考研数学一全部知识点总结(8K打印).pdf

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高等数学

高中公式

三角函数公式

第1章极限与连续

1.1集合、映射、函数

1.2数列的极限

1.3函数的极限

1.4无穷小与无穷大

1.5连续函数

1.6常见题型

第2章导数与微分

2.1求导法则和求导公式

2.2高阶导数和高阶微分

第3章中值定理和泰勒公式

3.1中值定理

3.2泰勒公式

3.3函数的极值、最值

3.4函数作图

第4章积分

4.1上定积分

4.1.1.基本积分表

4.1.2.换元积分法和分部积分法

4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分

4.2定积分

4.2.1.可积条件

4.2.2.定积分的计算

4.2.3.定积分的应用

4.3广义积分

第5章无穷级数

第6章微分方程

第7章向量代数与空间解析几何

第8章多元函数微分学

第9章多元函数积分学

9.1二重积分

9.2三重积分

9.3重积分的应用

9.4曲线积分

9.5曲面积分

9.6格林公式

9.7高斯公式

9.8斯托克公式

9.9如何简化计算

线性代数

第1章行列式

第2章矩阵

2.1基本概念

2.2矩阵的运算

2.3初等变换

2.4分块矩阵

2.5常见题型

第3章线性方程组

3.1 n维向量

3.2矩阵的秩

3.3齐次方程组Ax=0

3.4非齐次方程组Ax=b

3.5常见题型

第4章向量空间与线性变换

4.1基本概念

4.2坐标变换

4.3施密特正交化

4.5正交矩阵

第5章特征值和特征向量

5.1特征值和特征向量

5.2相似矩阵

5.3可对角化的条件

5.4实对称矩阵

第6章二次型

6.1二次型的定义和矩阵表示

6.2化二次型为标准型

6.3惯性定理和二次型的规范性

6.4正定二次型和正定矩阵

概率论与数理统计

第1章概率论的基本概念

1.1基本概念

1.2频率和概率

1.3等可能概型

1.4条件概率

1.5独立性

第2章随机变量及其分布

2.1随机变量

2.2离散型随机变量及其分布律

2.3随机变量的分布函数

2.4连续型随机变量及其概率密度

2.5随机变量函数的分布

第3章多维随机变量及其分布

3.1二维随机变量

3.2边缘分布

3.3条件分布

3.4相互独立的随机变量

3.5二维随机变量函数的分布

第4章随机变量的数字特征

4.1数学期望

4.2方差

4.3协方差及相关系数

4.4矩、协方差矩阵

第5章大数定律和中心极限定理

5.1大数定律

5.2中心极限定理

第6章数理统计的基本概念

6.1随机样本

6.2抽样分布

第7章参数估计

7.1点估计

7.2估计量的评价标准

7.3区间估计

7.4正态总体期望与方差的区间估计

第8章假设检验

8.1假设检验

8.2正态总体样本均值与样本方差的假设检验

高等数学高中公式三角函数公式和差角公式和差化积公式积化和差公式倍角公式 3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ε，都存在正整数 N ，使得当 m，n>N 时，有|xm-xn|<ε。 1.3 函数的极限性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则： 1. 夹逼法则：若，且存在 x0 的某一去心邻域，均有 f(x)≤g(x)≤h(x)，则。 2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。 3. 柯西收敛准则：函数 f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈ , 有|f(x’)-f(x’’)|<ε。 4. 海涅 (Heine) 归结原则：的充要条件是：对于任何满足的数列{xn}，都有。归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个收敛于该点的自变量 x 的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)} 却具有不同的极限。 1.4 无穷小与无穷大若，当时，则称 x→x0 时称 α(x) 是 β(x) 的半角公式常用等价无穷小若 f(x=0), f’(0)≠0,则球的表面积：4πR2 球的体积：椭圆面积：πab 椭球的体积：确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式第 1 章极限与连续 1.1 集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数 1.2 数列的极限性质： 1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。 2. （有界性）收敛数列必为有界数列。 3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子列也收敛于 a。注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。注2. 若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于 a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于 a。注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。 4. （对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于 a，则改变{xn}中的有限项所得到的新数列仍收敛于 a。 5. （保序性）若，且 aN 时，有 xnN 时，xn≤yn≤zn，且 xn= zn=a, 则 yn=a。 2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。 1.5 连续函数极限存在⇔左右极限存在且相等。连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2. 左右极限至少有一个不存在。闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。 1.6 常见题型求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4. 泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限； 7.放缩法；求极限 ,就要将数列 xn 放大与缩小成：zn≤xn≤yn. 8.求递归数列的极限 (1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设 , 再对递取极限得 A=f(A), 最后解出 A 即可。，对递归方程取极限后解得 A，再用某种方法证明归方程 (2)先设。