2019 年全国 I 卷高考理科数学真题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮
擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合
{
M x
4
x
}
2
N
,
{
x x
2
6 0
x
,则 M N =
A.
{
x
4
x
3
B.
{x
4
x
2
C.
{
x
2
x
2
D.
{ 2
x
x
3
2.设复数 z满足
z
=1i
,z在复平面内对应的点为(x,y),则
A.
(
x
+1
)
2
2
y
1
B.
(
x
1)
2
2
y
1
C.
2
x
(
y
2
1)
1
D.
2
x
( +1)
y
2
1
3.已知
a
log 0.2
b
,
2
2
0.2
c
,
0.2
0.3
,则
A. a b c
B. a
c b
C. c
a b
D.b c
a
4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1
2
( 5 1
≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽
2
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1
.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105cm,
2
头顶至脖子下端的长度为 26cm,则其身高可能是
A.165 cm
B.175 cm
C.185 cm
D.190cm
的图像大致为
]
,
5.函数 f(x)=
sin
x
cos
x
x
2
x
在[
A.
C.
B.
D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为
阳爻“——”和阴爻“——”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有 3 个阳爻的
概率是
B.
B.
11
32
| 2|
a
π
3
C.
21
32
D.
11
16
|
b ,且 (
)a b b,则 a与 b的夹角为
C.
2π
3
D.
5π
6
的程序框图,图中空白框中应填入
A.
5
16
7.已知非零向量 a,b满足|
A.
π
6
8.如图是求
2
1
1
12
2
A.A=
1
2 A
B.A=
2
1
A
C.A=
9.记 nS 为等差数列{ }na 的前 n项和.已知 4
S
0
,
a
5
1
1 2A
5
,则
D.A=
1
1
2A
A.
na
2
n
5
B.
na
3
n
10
C.
nS
22
n
8
n
D.
nS
21
n
2
2
n
F
10.已知椭圆 C的焦点为 1
(
1,0
F
), (
2
1,0
),过 F2 的直线与 C交于 A,B两点.若
|
AF
2
| 2 |
F B
2
|
,
|
AB
|
|
BF
1
|
,则 C的方程为
A.
2
x
2
2
y
1
B.
2
x
3
2
y
2
1
C.
2
x
4
2
y
3
1
D.
2
x
5
2
y
4
1
11.关于函数 ( )
f x
sin |
x
|
| sin
x
|
有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间(
, )单调递增
2
③f(x)在[
有 4 个零点
]
,
④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A.①②④
B.②④
C.①④
D.①③
12.已知三棱锥 P−ABC的四个顶点在球 O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为 2 的正三角形,E,F分别
是 PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球 O的体积为
A. 68
B. 64
C. 62
D. 6
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.曲线
y
23(
x
x
)e x
在点 (0 )0, 处的切线方程为____________.
14.记 Sn为等比数列{an}的前 n项和.若
a
1
1
3
,
a
2
4
a
6
,则 S5=____________.
15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前
期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜
的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________.
16.已知双曲线 C:
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线与 C的两条渐近线分
0)
别交于 A,B两点.若 1F A AB
F B F B
2
, 1
0
,则 C的离心率为____________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)
ABC△
的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,设
(sin
B
sin )
C
2
sin
2
A
sin sin
B
C
.
(1)求 A;
(2)若 2
18.(12 分)
a b
,求 sinC.
c
2
如图,直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是 BC,BB1,A1D
的中点.
(1)证明:MN∥平面 C1DE;
(2)求二面角 A−MA1−N的正弦值.
19.(12 分)
已知抛物线 C:y2=3x的焦点为 F,斜率为
(1)若|AF|+|BF|=4,求 l的方程;
(2)若
AP
3
PB
,求|AB|.
3
2
的直线 l与 C的交点为 A,B,与 x轴的交点为 P.
20.(12 分)
已知函数 ( )
f x
sin
x
ln(1
, ( )
f x 为 ( )
f x 的导数.证明:
x
)
(1) ( )
f x 在区间 ( 1,
2
)
存在唯一极大值点;
(2) ( )
f x 有且仅有 2 个零点.
21.(12 分)
为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案
如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以
乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠
多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,
若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得 1 分;若施以乙药的白鼠治愈
且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得 1 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分.甲、
乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为 X.
(1)求 X 的分布列;
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分, (
ip i 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认
0,1,
,8)
为甲药比乙药更有效”的概率,则 0
p , 8
p ,
0
1
p
i
ap
i
1
bp
i
cp
i
1
(
i ,其中
1,2,
,7)
a P X
(
,
1)
b P X
(
,
0)
c P X
(
.假设
1)
0.5 ,
0.8 .
