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2014年天津高考理科数学真题及答案.doc
2014 年天津高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1
至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考
生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案标号。
2 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：
•如果事件 A ， B 互斥，那么
•如果事件 A ， B 相互独立，那么
(
P A B
)
(
)
P A
(
P B
)
(
P AB
)
(
(
P A P B
)
)
.
•圆柱的体积公式V Sh
.
•圆锥的体积公式
V
1
3
Sh
.
其中 S 表示圆柱的底面面积，
h 表示圆柱的高.
其中 S 表示圆锥的底面面积，
h 表示圆锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）i 是虚数单位，复数
7
+
3
+
i
4
i
=
（
）
（A）1 i-
（B） 1
- +
i
（2）设变量 x ，y 满足约束条件
+
（C）
17
25
0,
2
x
2 0,
x
y
y
y
1
,
31
25
i
（D）
-
17
7
+
25
7
i
则目标函数
z
的最小值为（
2
y
x
）
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值为（
）
（A）15
（B）105
（C）245
（D）945
f x
（4）函数 ( )
=
log
2
(
x
1
2
- 的单调递增区间是（
4
)
）
（A）(
0,+ ¥
)
（B）(
- ¥
),0
（C）(
2,+ ¥
)
（D）(
- ¥ -
, 2
)
（5）已知双曲线
2
2
x
a
-
2
2
y
b
a
= (
1
>
0,
b
> 的一条渐近线平行于直线l ：
)
0
点在直线l 上，则双曲线的方程为（
）
（A）
2
x
5
2
y-
20
=
1
（B）
2
x
20
2
y-
5
=
1
（C）
2
3
x
25
-
2
3
y
100
=
1
（D）
2
3
x
100
-
2
3
y
25
=
1
D
的平分线交圆于点 D ，
（6）如图， ABC
BC 于点 E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F .在上述条件
是圆的内接三角形， BAC
Ð
y
=
2
x
+ ，双曲线的一个焦
10
交
下，
给出下列四个结论：① BD 平分 CBF
Ð
；② 2FB
= × ；
FD FA
③ AE CE
× = × ；④ AF BD AB BF
× = × .
BE DE
则所有正确结论的序号是（
）
（A）①②
（B）③④
（C）①②③
（D）①②④
（7）设 ,a b RÎ ，则|“ a
b> ”是“ a a
>
b b
”的（
）
（A）充要不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充要也不必要条件
BADÐ
=
120
，点 ,E F 分别在边 ,BC DC 上，BE
BCl=
，DF
DCm=
.
若
AE AF× =
（8）已知菱形 ABCD 的边长为 2，
2
3
5
6
CE CF× = -
2
3
（B）
（A）
（C）
，
1
1
2
第Ⅱ卷
，则l m+
= （
）
（D）
7
12
注意事项：
1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共 12 小题，共 110 分。
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.）
（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，
分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300
进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人
为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.
（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何
积为_______
3m .
（11）设{ }na 是首项为 1a ，公差为-1 的等差数列， nS 为其前 n 项
拟采用
的样本
数之比
体的体
和.若
S S S 成等比数列，则 1a 的值为__________.
1
2
4
,
,
（12）在 ABC
D
值为_______.
中，内角 ,
,A B C 所对的边分别是 ,
,a b c .已知
b
-
c
=
1
4
a
，2sin
B
=
3sin
C
，则 cos A 的
（13）在以O 为极点的极坐标系中，圆
r
=
4sin
角形，则 a 的值为___________.
q
和直线 sin
r q= 相交于 ,A B 两点.若 AOB
a
D
是等边三
f x
（14）已知函数 ( )
=
2
x
+
3
x
，x RÎ
f x
.若方程 ( )
-
a x
-
1
= 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的
0
取值范围为__________.
三、解答题（本题共 6 道大题，满分 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分 13 分）
已知函数
f x
cos
x
sin
x
3
3 cos
2
x
3
4
， x R .
（Ⅰ）求
f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求
f x 在闭区间
4 4
,
上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分 13 分）
某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学. 在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学
来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教
活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；
（Ⅱ）设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
（17）（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD
//AB DC ，
AD DC AP
-
=
中， PA ^ 底面 ABCD ，
=
= ，
2
AB = ，点 E 为棱 PC
1
AD AB^
，
的中点.
；
（Ⅰ）证明 BE DC^
（Ⅱ）求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF
求二面角 F
- 的余弦值.