第 2 章导数与微分 2.1 求导法则和求导公式求导法则： 1 sin()sincoscossincos()coscossinsin()11()tgtgtgtgtgctgctgctgctgctgsinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos-2sinsin221sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]222222222233322tansin22sincos1tancos22cos112sin1tan cossin1tan212 212sin33sin4sincos34cos3cos3313tgctgtgctgtgctgtgtgtgtg1cos1cossin cos22221cos1cossin21cossin1cos1cos1cossin21cossin1costgctg　11V=SH V=SH V=H(S++S)33SS棱柱棱锥棱台343R43abclim,limnnnnxayblimnlimnlimn00lim()lim()xxxxfxhxA00(,)(,)ooUxxUx，使得0lim()xxgxA0(,)oUx0lim()xxfxA0limnnxxlim()nnfxA0()lim()xxxlx001l()(())()(())()~()xoxxOxxx高阶无穷小，记作同阶无穷小，记作等阶无穷小，记作2sintanarcsinarctan1ln(1)~11cos~(1)1~1~ln2xaxxxxxexxxxxaxaxa201()(0)2xftdtfxlimnnxlimnnxA1()nnafalimnnxAlimnnaA

1.四则运算法则 [αu(x)+ βv(x)]’=αu’(x)+ βv’(x) [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x) 2.复合函数求导关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量 3.反函数求导 4.隐函数求导 5.参数式求导 6.对数求导法 7.分段函数求导 (1)按求导法则求连接点处的左右导数设 (2) 按定义求连接点处的左右导数设 (3)对于 8.变限积分求导求导公式： 2.2 高阶导数和高阶微分求高阶导数的方法： 1.莱布尼茨（Leibniz）公式： 2.常用公式 3.分解法分解为上述初等函数之和第 3 章中值定理和泰勒公式 3.1 中值定理费马定理：若是 x0 是 f(x)的一个极值点，且 f’(x0)存在，则必有 f’(x0)=0(可微函数的极值点必为驻点)， 1.罗尔定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间 (a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 f’(ξ)=0. 2.拉格朗日定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 . 3.柯西定理：若函数 f(x)和 g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii) ∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 3.2 泰勒公式求泰勒公式的方法： 1.泰勒公式（拉格朗日余项）： 2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项） 3.逐项求导或逐项积分若，φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到 f(x)的泰勒公式。例如： 3.3 函数的极值、最值驻点，导数不存在的点为极值可疑点。驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。极值判别法则： 1.设点 x0 为函数 f(x)的极值可疑点，f(x)在点 x0 的邻域内连续，去心邻域内可微，如果在(x0-δ,x0)内 f’(x0)≥0，在 (x0,x0+δ)内 f’(x0)≤0，则 x0 必为 f(x)的极大值点。反之必为极小值点。 2.若点 x0 是 f(x)的驻点且 f’’(x0)存在，则当 f’’(x0)>0(<0)时，x0 必为 f(x)的极小 (大)值点。 3.设函数 f(x)在点 x0 处有 n 阶导数，且，但，则(i)当 n 为偶数时，f(x)在点 x0 处取极值，当时取极小值，当时取极大值；(ii)当 n 为奇数时 f(x0)不是极值。 3.4 函数作图定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则 f(x)在[a,b] 上是凸（凹）函数的充要条件是：1.f’(x) 在开区间(a,b)内单调递减（增）。 2. f(λx1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1). 3. f’’(x0)≤(≥)0. 若函数 f(x)在点 x0 处凹凸性相反，则点 x0 称为 f(x)的拐点。拐点的必要条件：f’(x0)=0 或 f’(x0)不存在。拐点的充要条件：f’’(x)经过时变号。渐近线：1.垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线⇔ 或 . 2 2()()()()()[]()()uxuxvxuxvxvxvx([()])[()]()fxfxx11[()]()fyfx223()()()()()(),,()()[()]xxtdyytdyytxtytxtyytdxxtdxxt00000(),(),()(),().(),gxxxxfxgxhxAfxAhxxxx若则000000(),()()(),,()()(),gxxxxgxfxxfxAxxgxhxhxxxx与在点处无定义，可按定义求与0000000()()(1)()()lim(),(),,(2)()lim()xxxxfxfxfxfxgxxxxxfxAxxfxfx很复杂，按定义求,否则，先求出，再求()()(),(())()(())()xxdyyftdtfxxfxxdx1()0()()ln1(log)lnxxaCxxaaaxxa22(sin)cos(cos)sin(tan)sec()csc(sec)sectan(csc)cscxxxxxxctgxxxxxxxctgx22221(arcsin)11(arccos)11()11()1xxxxarctgxxarcctgxx()()()0(()())()()nnkknknkuxvxCuxvx()()axbnnaxbeae()(sin())sin()2nnnaxbaaxb()(cos())cos()2nnnaxbaaxb()(())(1)...(1)()nnnaxbanaxb()11(1)!()()nnnnnaaxbaxb()11(ln())(1)(1)!()nnnnaxbanaxb()()()fbfafba()()()()()()fbfafgbgag()(1)10000()()()()()!(1)!knnknkfxffxxxxxkn213521211242221231111!2!!(1)!sin(1)(1)cos3!5!(21)!(21)!cos1(1)(1)cos2!4!(2)!(22)!ln(1)(1)(1)23(1)(1nnxxnnnnnnnnnnnnxxxxeennxxxxxxxnnxxxxxxnnxxxxxxnn121(1))(1)(1)0121nnnnxxxxxxxnn2111(1)211(1)1(1)112211...(1)(1)(1)111...(1)11(23)!!(21)!!11(1)(1)(1)2(2)!!(22)!!nnnnnnnnnnkknnkxxxxxxxxxxxxknxxxxxkn0()()()()xxfxxfxtdt或245355200111arctan(1)()()135xxxdtttdtoxxxxoxt(1)000()()...()0nfxfxfx()0()0nfx()0()0nfx()0()0nfx0limxa0limxa

