第1页 / 共8页
第2页 / 共8页
第3页 / 共8页
第4页 / 共8页
第5页 / 共8页
第6页 / 共8页
第7页 / 共8页
第8页 / 共8页
非线性方程求根 python.doc
华北科技学院
实 验 报 告
课程名称
数值计算
学生所在院部
理学院
学生姓名 陈硕
学号 201809014223
任课教师
郑 宇
理学院制
一、 实验目的
华北科技学院实验报告
1. 通过计算结果分析迭代函数对收敛性的影响；
2. 通过计算结果分析初值的选择对收敛性的影响；
3. 通过计算结果比较几种经典算法的收敛速度。
二、 实验题目
非线性方程求根实验
1. 迭代函数对收敛性的影响：
实验题目：用简单迭代法求方程
3)(f
x
3
x
4
x
01
方案一 化方程为简单不动点方程
取初值 x0=0.5,迭代 8 次。
方案二 化方程为等价方程
x
43
1
x
3
)(
x
x
1
3 3
x
4
)(
x
取初值 x0=0.5，迭代 8 次，观察其计算结果并加以分析。
2. 初值的选择对收敛性的影响：
实验题目：用牛顿法求方程
)(
xf
3
x
01
x
在 x=0.5 附近的根
方案一 使用牛顿法并取初值 x0=0.5，由
x
k
1
x
k
(
xf
k
('
f
x
k
)
)
得
x
k
1
x
k
1
x
3
k
3
x
x
k
2
k
1
2
3
x
x
3
k
2
k
1
1
迭代 6 次。
方案二 取初值 x0=0.0，使用同样的公式
x
k
1
x
k
1
x
3
k
3
x
x
k
2
k
1
2
3
x
x
3
k
2
k
1
1
迭代 6 次，观察并比较计算结果，分析原因。
第 1 页
3. 几种经典算法的比较
华北科技学院实验报告
实验题目：求方程
)(
xf
3
x
cos
x
5
x
01
的全部根
方案一 用牛顿方程求解：
x
k
1
x
k
(
xf
k
('
f
x
k
)
)
x
k
x
3
k
cos
2
3
x
k
x
k
sin
x
5
k
x
k
5
1
；
方案二 用简单迭代法求解：
x
k
1
3
cos
x
k
5
x
k
1
；
方案三 用埃特金迭代加速法求解：
z
k
(
(
),
x
y
k
k
x
k
1
y
x
y
k
2
y
k
)
k
k
)
2
x
k
,
k
...1,0
x
k
z
k
其中，
)(
x
3
cos
x
5
x
1
取相同的迭代初始值，比较各方法的收敛速度
三、 实验原理
不动点迭代法基本原理：通过某种等价变换，可将非线性方程 f(x)=0 改写成 x=
)x
其中， )(x 为连续函数。给定初始值 x0 后，课构造迭代计算公式
(
x
k
1
x
k
)
(k=0,1,2,...)
从而得到近似解序列{ kx }。
牛顿迭代法基本原理：从几何角度看，就是讲切线与横轴交点处的 x 值作为下一步
近似解。采用点斜式公式，切线方程为
解方程 P(x)=0，得到牛顿迭代法的迭代计算公式：
)(
xP
(
xf
k
)
(
x
x
k
)
f
('
x
k
)
x
k
1
x
k
(
xf
k
('
f
x
k
)
)
迭代收敛速度：达到特定的准确度需要多少步迭代，也就是需要多少计算量
第 2 页
四、 实验内容
华北科技学院实验报告
1. 迭代函数对收敛性的影响：
以不同的方式得到方程的等价形式，选择同一初值 x0=0.5 代入迭代方程，比
较计算结果，研究响应的不动点迭代法的收敛情况。
2. 初值的选择对收敛性的影响：
选择不同的初值 x0=0.5,x0=0.0 代入牛顿迭代方程，比较计算结果，研究初值
的选择是否会对收敛性造成影响
3. 几种经典算法的比较：
选择同以初值 x0=2.0，分别代入牛顿法迭代方程、简单迭代方程和埃特金收
敛加速法迭代方程，观察计算结果，比较不同算法的收敛速度
五、 实验结果和分析：
1. 迭代函数对收敛性的影响：
将原方程改为等价的方案一、方案二两种形式，得到下属两种不动点迭代法。
方案一 化方程为简单不动点方程
x
3
取初值 x0=0.5,迭代 8 次，计算出的结果如下：
43
x
1
迭代次数 1
Xk
0.6934
2
0.8393
3
0.9227
)(
x
5
0.9839
6
0.9928
7
0.9967
8
0.9985
4
0.9644
从上述计算结果看，序列{ kx }有趋于无穷大的趋势，爹大幅不收敛，无法求出近似
解。
方案二 化方程为等价方程
x
1
3 3
x
4
)(
x
迭代次数 1
Xk
取初值 x0=0.5，迭代 8 次，计算出的结果如下：
5
0.2638
8
0.2638
从上述计算结果看，x7 和 x8 前 5 位有效数字均为 0.2638，可认为迭代过程是收敛
的，要求的根为 0.2638
2
0.2805
3
0.2665
4
0.2642
6
0.2637
7
0.2638
0.3437
方案一、方案二计算结果对比可以看出，用不同的方式改造原方程，可得到多种不
