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2019年山东高考文科数学真题及答案.doc
2019 年山东高考文科数学真题及答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
3 i
1 2i
1．设
z
，则 z =
A．2
B． 3
C． 2
D．1
2．已知集合
U
1,2,3,4,5,6,7
A
，
2,3,4,5
B
，
2,3,6,7
，则
A．
1,6
B．
1,7
C．
6,7
D．
1,6,7
3．已知
a
log 0.2,
2
b
0.2
2 ,
c
0.2
0.3
，则
A． a
b
c
B． a
c
b
C． c
a
b
D． b
c
a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1
2
（ 5 1
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽
2
喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，
2
头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190cm
5．函数 f(x)=
sin
cos
x
x
x
2
x
在[-π，π]的图像大致为
A．
C．
B．
D．
6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽
样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
7．tan255°=
A．-2- 3
B．-2+ 3
C．2- 3
D．2+ 3
8．已知非零向量 a，b满足 a =2 b ，且（a-b） b，则 a与 b的夹角为
B．
π
3
C．
2π
3
D．
5π
6
的程序框图，图中空白框中应填入
A．
π
6
9．如图是求
2
1
1
12
2
A．A=
1
2 A
B．A=
2
1
A
C．A=
1
1 2A
D．A=
1
1
2A
10．双曲线 C：
2
2
x
a
2
2
y
b
1(
a
0,
b
的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C的离心率为
0)
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
1
sin50
D．
1
cos50
11．△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 asinA-bsinB=4csinC，cosA=-
1
4
，则
b
c
=
A．6
B．5
C．4
D．3
F
12． 已 知 椭 圆 C的 焦 点 为 1
( 1,0),
F
2
(1,0)
， 过 F2 的 直 线 与 C交 于 A，B两 点 . 若
|
AF
2
| 2 |
F B
2
|
，
|
AB
|
|
BF
1
|
，则 C的方程为
A．
2
x
2
2
y
1
B．
2
x
3
2
y
2
1
C．
2
x
4
2
y
3
1
D．
2
x
5
2
y
4
1
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线
y
2
3(
x
x
)
ex
在点 (0,0) 处的切线方程为___________．
a
14．记 Sn为等比数列{an}的前 n项和.若 1
1
，
S
3
3
4
，则 S4=___________．
15．函数
( )
f x
sin(2
x
3π
2
) 3cos
x
的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面 ABC外一点，PC=2，点 P到∠ACB两边 AC，BC的距离均为 3 ，那么 P到平
面 ABC的距离为___________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17．（12 分）
某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意
或不满意的评价，得到下面列联表：
男顾客
女顾客
满意
40
30
不满意
10
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
)
(
n ad bc
)(
2
)(
a b c d a c b d
)(
．
)
P（K2≥k） 0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附：
2
K
(
18．（12 分）
记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，已知 S9=-a5．
（1）若 a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若 a1>0，求使得 Sn≥an的 n的取值范围．
19．（12 分）
如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是 BC，BB1，A1D
的中点.
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求点 C到平面 C1DE的距离．
20．（12 分）
已知函数 f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）为 f（x）的导数．
（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a的取值范围．
21.（12 分）
已知点 A，B关于坐标原点 O对称，│AB│=4，⊙M过点 A，B且与直线 x+2=0 相切．
（1）若 A在直线 x+y=0 上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点 P，使得当 A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为
，
（t为参数），以坐标原点 O为极点，x轴的正
x
y
1
1
1
2
2
2
t
t
4
t
t
半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 2 cos
3 sin
11 0
．
（1）求 C和 l的直角坐标方程；
（2）求 C上的点到 l距离的最小值．
23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1．证明：
（1）
（2）
1
1
a
b
(
a b
1
c
2
a
2
b
2
；
c
3
)
(
b c
)
3
(
c a
)
3
24
．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
3．B
9．A
4．B
5．D
6．C
10．D
11．A
12．B
15．−4
16． 2
一、选择题
1．C
7．D
2．C
8．B
二、填空题
13．y=3x
14．
5
8
三、解答题
17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为
40
50
，因此男顾客对该商场服务满意的概
0.8
率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为
30
50
，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
0.6
（2）
2
K
100 (40 20 30 10)
50 50 70 30
2
4.762
．
由于 4.762 3.841
，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18．解：
（1）设 na 的公差为d．
S
由 9
a 得 1 4
d
a
5
．
0
由a3=4得 1 2
d
a
．
4
a
于是 1
8,
d
．
2
因此 na 的通项公式为
na
10 2
．
n
a
（2）由（1）得 1
，故
4
d
a
(
n
5) ,
d S
n
n
9)
d
.