2.斜渐近线：f(x)=ax+b, 或（3）；（4）（水平渐近线为其特例）。函数作图的步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等； 3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线； 4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 5. 适当确定一些特殊点的函数值； 6. 根据上面提供的数据，作图。第 4 章积分 4.1 不定积分 4.1.1.基本积分表不可积的几个初等函数： 4.1.2.换元积分法和分部积分法换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。 2.第二类换元积分法，拆分。分部积分法： 4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分有理函数的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：（1）；（2）；三角函数有理式的积分一般用万能代换，对于如下形式可以采用更灵活的代换：对于积分，可令 tanx=t；对于积分对于积分某些可化为有理函数的积分，可令 sinx=t；，可令 cosx=t，等等。 1. 型积分，其中 n>1，其中 ad ≠bc。这里的关键问题是消去根号，可令。 2. 型积分 , 其中， a ≠0 。由于，故此类型积分可以化为以下三种类型：，可用三角替换，可用三角替换，可用三角替换；；。倒代换：，，由此还可以求出，解：设，为此应有，解得，故 4.2 定积分 4.2.1.可积条件可积的必要条件：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上可积，则 f(x)在[a,b]上有界。可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。 4.2.2.定积分的计算 1.换元积分法从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。 2.分部积分法常见的积分和式 3 ()lim,lim(())xxfxabfxaxx()lim,lim(())xxfxabfxaxx1111ln||1lnsincoscossintanln|cos|cotln|sin|secln|sectan|cscln|csccotln|csccotln|tanxxxdxxCdxxCadxaCxaxdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxdxxxCxxdxxxCxxC2222|2sectancsccottansecseccsccotcsc1arcsinarccos11arctanarccot1CxdxxCxdxxCxxdxxCxxdxxCdxxCxCxdxxCxCx或或2222222222222222222222222111arctanarcsin111ln||ln||2111ln||ln()2arcsin222xxdxCdxCaxaaaaxaxdxCdxxxaCaxaaxxaxadxCdxxxaCxaaxaxaxaxaxdxaxCaxxadxxa22222222222222ln2ln()22cos(cossin)sin(sincos)axaxaxaxaxxaCxaxadxxaxxaCeebxdxabxbbxCabeebxdxabxbbxCab2221sincossincoslnxxxexxxxx()()()()()()uxvxdxuxvxuxvxdx()()()PxRxQxAdxxaA()ndxxa2Mx+Ndxxpxq2Mx+N()ndxxpxq12222212123()2(1)()2(1)nnnndxxnIIxaanxaantan2xt22(sin,cos)Rxxdx(sin)cosRxxdx(cos)sinRxxdx(,)naxbRxdxcxdaxbtcxd2(,Rxaxbxcdx240bac22224()24bacbaxbxcaxaa22(,)Rukudxsinukt22(,)Ruukdxsecukt22(,)Ruukdxtanukt121tantan1nnnnIxdxxIn2411xdxx2411xdxx411dxx241xdxx2211sincos,(0)sincosaxbxdxabaxbx11sincos(sincos)(cossin)axbxAaxbxBaxbx11aAbBabAaBb11112222,aabbabbaABabab11sincos(sincos)sincossincosaxbxaxbxdxAdxBdxaxbxaxbx11112222ln|sincos|aabbabbaxaxbxCabab()(())()bafxdxfttdx()()()()|()()bbbaaauxvxdxuxvxuxvxdx11()()()lim()(1)()()()lim()nbaninbaniibabafxdxfannibabafxdxfann