动点迭代法计算过程，其收敛性质也不同。
2.初值的选择对收敛性的影响：
方案一 使用牛顿法并取初值 x0=0.5，由
x
k
1
x
k
(
xf
k
('
f
x
k
)
)
第 3 页
得
华北科技学院实验报告
x
k
1
x
k
1
x
3
k
3
x
x
k
2
k
1
2
3
x
x
3
k
2
k
1
1
迭代 6 次，计算结果如下：
迭代次数 1
Xk
2
0.6832
0.7143
3
0.6823
4
0.6823
5
0.6823
6
0.6823
从上述计算结果看出，x3、x4、x5、x6 前 5 位有效数字均为 0.6823，可认为迭
代过程是收敛的，要求的根为 0.6823
方案二 取初值 x0=0.0，使用同样的公式
x
k
1
x
k
1
x
3
k
3
x
x
k
2
k
1
2
3
x
x
3
k
2
k
1
1
迭代 6 次，计算结果如下：
迭代次数 1
Xk
1.0
2
0.75
3
0.6860
4
0.6823
5
0.6823
6
0.6823
从上述计算结果看出，x4、x5、x6 前 5 位有效数字均为 0.6823，可认为迭代过
程是收敛的，要求的根为 0.6823。
方案一、方案二计算结果对比可以得出，选择不同的初值会对迭代收敛的速度有所
影响，但不影响收敛的性质。
3.几种经典算法的比较
方案一 用牛顿方程求解：
x
k
1
x
k
(
xf
k
('
f
x
k
)
)
x
k
x
3
k
cos
2
3
x
k
x
k
sin
x
5
k
x
k
5
1
；
迭代 8 次，计算结果如下：
迭代次数 1
Xk
2.3267
2
2.2725
3
2.2708
4
2.2708
5
2.2708
6
2.2708
7
2.2708
8
2.2708
从表中数据可以看出，到第四步迭代，解的前 5 位有效数字已经不变化了，迭代过
程收敛的较快
方案二 用简单迭代法求解：
x
k
1
3
cos
x
k
5
x
k
1
；
迭代 8 次，计算结果如下：
迭代次数 1
Xk
2.1956
2
2.2501
3
2.2651
4
2.2692
5
2.2704
6
2.2708
7
2.2708
8
2.2708
从表内数据可以看出，到第七步迭代时，解的前 5 位有效数字已经不变化了，迭代
过程收敛的较慢
方案三 用埃特金迭代加速法求解：
第 4 页
y
k
华北科技学院实验报告
)
(
2
),
x
k
x
k
1
x
k
z
k
(
z
k
y
x
y
k
2
y
k
)
k
k
x
k
,
k
...1,0
迭代 3 次，计算结果如下：
其中，
)(
x
3
cos
x
5
x
1
迭代次数
1
2
3
Xk
2.2713
2.2708
2.2708
从表内数据可以看出，到第三步迭代时，解的前 5 位有效数字已经不变化了，迭代
过程收敛的很快
方案一、方案二、方案三计算结果对比可以得出，选择初值相同时，埃特金迭代加
速法收敛速度最快，牛顿迭代法收敛速度较快，简单迭代法收敛速度最慢。
六、 附录
代码及运行结果：
#1.方案一
x = 0.5
for i in range(8):
x = pow((4*x-1)/3.0,1/3)
print('第'+str(i+1)+'次的迭代结果为'+str(x))
#输出：
# 第 1 次的迭代结果为 0.6933612743506347
# 第 2 次的迭代结果为 0.839264457114505
# 第 3 次的迭代结果为 0.9227477487920787
# 第 4 次的迭代结果为 0.9644143487133259
# 第 5 次的迭代结果为 0.9839272042752456
# 第 6 次的迭代结果为 0.9928048897851239
# 第 7 次的迭代结果为 0.9967918922886454
# 第 8 次的迭代结果为 0.9985721365267841
1.方案二
x = 0.5
for i in range(8):
x = (3.0*x**3+1.0)/4.0
print('第'+str(i+1)+'次的迭代结果为'+str(x))
# #输出：
第 5 页
华北科技学院实验报告
# 第 1 次的迭代结果为 0.34375
# 第 2 次的迭代结果为 0.28046417236328125
# 第 3 次的迭代结果为 0.26654601581715853
# 第 4 次的迭代结果为 0.2642029268189602
# 第 5 次的迭代结果为 0.2638316546388099
# 第 6 次的迭代结果为 0.2637734255843168
# 第 7 次的迭代结果为 0.2637643079912704
# 第 8 次的迭代结果为 0.26376288070926884
#2.方案一
x = 0.5
for i in range(6):
