实验七连续系统的复频域分析.doc-资料库

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实验七连续系统的复频域分析一、实验目的： 1、了解连续系统的复频域分析的基本实现方法； 2、掌握相关函数调用格式及实现功能。 3、掌握用 MATLAB 绘制连续系统零极点图与拉普拉斯变换曲面图 4、掌握用 MATLAB 实现连续系统的频率特性及其幅度特性、相位特性。二、实验仪器计算机 MATLAB 软件三、实验原理： 1、系统仿真方法: 根据模型的种类不同分为：（1）数学仿真－用计算机软件摸拟各种实际系统的数学模型（软件仿真）。（2）物理仿真－用实物模型来摸拟各种实际系统（硬件仿真）。（3）数学--物理仿真—两种的结合时域模型系统的数学模型复域模型微分方程状态空间表达式传递函数结构图频域模型频率特性图系统仿真分析与设计方法：时域法和频域法（1）时域法：是以状态方程为基础对系统进行分析设计。系统特性分析包括：李亚谱诺夫（Lyapunov）稳定性分析，能控能观性分析等。（2）频域法：主要是借助于传递函数，通过劳斯（Routh）定理、奈氏图（Nyquist）、伯德图（Bode）、尼克尔斯图（Nichols）、根轨迹等概念和方法分析第 1页

系统的各种特性。如稳定性、动态特性、稳态误差等。 2、实验涉及的 MATLAB 函数 (1) laplace 函数功能：用符号推理求解拉氏变换。调用格式：L= laplace（F） F 为函数，默认为变量 t 的函数，返回 L 为 s 的函数时，要用 syms 命令定义符号变量 t。 (2) ilaplace 函数功能：用符号推理求解反拉氏变换。调用格式：L= ilaplace（F） F 为函数，默认为变量 t 的函数，返回 L 为 s 的函数时，要用 syms 命令定义符号变量 t。 (3) roots（）函数功能：求多项式的根调用格式： r=roots（C）：其中 C 为多项式的系数向量（从高次到低次）， r 为根向量。因此可用直接求根来判断系统稳定性。 (4) rlocus 函数功能：求系统的根轨迹调用格式：rlocus（sys）绘制系统的根轨迹； rlocus（sys，K）绘制增益为 K 的闭环极点； rlocus（sys1，sys2，…）在同一复平面绘制多个系统的根轨迹，为区分各个系统的不同根轨迹，可用不同的颜色来显示，如 rlocus（sys1，‘r’，sys2，‘y’…）； (5) step 函数功能：绘制系统的阶跃曲线。调用格式： step(num，den，t) ，其 num，den 分别为传递函数的分子、分母的多项式。t 为仿真时间。（6）impulse 函数功能：绘制系统的冲激响应曲线。调用格式：impulse(num，den，t) （7）lsim 函数功能：绘制系统的任意响应曲线。第 2页

调用格式：lsim(num， den， u，t）， u 为任意输入信号。（8）gensing（）函数功能：用来产生一些信号。调用格式：[u，t]= gensing（type，tau，Tf，Ts）。Type 为产生信号的类型（’sin’正弦波、’square’为方波、’pulse’为脉冲序列）。Tau 为信号周期，Tf 信号持续时间，Ts 采样周期。u 为所产生的信号。 gensing（）函数和 lsim(）联合起来使用。四、实验内容经典的拉普拉斯变换分析方法即先从时域变换到复频域，在复频域经过处理后再利用拉普拉斯反变换从复频域变换到时域，完成对时间问题的求解，涉及的函数有 laplace 函数和 ilaplace 函数等 1、求解时域信号对应的拉普拉斯变换、已知象函数求拉普拉斯反变换例 1、求信号 e-3t sin2tu(t)拉氏变换 MATLAB 程序： >> clear; >> syms t s >> f=exp(-3*t)*sin(2*t); >> F=laplace(f) 运行结果： s 3 s 2  ， 3 s   3 2  s 求原函数 f(t)  )( sF F = 1/2/(1/4*(s+3)^2+1) 例 2、已知象函数 MATLAB 程序： clear; syms s t F=(s-2)/(s^4+ 3*s^3+3* s^2+s) f_t=ilaplace(F) 4 s 运行结果： f_t=-2+3/2*t^2*exp(-t)+2*t*exp(-t)+2*exp(-t) 第 3页

2、利用拉普拉斯变换求解系统全响应例 3、已知 )( te  )(3 tu ， )( sH  )( sR )( sE  s 5 s  6 2 s  ,初始状态 y(0)=1 y’(0)=1; 求系统零状态响应 )(t rzs 。 %% 零输入响应 num=[1 0 ]; den=[1 5 6 ]; sys=tf(num,den); t=0:0.01:3; sys1=ss(sys); y=[1 1 ]; u=zeros(1,length(t)); rzi=lsim(sys1,u,t,y);% subplot(311); plot(t,rzi); title('零输入响应 yzi(t)'); ylabel('rzi(t)') %% 零状态响应 syms s f f=ilaplace(3/((s+2)*(s+3)));t=0:0.01:3; rzs=3*exp(-2*t)-3*exp(-3*t); subplot(312); plot(t,rzs) title('零状态响应'); ylabel('rzs(t)') %% 全响应=零状态响应+零输入响应 r=rzi+rzs'; subplot(313); plot(t,r); 第 4页