第 5 章无穷级数常数项级数敛散性的判定 1.若，级数发散，等于零，需进一步判定。使用分部积分法的常见题型：被积函数的形式所用方法 2.若为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法： ①一般项中含有 n!或 n 的乘积形式，采用比值判别法； ②一般项中含有以 n 为指数幂的因子，采用根值判别法； ③一般项中含有形如 nα（α 不一定是整数）的因子，采用比较判别法； ④利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性； ⑤采用定义，部分和数列{Sn}有上界。进行 n 次分部积分，每次均取 3. 若为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交取取为为 4.2.3.定积分的应用 (1)平面图形的面积 (2)旋转体的体积 (3)弧长、曲率弧微分公式：曲率： (4)静矩、转动惯量 mr, mr2 为，进行两次分部积分错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根值判别法。求函数项级数的收敛域：（1）比值法；（2）根值法。求幂级数的收敛域：（1）比值法（2）根值法；。常数项级数的求和：1.直接计算部分和 Sn，然后求极限； 2.利用相应的幂级数。幂级数的求和：利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求和形式（即前面的麦克劳林公式）。求函数的幂级数展开式：就是求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）。 (5) ①均匀细杆质量为 M，长度为 l，在杆的延长线上离右端为 a 处有一质量为 m 的质点，则质点与细杆之间的引力为 F=kMm/a(a+l). ②均匀圆环质量为 M，半径为 r，在圆心的正上方距离为 b 处有一质量为 m 的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为 . ③均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。 4.3 广义积分广义积分审敛法 1.比较法 f(x)≤kg(x),k≥0 2.比较法的极限形式 3.柯西收敛准则几个常见的广义积分傅立叶级数，狄利克雷充分条件几个重要的级数 1.几何级数 2.p-级数 3. 4. 5. 第 6 章微分方程 1. 可分离变量方程 4 2. 3.一阶线性方程 1011lim()()nniiffxdxnn22002002000(sin)(cos)(sin)2(sin)(sin)(sin)(sin)2fxdxfxdxfxdxfxdxxfxdxfxdxfxdx222001sincos,nnnnnnIxdxxdxIIn(),()sin,()cosxnnnPxePxxPxx,sin,cosxexx()vx()ln,()sin,()arctannnnPxxPxarcxPxx()nPx()vxsin,cosxxexexxe()vx21()()()2dSfxdxydyrd22()()2()dVfxdxydyxfxdx2222()()1()1()dsdxdyfxdxydy2222()()()()xtytdtrrd223/223/2|()()()()|||||[()()](1)dytxtytxtyKdsxtyty122mmFGr引力3222F=()kMmbrb()lim()xfxkgx|()|AAfxdx,1,11.,0,0(),1,1,1,03.,1,0ln,1,0kbppaaxpaappdxdxaaxxapppdxaxedxkxxp收敛收敛；发散发散收敛收敛；发散发散2011I=(1)(1)4xIdxtxx2xedxlim0nnu1nnu1nnu1()lim||1()nnnuxuxlim()1nnnux11()lim||lim||1()nnnnnnauxaux或lim||lim()1nnnnnnaux=或01()2(cossin)nnnafxanxbnx1()cos1()sinnnafxnxdxbfxnxdx()(0)(0)()21[(0)(0)]2fxfxfxSxffx，续点，间断点，11||1||1nnqaqq当时收敛当时发散111n1pn当p时收敛当p时发散211=ln1pnpnnp当时收敛当时发散01!nen22116nn()()dygxhydx111222(,)()()dyyfxydxxaxbycdyfdxaxbyc齐次方程可化为可分离变量方程的方程可化为齐次方程的方程()()()()(())PxdxPxdxdyPxyQyyeCQxedxdx