x =(2.0*x**3+1.0)/(3.0*x**2+1.0)
print('第'+str(i+1)+'次的迭代结果为'+str(x))
# #输出：
# 第 1 次的迭代结果为 0.7142857142857143
# 第 2 次的迭代结果为 0.6831797235023042
# 第 3 次的迭代结果为 0.6823284233045783
# 第 4 次的迭代结果为 0.682327803828347
# 第 5 次的迭代结果为 0.6823278038280193
# 第 6 次的迭代结果为 0.6823278038280194
#2.方案二
x = 0.0
for i in range(6):
x =(2.0*x**3+1.0)/(3.0*x**2+1.0)
print('第'+str(i+1)+'次的迭代结果为'+str(x))
# #输出：
# 第 1 次的迭代结果为 1.0
# 第 2 次的迭代结果为 0.75
# 第 3 次的迭代结果为 0.686046511627907
# 第 4 次的迭代结果为 0.6823395825973143
# 第 5 次的迭代结果为 0.6823278039465127
# 第 6 次的迭代结果为 0.6823278038280193
#3.方案一
import math
x=2.0
for i in range(8):
x = x - (x**3-math.cos(x)-5.0*x-1.0)/(3.0*x**2+math.sin(x)-5.0)
print('第' + str(i + 1) + '次的迭代结果为' + str(x))
# #输出：
# 第 1 次的迭代结果为 2.3266855479083763
# 第 2 次的迭代结果为 2.272546398909606
# 第 3 次的迭代结果为 2.270830646264361
# 第 4 次的迭代结果为 2.270828944840953
第 6 页
华北科技学院实验报告
# 第 5 次的迭代结果为 2.270828944839281
# 第 6 次的迭代结果为 2.2708289448392804
# 第 7 次的迭代结果为 2.2708289448392804
# 第 8 次的迭代结果为 2.2708289448392804
#3.方案二
import math
x=2.0
for i in range(8):
x = math.pow((math.cos(x)+5.0*x+1.0),1/3)
print('第' + str(i + 1) + '次的迭代结果为' + str(x))
# 输出：
# 第 1 次的迭代结果为 2.195573272531163
# 第 2 次的迭代结果为 2.2501530755476673
# 第 3 次的迭代结果为 2.2651632710880665
# 第 4 次的迭代结果为 2.269277475483024
# 第 5 次的迭代结果为 2.2704041738207237
# 第 6 次的迭代结果为 2.270712654203415
# 第 7 次的迭代结果为 2.2707971080950586
# 第 8 次的迭代结果为 2.2708202289657673
#3.方案三
import math
def fun(x):
f = math.pow((math.cos(x)+5.0*x+1.0),1/3)
return f
x=2.0
y=fun(x)
z=fun(y)
for i in range(8):
x = x-(y-x)**2/(z-2.0*y+x)
y=fun(x)
z=fun(y)
print('第' + str(i + 1) + '次的迭代结果为' + str(x))
# 输出：
# 第 1 次的迭代结果为 2.271281393813576
# 第 2 次的迭代结果为 2.2708289457789386
# 第 3 次的迭代结果为 2.2708289448392804
第 7 页
相关推荐
2023年江西萍乡中考道德与法治真题及答案.doc
2012年重庆南川中考生物真题及答案.doc
2013年江西师范大学地理学综合及文艺理论基础考研真题.doc
2020年四川甘孜小升初语文真题及答案I卷.doc
2020年注册岩土工程师专业基础考试真题及答案.doc
2023-2024学年福建省厦门市九年级上学期数学月考试题及答案.doc
2021-2022学年辽宁省沈阳市大东区九年级上学期语文期末试题及答案.doc
2022-2023学年北京东城区初三第一学期物理期末试卷及答案.doc
2018上半年江西教师资格初中地理学科知识与教学能力真题及答案.doc
2012年河北国家公务员申论考试真题及答案-省级.doc
2020-2021学年江苏省扬州市江都区邵樊片九年级上学期数学第一次质量检测试题及答案.doc
2022下半年黑龙江教师资格证中学综合素质真题及答案.doc