 t  ,0 y _)0(  ,1 y _)0('  ,2 2 2  e2)(2)( ty ty   d d t d3)( ty d t title('全响应'); ylabel('r(t)');xlabel('时间（秒）');ylabel('r(t)') 例 4、已知求解 y(t) MATLAB 程序参考： clear; b=［1］;a=［1 3 2］; ［A B C D］=tf2ss(b,a); sys=ss(A,B,C,D); t=0:0.01:10; f=-2*exp(-t); zi=［2 1］; y=lsim(sys,f,t,zi); plot(t,y);grid; xlabel(′时间(t)′); ylabel(′y(t)′); title(′系统的全响应′); 运行结果： 3、使用部分分式法求解拉普拉斯反变换使用部分分式法求解拉普拉斯反变换，方法简单，易于实现，但是对于分母第 5页

多项式复杂难于分解的、或者分解后有多重极点的，手动计算的运算量就很大了，这里介绍使用 matlab 方便实现部分分式的分解，进而易于就拉斯反变换。例 5、已知象函数 )( sF  3 s  s 5 s 2  2  3 s 9 s  2  7 分析：关键是使用部分分式法裂项分开求 F(s)使用部分分式展开的表示形式 Matlab 语句： b=［0 0 0 1 -2］; a=［1 3 3 1 0］; %分母系数［r,p,k］=residue(b,a) %留数运算，其中 r 是系数， p 是极点， k 是直接项 %分子系数运行实验结果： r = p = k = 2.0000 2.0000 3.0000 -2.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 0 [ ] 因此 )( sF  3 )1  3 2 )1  2  ( s ( s  2  1 s  2 s 例 6、已知象函数 9 s  2  分析：关键是使用部分分式法裂项分开 5 s 2  2  3 s  s 3 s )( sF  7 ,求原函数 f(t) Matlab 语句： b=［1 5 9 7］; a=［0 1 3 2］; ［r,p,k］=residue(b,a) %留数运算，其中 r 是系数， p 是极点， k 是直接项 %分子系数 %分母系数运行结果： r = -1 2 第 6页

p = k = -2 -1 1 2 因此用部分分式法裂项后的表示形式为： )( sF  2 s 2  1 s  1  2  s 4、利用 MATLAB 绘制系统传递函数 H(s)的零极点图（1）传递函数：用多项式形式表示的开环传递函数， )( sG  num den )( s )( s  m n sb 1 sa 1   sb 2 sa 2 m 1  n 1        b m a n 1  1  在 Matlab 中函数 tf（）可用来建立传递函数模型，其调用格式为：G（S）=tf（num，den）。（2）用多项式形式表示的闭环传递函数：  )( s  )( sG )( sG  1  m sb 1  sb 2 m 1  sb 1   m   sb 2 b m 1  m 1     n sa 1   b 1 m  n sa 2 1     a n 1  （3）用零极点增益形式表示的开环传递函数 )( sG  ( sk ( s   z 1 p 1 )( )( s s   z 2 p 2 ( ) s  ) ( s    z m p n ) ) 在 Matlab 中函数 zpk（）可用来建立传递函数零、极、增益模型，其调用格式为： G（S）=zpk（z，p，k）。例 7、已知某系统的传递函数 )( sH  )( sR )( sE  2 s  2 11 s 4 8 s  11 s   10 3 s  ，绘制零极点图 MATLAB 参考程序： %传递函数分子多项式系数行向量 num=[1,4,8] den=[1,11,11,10] %传递函数分母多项式系数行向量 G=tf(num,den) [z,p,k]=tf2zp(num,den) %提取传递函数的零极点和增益 pzmap(G) grid on %绘制其零极点图 %打开绘图网格 %建立传递函数模型第 7页

运行结果：零极点图 5、用 MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图从三维几何空间的角度来看， )(sF 和 )(s 对应着复平面的两个曲面，如果我们能绘出它们的三维曲面图，我们就可以直观的分析连续信号的拉普拉斯变换 F（s）随复变量 s 的变化。上述过程我们可以利用 MATLAB 的三维绘图功能来实现。现在考虑如何用 MATLAB 来绘制 s 平面的有限区域上连续时间信号 f（t）的拉普拉斯变换 F(s) 的曲面图，我么以单位阶跃信号 u（t）为例来说明实现过程。我们知道，对单位阶跃信号 f（t）= u（t），其拉普拉斯变换为 )(  。首先，我们用两个向量来确定绘制曲面图的 s 平面的横、纵坐标的范围。然后再调用 meshgrid()函数来产生矩阵 S，并用矩阵来表示绘制曲面图的附 sF 1 s 平面区域，对应的 MATLAB 命令如下： [x,y]=meshgrid(x1,y1) S=x+i*y 上述命令产生的矩阵 S 包含了复平面  2.0    2.0  、 2.0  j   2.0 范围以内间隔 0.03 取样的所有样点。最后我们在计算出信号拉普拉斯变换在复平面上的这些样点上的值，即可用函数 mesh（）来绘出其曲面图。例 8、已知连续时间信号 f(t)=sin(t)u(t),求出该信号的拉普拉斯变换，并用 MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图第 8页

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