4.伯努利方程 5.全微分方程特殊路径法，凑微分法 6. 7. 8.常系数线性微分方程二阶齐次特征方程的根微分方程的微分方程的线性无关解通解互异实根 r1,r2 二重实根 r1=r2=r 共轭复根 r1,2=α±iβ 二阶非齐次（1）求对应齐次方程的 y1,y2 （2）（3） 9.欧拉方程第 7 章向量代数与空间解析几何点到直线的距离点到直线的距离第 8 章多元函数微分学复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量二元函数泰勒公式多元函数取极值的必要条件：求条件极值，用拉格朗日数乘法平面束方程方向导数：偏导数是函数在平行于坐标轴方向上的变化率，有时需要考虑函数沿某一指定方向的变化率，这种变化率就是方向导数。 5 1()()(1)()(1)()dydzPxyQxyyzPxzQxdxdx令y(,),x(,),dpyfxypyydxdpyfyypyyydy不含令可降阶的高阶方程不含令12121122(1)(2)()()()0(3)(yyuxyyypxyqxyycycyypx已知二阶齐次线令，代入求出性微分二阶非齐次方程121122*1122121122*1122(1),0(2)()()()(),,)()()()(3)yyuyuyyuxyxuxyxuuyqxyfxuyuyfxycycyy求出对应齐次方程的令求出()ypxy()0qxy12,rxrxee1212rxrxycece,rxrxexe12()rxccxecos,sinxxexex12(cossin)xecxcx()ypxy()()qxyfx012*()(...)()(2)()()()()xkmxmmyQxexAAxAxeQxpQxpqQxpx令*1122ycycyy()1(1)11()11...(),,(1)...(1)[(1)...(1)(1)...(2)...]()nnnnnnktkkkktnxypxypxypyfxdxeDxyDDDkydtDDDnpDDDnpDyfe令则()(,,)()=xyzxyzxyzxyzxyzijkaaaabaaaabcabcbbbbbbccc叉积混合积平行六面体的体积000()()+C(z-z)=010AxxByyxyzabcAxByCzD点法式三点式混合积为零平面方程截距式一般式0000001111222200xxmtyyntzzptxxyyzzmnpAxByCzDAxByCzD参数式直线对称式方程一般式11112222()()0AxByCzDAxByCzD121212222222111222||cossin()AABBCCABCABC两平面夹角平面与直线的夹角两直线夹角000222||AxByCzdABC10||||ppsds22222222222222222221-120()()()zxzxzxpzababxyzxyzRabcxxtyytzzt绕轴旋转柱面：椭圆柱面双曲柱面抛物柱面球面椎面常见二旋转面次曲线2222222222222222222222222222()()cos()()sin()+1+(,)1()(,)001()2zxxtytyxtytzztxyzabxyzfxzfxyzabyxyzabxypzxyzabc绕轴旋转旋转椭园面旋转双单叶曲面双叶旋转抛物面椭球面222222222222222()11-()xyzxyzababcxyzab椭圆单双曲面抛物面双双曲12(,,...,)1(,)(,,)0(,)(,,)01(,)(,)(,iniyFxyFxxxxFduFGFxuvdxJxvGxuvdvFGdxJuxFxy由方程确定的隐函数隐函数微由方程组确分定的隐函数法1(,)1(,),,,)0(,)(,)(,,,)01(,)1(,),(,)(,)uFGduFGuvxJxvyJyvGxyuvvFGvFGxJuxyJuy00000((),(),())(),()(,)(,)(,)(,,)(,)(,)(,)xtytztyxzxFGFGFGyzzxxy曲线的切线和法平面0000000((),(),())((,),(,),1)(,)(,)(,)(,,)(,)(,)(,)xyzxyFPFPFPfxyfxyyzzxxyuvuvuv曲面的切平面和法线()(1)0000000()()(,)(,)(,)!!knnkhlhlxyxyfxhylfxyfxhylkn0000(,)0,(,)0xyfxyfxy00002221.(,)0,(,)02.(1)0,0,0,(2)0,0,(3)0xyfxyfxyACBAAACBAACB多元函数正定,有极小值;负定,有极大值取极值的不定,无极值充分条件,不能确定0min(max)(,),(,)(,)(,),0(,)0(,)0xyFzfxyFxyfxyxyFxyxy或令有