AB P
AC^
，
-
（18）（本小题满分 13 分）
设椭圆
2
2
x
a
2
2
y
b
（
1
a
b ）的左、右焦点为 1
0
,F F ，右顶点为 A ，上顶点为 B .已知
2
AB
=
3
2
F F
1 2
.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 1F ，经过原点的直线l 与该圆相切. 求
直线的斜率.
（19）（本小题满分 14 分）
已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合
M =
,
0,1,2
q
{
-
,
1
}
，集合
A
=
{
x x
=
x
1
+
x q
2
+
+
x q
n
n
-
1
,
,
x M i
i
Î
=
1,2,
}
.
n
,
（Ⅰ）当
q = ，
2
n = 时，用列举法表示集合 A ；
3
（Ⅱ）设 ,s t AÎ ，
s
=
a
1
+
a q
2
+
+
1
n
a q -
n
，
t
=
b
1
+
b q
2
+
+
1
n
b q -
n
，其中
（20）（本小题满分 14 分）
f x
已知函数 ( )
=
x
-
x
ae
a RÎ ， x RÎ
(
)
.已知函数
y
=
（Ⅰ）求 a 的取值范围；
x
（Ⅱ）证明 2
x
1
随着 a 的减小而增大；
x
（Ⅲ）证明 1
x+ 随着 a 的减小而增大.
2
f x
( )
有两个零点 1
,x x ，且 1
x
2
x<
2
.
参考答案及解析
一、选择题
题号
答案
1
A
2
B
（1）i 是虚数单位，复数
3
B
7
+
3
+
i
4
i
4
D
5
A
6
D
7
C
8
C
=
（
）
+
31
25
i
（D）
-
17
7
+
25
7
i
17
25
-
25
25
i
（A）1 i-
（B） 1
- +
i
（C）
解：A
7
+
3
+
i
4
i
=
+
7
(
3
(
+
3
i
)(
-
3
4
i
)(
-
4
i
)
=
4
i
)
25
（2）设变量 x ， y 满足约束条件
0,
2
2 0,
x
x
y
y
y
1
,
1
= -
i
.
则目标函数
z
的最小值为（
x
2
y
）
（A）2
（B）3
（C）4
（D）5
解：B
作出可行域，如图
结合图象可知，当目标函数通过点( )1,1 时， z 取得最小值 3.
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值为（
）
（A）15
（B）105
（C）245
（D）945
解：B
1
i = 时，
7
T = ，
i = 时，
f x
（4）函数 ( )
=
3
T = ，
105
S =
(
2
log
x
i = 时，
105
S = ； 2
3
， 4
i = 输出
S =
)
4
- 的单调递增区间是（
3
.
T = ，
5
1
2
S = ；
15
）
（A）(
0,+ ¥
)
（B）(
- ¥
),0
（C）(
2,+ ¥
)
（D）(
- ¥ -
, 2
)
解：D
2
x -
4
> ，解得
0
x < - 或
2
x >
2
.由复合函数的单调性知 ( )f x 的
单调
递增区间为(
- ¥ -
, 2
)
.
（5）已知双曲线
2
2
x
a
-
2
2
y
b
a
= (
1
>
0,
b
> 的一条渐近线平行于直线l ：
)
0
y
=
2
x
+ ，双曲线的一个焦
10
点在直线l 上，则双曲线的方程为（
）
（A）
2
x
5
2
y-
20
=
1
（B）
2
x
20
2
y-
5
=
1
（C）
2
3
x
25
-
2
3
y
100
=
1
（D）
2
3
x
100
-
2
3
y
25
=
1
a
2
5
a
，所以 2
a = ， 2
b = ，双曲线的方
20
5
2
+
2
b
ìï =ïïï =í
b
c
ïïï
c
ïî
2
=
解：A
依题意得
程为
2
x
5
2
y-
20
1
= .
D
的平分线交圆于点 D ，
（6）如图， ABC
交 BC 于点 E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F .在上述条件
是圆的内接三角形， BAC
Ð
下，给出下列四个结论：① BD 平分 CBF
Ð
；② 2FB
= × ；
FD FA
③ AE CE
× = × ；④ AF BD AB BF
× = × .
BE DE
则所有正确结论的序号是（
）
（A）①②
（B）③④
（C）①②③
（D）①②④
解：D
由弦切角定理得 FBD
Ð
= Ð
EAC
= Ð
BAE
，又 BFD
Ð
= Ð
AFB
，所以 BFD
D
∽ AFB
D
，所
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