．
| 1
|
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的
结果填在下面空格内
．
二、选择题（共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分）
13．（4 分）下列函数中，既为偶函数又在 (0,
) 上单调递增的是 (
)
A． tan |
y
x
|
B． cos(
y
x
)
C． sin(
y
14．（4 分）在下列条件中，可判断平面与 平行的是 (
A．、 都垂直于平面 r
B．内存在不共线的三点到 的距离相等
C． l ， m 是内两条直线，且 / /
l ， / /m
D． | cot
y
x
2
|
x
)
2
)
D． l ， m 是两条异面直线，且 / /
l ， / /m ， / /
l ， / /m
15．（4 分） 1a 、 1b 、 1c 、 2a 、 2b 、 2c 均为非零实数，不等式 2
a x
1
b x
1
c
1
和 2
a x
2
0
b x
2
c
2
0
a
的解集分别为集合 M 和 N ，那么“ 1
a
2
b
1
b
2
”是“ M N ”的 (
c
1
c
2
)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
16．（4 分） ( )
f x 是定义在区间[ c ， ]c 上的奇函数，其图象如图所示：令 ( )
g x
( )
af x
，
b
则下列关于函数 ( )g x 的叙述正确的是 (
)
A．若 0
a ，则函数 ( )g x 的图象关于原点对称
B．若
a ， 2
，则方程 ( )
g x 有大于 2 的实根
0
1
0
b
C．若 0
a ， 2
b ，则方程 ( )
g x 有两个实根
0
D．若 1a
， 2
b ，则方程 ( )
g x 有三个实根
0
三、解答题（共 7 小题，满分 86 分）
z
17．（12 分）已知复数 1
i
cos
z
， 2
i
sin
，求 1
|
z z 的最大值和最小值．
|
2
18．（12 分）已知平行六面体
ABCD A B C D
1
1 1
1
中， 1A A 平面 ABCD ，
AB ，
4
AD ．若
2
1B D BC ，直线 1B D 与平面 ABCD 所成的角等于 30 ，求平行六面体
ABCD A B C D
1
1 1
1
的
体积．
19．（14 分）已知数列{ }(na
n 为正整数）是首项是 1a ，公比为 q 的等比数列．
（1）求和： 0
a C
2
1
2
a C a C
2
2
1
2
3
， 0
a C
1
3
2
a C a C
2
3
1
3
3
3
a C
4
3
；
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并加以证明．
20．（14 分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，
隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多少？
（2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l ，才能使半个椭圆形隧道的土
方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为
S
4
lh
，柱体体积为：底面积乘以高．本题
结果精确到 0.1 米）
21．（ 16 分 ） 在 以 O 为 原 点 的 直 角 坐 标 系 中 ， 点 (4, 3)
A 为 OAB
的 直 角 顶 点 ． 已 知
|
AB
OA
| 2 |
|
（1）求向量 AB
，且点 B 的纵坐标大于零．
的坐标；
（2）求圆 2
x
6
x
2
y
2
y
关于直线 OB 对称的圆的方程；
0
（3）是否存在实数 a ，使抛物线
y
ax
2 1
上总有关于直线 OB 对称的两个点？若不存在，
说明理由：若存在，求 a 的取值范围．
22．（18 分）已知集合 M 是满足下列性质的函数 ( )
f x 的全体：存在非零常数T ，对任意 x R ，
有 (
f x T
)
( )
T f x
成立．
（1）函数 ( )
f x
x 是否属于集合 M ？说明理由；
（2）设函数 ( )
f x
(
x
a a
0,
a
的图象与 y
1)
x 的图象有公共点，证明： ( )
f x
；
x
a M
（3）若函数 ( )
f x
sin
kx M
，求实数 k 的取值范围．
一、填空题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分）
1．（4 分）函数 sin cos(
y
x
x
【解答】解： sin cos(
y
x
x
)
4
)
4
cos sin(
x
x
cos sin(
x
x
)
4
)
4
的最小正周期T ．
sin(
x
x
)
4
sin(2
x
)
4
对于 sin(2
y
x
，最小正周期 2
)
2
4
T
故答案为：
2．（4 分）若
x
是方程 2cos(
3
x
的解，其中 (0,2 )
) 1
，则
4
3
．
【解答】解：
x
3
是方程 2cos(
x
) 1
的解，
2cos(
3
) 1
，即
又 (0,2 )
，
3
．
cos(
)
1
2
， 7 )
3
3
(
3
．
．
4
3
．
3
5
3
故答案为： 4
3
3．（4 分）在等差数列{ }na 中， 5
a ， 6
a ，则 4
a
3
2
a
5
a
10
49
．
a
【解答】解：由题意知 1
a
1
4
d
5
d
3
2
，解得 1
a ，
23
d
5
a
4
a
5
a
10
S
10
S
3
(
a
1
a
10
2
) 10
(
a
1
) 3
a
3
2
49
故答案为 49
最短时，点 B 的极坐标是
(
)
2
2 3
2 4
0
，化为
)
,
．
4．（4 分）在极坐标系中，定点 (1,