方向导数梯度 9.6 格林公式第 9 章多元函数积分学 9.1 二重积分 9.7 高斯公式 9.8 斯托克公式 9.2 三重积分 9.3 重积分的应用 9.4 曲线积分 9.5 曲面积分 9.9 如何简化计算 1. 选择积分顺序（二重积分，三重积分） 2. 选择投影方向（第 II 类曲面积分） 3. 利用对称性与奇偶性 4. 换元 5. 曲线和曲面积分，利用已有方程 6. 利用几何或物理意义 7. 利用三个公式线性代数第 1 章行列式行列式的性质：行列不变；行行变反；倍加行不变。范德蒙行列式三对角行列式 6 coscoscosuuuulxyz(,,)uuuxyz2121()()()()1.(,)2.y(,)(,)3.(((,)(,)byxayxdxycxyDxIdxfxydyIdyfxydxxxuvIfxuyyuvIfxyd型区域型区域二重积分换元法令,),(,))||1(,)cos2(cos,sin)sinDDDvyuvJdudvxuaIfuavbdudvyvbxrIfrrrdrdyr平移变换令极坐标变换令(,,)2.(,,)((,,),(...),(...))||(,,)(1)(,,)vvxxuvwyyuvwIfxuvwyzJdudvdwzzuvwIfxyzdv1.二套一，一套二换元令法平移三重积分2(...)cos(2)sin(...)sincos(3)sinsin(...)scosvvxuayvbIfdudvdwzwcxryrIfrdrddzzzxryrIfrzr令变换柱坐标令变换球坐标令变换2insincos(4)sinsin(...)sincosvvdrddxarybrIfabcrdrddzcr椭球坐标令变换2222(1),1(,)(,),cos(,)(,,)(2)(,,)(3)()(xyvvzdxdyfxyfxydxdyEGFdudvnzxxyzdvxxyzdvmrdJ曲面面积面积元素：物体重心转动惯量对z轴222)(,,)(,,)xyxyxyzdvxydJzxyzdv对平面(,)((,,))()[(...)()(...)()(...)()]LLABfxyzdsPdxQdyRdzPxtQytRztdt代入参数方程第一类代入弧微分公式第二类((,,))()[()()]SSDxyfxyzdSzzPdydzQdzdxRdxdyPQRdxdyxy第一类代入面积元素第二类()()0()()()()(1)DLLDDLLQdxdyQdyxQPPdxQdydxdyPxydxdyPdxyQPiPdxQdyiiiiiduPdxQdyivixyPdxQdy与路径无关不定积分法求的原函数(2),(3)QPxy若特殊路径法凑微分法S()vSvvSvSPdvPdydzxPQRQPdydzQdzdxRdxdydvdvQdzdxxyzyRdvPdxdyz)QQ)RR)()0()()R(),LSLLSLSLPPPdxdzdxdydxzydydzdzdxdxdyQPdxQdyRdzdxdxdydzdyxyzxzPQRRdzdydzdxdzyxiPdxQdyRdziiiiiduPdxQdyRdzQivyz与路径无关Q,()PRPizxxy111122221122*0...0*nnnnnnaaaaaaaaa上三角行列式下三角行列式(1)2122211*0(1)...0*nnnnnaaaaaaaaa次三角行列式*00**0)(1)00mnAAABBBAALaplaceABBB两种特殊的拉普拉斯(展开式