(i)证明: 1
p
i
{
p
i
}
(
i
0,1,2,
为等比数列;
,7)
(ii)求 4p ,并根据 4p 的值解释这种试验方案的合理性.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为
,
(t为参数).以坐标原点 O为极点,x轴的
x
y
1
1
1
2
2
2
t
t
4
t
t
正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 2 cos
3 sin
11 0
.
(1)求 C和 l的直角坐标方程;
(2)求 C上的点到 l距离的最小值.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知 a,b,c为正数,且满足 abc=1.证明:
2
a
2
b
2
;
c
1
1
a
b
(
a b
3
)
(1)
(2)
1
c
(
b c
)
3
(
c a
)
3
24
.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题
理科数学•参考答案
1.C
2.C
3.B
4.B
5.D
6.A
7.B
8.A
9.A
10.B
11.C
12.D
二、填空题
13.y=3x
三、解答题
14.
121
3
15.0.18
16.2
17.解:(1)由已知得 2
sin
B
sin
2
C
sin
2
A
sin sin
B C
,故由正弦定理得 2
b
2
c
2
a
.
bc
由余弦定理得
cos
A
2
b
2
a
2
c
2
bc
.
1
2
因为 0
A
180
,所以
A
.
60
(2)由(1)知 120
B
C
,由题设及正弦定理得
2 sin
A
sin 120
C
2sin
C
,
即
6
2
3
2
cos
C
1
2
sin
C
2sin
C
,可得
cos
C
60
2
2
.
由于 0
C
120
,所以
sin
C
60
2
2
,故
sin
C
sin
C
sin
C
60
60
60 cos60
cos
C
60 sin 60
6
4
2
.
18.解:(1)连结B1C,ME.
因为M,E分别为BB1,BC的中点,
所以ME∥B1C,且ME=
1
2
B1C.
又因为N为A1D的中点,所以ND=
1
2
A1D.
由题设知A1B1 DC,可得B1CA1D,故MEND,
因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.
又MN 平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.
(2)由已知可得DE⊥DA.
以D为坐标原点, DA
的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz,则
, A1(2 , 0 , 4) , (1, 3,2)
M
, (1,0,2)
N
A A
, 1
(0,0, 4)
A M
, 1
( 1, 3, 2)
,
(2,0,0)
A
A N
1
( 1,0, 2)
MN
,
(0,
3,0)
.
设
m
( ,
, )
x y z
为平面A1MA的法向量,则
A M
1
A A
1
0
0
m
m
,
所以
z
x
4
3
y
0
.
2
z
0
,
可取
m
( 3,1,0)
.
设 ( ,
n
, )
p q r
为平面A1MN的法向量,则
所以
3
q
2
r
p
0
,
可取 (2,0, 1)
0
.
n
.
MN
A N
1
n
n
0
,
0
.
于是
cos
m n
,
m n
m n
‖
|
|
2 3
2
5
15
5
,
所以二面角
A MA N
1
的正弦值为 10
5
.
19.解:设直线
:
l y
3
2
,
x t A x y B x y
2
,
,
1
1
2
,
.
(1)由题设得
F
3 ,0
4
,故
|
AF
|
|
BF
|
x
1
x
2
x
,由题设可得 1
3
2
x
2
.
5
2
由
x t
3
y
2
3
y
2
x
,可得 2
x
9
12(
t
1)
x
4
t
2
x
,则 1
0
x
2
1)
12(
t
9
.
从而
1)
12(
t
9
,得
5
2
t .
7
8
所以l 的方程为
y
x
3
2
.
7
8
(2)由
AP
PB
3
y
可得 1
.
23
y
由
x t
3
y
2
3
y
2
x
,可得 2 2
y
y
2
t
.
0
y
所以 1
y
2
y
.从而 2
2
3
y
2
y
,故 2
2
11,
y
.
3
x
代入C 的方程得 1
3,
x
2
.
1
3
故
|
|
AB
4 13
3
.
20.解:(1)设 ( )
g x
( )
f ' x
,则
( )
g x
cos
x
1
1
x
,
'
g x
(
)
sin
x
1
x
2
)
(1
.
1,
2
时, ( )
g' x 单调递减,而 (0) 0,
g'
g'
(
2
,可得 ( )
) 0
g' x 在 1,
2
有唯一零点,
x
当
设为.
则当 ( 1,
)
x
时, ( ) 0
g' x ;当
x
,
2
时, ( ) 0
g' x .
所以 ( )g x 在 ( 1,
)
单调递增,在 ,
2
单调递减,故 ( )g x 在 1,
2
存在唯一极大值点,即 ( )
f ' x
在 1,
2
存在唯一极大值点.
(2) ( )
f x 的定义域为 ( 1,
)
.