A
，点 B 在直线 cos
sin
上运动，当线段 AB
0
【解答】解：直线 cos
sin
x
y ，与
0
x
y 垂直过 A 的直线方程为：
0
，这两条直线的交点是 1 1
1y
,
2 2
x
(
)
．
所以 B 的极坐标是 2 3
)
,
4
2
(
．
故答案为： 2 3
)
,
4
2
(
．
5．（4 分）在正四棱锥 P ABCD
中，若侧面与底面所成二面角的大小为 60 ，则异面直线 PA
与 BC 所成角的大小等于 arctan 2 ．（结果用反三角函数值表示）
【解答】解：如图，取 AD 的中点 E ，作 PO 面 ABCD
则
PEO
60
，设
AB ，则
2
EO ，
1
PE ，
2
AE
1
将 BC 平移到 AD ， PAD
为异面直线 PA 与 BC 所成角
tan
PAD
，
2
PAD
arctan 2
，
故答案为 arctan 2
6．（4 分）设集合 { ||
x x
A
| 4}
，
B
{ |
x x
2
4
x
，则集合{ |x x A 且
3 0}
}
x A B
{ |1
x
x
3}
．
【解答】解：集合 { | 4
，集合 { |
x x
4}
B
A
x
x
或 1}
x ，
3
A B
{ | 4
x
x
1
或
3
x ，
4}
则集合{ |x x A 且
x A B
} { |1
x
x
3}
故答案为：{ |1
x
x ．
3}
7．（4 分） ABC
中，若 sin : sin : sin
A
B
C
2 : 3: 4
，则 cos2C
．
7
8
【解答】解： sin : sin : sin
A
B
C
2 : 3: 4
a
k ， 3
，不妨设 2
2
2
2
2
9
k
b
2 2
2
ab
k
k ， 4 (
k k
b
16
3
k
c
1
4
4
c
k
k
2
0)
由正弦定理可得： :
a b c
:
2 : 3: 4
根据余弦定理可得：
2
a
cos
C
cos 2
C
2cos
2
C
1
7
8
故答案为： 7
8
8．（4 分）若首项为 1a ，公比为 q 的等比数列{ }na 的前 n 项和总小于这个数列的各项和，则
首项 1a ，公比 q 的一组取值可以是 1(a ， )q
1(1,
2
)(
a
1
0,0
的一组数） ．
q
1
a
【解答】解：由题意知 1
n
)
(1
1
q
q
a
1
q
1
且|
q 对 n N 都成立，
| 1
a ， 0
0
1
1q
故答案是为 1(1,
2
)
答案不唯一 1(
a ， 0
0
1q 的一组数）
9．（4 分）某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成．现从中
随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 119
190
．（结果用
分数表示）
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生的所有事件是从 20 人中选 2 个人共有 2
20C 种结果，
而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家，
此两人属于同一个国家共有 2
C
11
2
C
4
，
2
C
5
由对立事件的概率公式得到
P
1
2
C
11
2
C
5
2
C
20
C
2
4
1
71
190
119
190
，
故答案为： 119
190
10．（4 分）方程 3
x
lgx
18
的根 x
2.6 ．（结果精确到 0.1)
【解答】解：先确定根的隔离区间：
lgx
18
3
．令 y
x
lgx ，
y
3
x 作图
根 0x 落在 区间 (2,3) 内．
用二分法求根 0x
( )
f x
3
x
lgx
18
；
f （2） 9.70
； f （3） 9.48
f
f
(2.5)
1.98 0
； (2.75) 3.24 0
f
(2.625)
0.51 0
； (2.5625)
f
0.76
结果保留到 0.1，则 0
x ．
2.6
故答案为 2.6．
11．（4 分）已知点
(0,
A
2
n
),
B
(0,
2
n
),
C
(4
2
n
,0)
，其中 n 的为正整数．设 nS 表示 ABC
外接
圆的面积，则 lim n
S
n
4 ．
【解答】解：由题意可知外接圆圆心在 X 轴上，可设为 ( ,0)
O a ，则 OA OC ，即 2
OA OC
2
2
)
(
2
a
2
n
4
解得 4
n
1
2
n
4
O 为 4
n
(
2
1
n
a
[
a
(4
2
n
2
)]
，
,0)
圆 O 的半径为
OA
4
2
n
4
n
2
n
4
1
4
2
4
n
n
(2
n n
1)
2
其外接圆的面积
S
n
[
4
2
n
2
2
n
4
n
n
2
2
]
[
4
lim
n
S
n
．
4
2
2
n
2
]
2
n
1
n
2
故答案是 4．
12．（4 分）给出问题： 1F 、 2F 是双曲线
2
x
16
2
y
20
1
的焦点，点 P 在双曲线上．若点 P 到焦
点 1F 的距离等于 9，求点 P 到焦点 2F 的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 8，
PF
由 1
||
|
|
PF
2
|| 8
，即
| 9 |
PF
2
|| 8
，得 2
PF 或 17．
| 1
|
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的
结果填在下面空格内
|
PF
| 17
2
．
PF
【解答】解：双曲线的实轴长为 8，由 1
||
|
|
PF
2
|| 8
，即
| 9 |
PF
2
|| 8
，得 2
PF 或 17．
| 1
|
依题意知 1
F F ，若 2
| 12
PF ，
| 1
|
|
2
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