(
n n
2
由 1
a 知 0
d ，故 n
S
0
n
a
等价于 2 11
n
n
10 0
，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是{ |1
n
n
10,
n N
}
．
19．解：
（1）连结 1
,B C ME .因为M，E分别为 1,BB BC 的中点，所以
ME
B C∥ ，且
1
ME
1
2
B C
1
.又因为N
为 1A D 的中点，所以
ND
.
A D
1
1
2
=B C
由题设知 1 1=A B
DC∥
，可得 1
A D∥
1
，故 =ME
ND∥
，因此四边形MNDE为平行四边形，MN ED∥ .
又 MN 平面 1C DE ，所以MN∥平面 1C DE .
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得 DE BC
，
DE C C
1
，所以DE⊥平面 1C CE ，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面 1C DE ，故CH的长即为C到平面 1C DE 的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以 1
C E
17
，故
CH
4 17
17
.
从而点C到平面 1C DE 的距离为
4 17
17
.
20．解：
（1）设 ( )
g x
f x
( )
，则 ( )
g x
cos
x
x
sin
x
1,
( )
g x
x
cos
x
.
时， ( ) 0
g x
；当
x
π , π
2
时， ( ) 0
g x
，所以 ( )g x 在
π(0,
2
)
单调递增，在
π , π
2
单
当
x
π(0,
2
)
调递减.
又
g
(0) 0,
g
π
2
0,
g
(π)
2
，故 ( )g x 在 (0, π) 存在唯一零点.
所以 ( )
f x 在 (0, π) 存在唯一零点.
（2）由题设知 (π)
f
a
π,
f
(π) 0
，可得a≤0.
由（1）知， ( )
f x 在 (0, π) 只有一个零点，设为 0x ，且当
00,
x
x
f x
( ) 0
，所以 ( )
f x 在
00, x 单调递增，在
0, πx
单调递减.
时， ( ) 0
f x
；当
x
x
0, π
时，
又 (0) 0,
f
f
(π) 0
，所以，当 [0, π]
x
时， ( ) 0
f x
.
又当 0,
a
x
[0, π]
时，ax≤0，故 ( )
f x
ax
.
因此，a的取值范围是 (
,0]
.
21．解：（1）因为 M 过点 ,A B ，所以圆心 M在 AB的垂直平分线上.由已知 A在直线 + =0
x y 上，且 ,A B 关
于坐标原点 O对称，所以 M在直线 y
x 上，故可设 ( , )
M a a .
因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为 |
a
r
2 |
.
由已知得|
AO ，又 MO AO
|=2
，故可得 2
a
2
4 (
a
2
，解得 =0a 或 =4a
2)
.
故 M 的半径 =2r 或 =6r
.
（2）存在定点 (1,0)
P
，使得|
理由如下：
MA MP
|
|
|
为定值.
设 ( , )
M x y ，由已知得 M 的半径为 =| +2|,|
r x
AO
|=2
.
由于 MO AO
因为曲线
C y
:
2
，故可得 2
x
2
y
4 (
x
2
，化简得M的轨迹方程为 2
y
2)
4
x
.
x 是以点 (1,0)
P
4
为焦点，以直线
x 为准线的抛物线，所以|
1
MP x
|= +1
.
因为|
MA MP r MP x
|= |
|= +2 ( +1)=1
|
x
|
，所以存在满足条件的定点P.
22．解：（1）因 为
11
1
t
t
2
2
1
，且
2
x
2
y
2
1
1
2
x
2
y
4
1(
x
1)
.
l 的直角坐标方程为 2
x
3
y
11 0
.
2
t
t
2
2
1
2
4
t
t
2
2
1
，所 以C的直 角坐 标方程 为
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