3.2 矩阵的秩 1. 矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的非零主子式的最高阶数 2. 初等变换不改变矩阵的秩 A 是 m×n 矩阵，若 AB=0，则标准相抵型同型等秩⇔相抵 3.3 齐次方程组 Ax=0 判定：有非零解⇔r(A)

空间的维数。 5.4 实对称矩阵性质：１. 实对称矩阵一定是可对角化的；２. 实对称矩阵的特征值全是实数，特征向量全是实向量，不同特征值的特征向量是正交的；３. 存在正交矩阵Ｔ，使得 T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn) 求 T：先求得特征向量，再正交化。第 6 章二次型 6.1 二次型的定义和矩阵表示 1.4 条件概率设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，称为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。乘法公式 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) 全概率公式 P(A)=P(A|B1)+ P(A|B2)+…+ P(A|Bn) 贝叶斯公式二次型：二次型就是二次齐次多项式（即每项都是二次的）矩阵表示：xTAx 合同矩阵：若存在存在可逆矩阵 C，使得 CTAC=B，就称 A 合同于 B，记作 1.5 独立性 A B。 6.2 化二次型为标准型１. 正交变换法２. 配方法３. 初等变换法 6.3 惯性定理和二次型的规范性惯性定理：对于一个 n 元二次型，不论做怎样的坐标变换使之化为标准型，其中正平方项的项数和负平方项的项数都是唯一的。规范型：设 A 为 n 阶实对称矩阵，若 A 的正、负惯性指数分别为 p 和 q，则 A diag(1,…,1,-1,…,-1,0,…,0) 其中 1 有 p 个，-1 有 q 个。或者说对于二次型 xTAx，存在坐标变换 x=Cy，使得把右端的二次型称为 xTAx 的规范型，把上面的对角矩阵称为 A 的合同规范型。合同的充要条件： A、B 有相同的正惯性指数和负惯性指数。合同的充分条件：A~B。（二者的前提是，A, B 是实对称矩阵）合同的必要条件：r(A)=r(B) 6.4 正定二次型和正定矩阵定义：如果对于任意的非零向量 x=(x1,x2,…,xn)T 都有 xTAx>0，就称 xTAx 为正定二次型，称 A 为正定矩阵。二次型正定的充要条件：１. xTAx 是正定二次型；２. A 的正惯性指数为 n，即 A ３. 存在可逆矩阵 P，使得 A=PTP；４. A 的特征值全大于 0；５. A 的顺序主子式全大于 0. 必要条件：1.aii>0；2.|A|>0。 I；概率论与数理统计第 1 章概率论的基本概念 1.1 基本概念随机试验：1.可以重复；2.总体明确；3.单个未知。样本空间，样本点，随机事件，事件发生，基本事件，必然事件，不可能事件，差事件，不相容事件，对立事件，逆事件 1.2 频率和概率在相同条件下，进行了 n 次试验，在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 A 发生的频数，比值 nA/n 称为 A 发生的频率，并记成 fn(A)。对随机试验 E 的每一事件 A 都赋予一个实数，记为 P(A)，称为时间 A 的概率。集合函数 P(.)满足下列条件：①非负性：P(A) ≥0；②规范性：P(Ω) =1； ③可列可加性：P(A1∪A2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…。当 n→∞时频率 fn(A)在一定意义下接近于概率 P(A)。设 A、B 是两个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A、B 相互独立，简称 A、B 独立。 ⇔P(A|B)=P(A| )=P(A) ⇔P(B|A)=P(B| )=P(B) A 与 B 相互独立⇔A 与相互独立⇔ 与 B 相互独立⇔ 与相互独立第 2 章随机变量及其分布 2.1 随机变量设随机试验 E 的样本空间为 S={e}，X=X(e)是定义在样本空间 S 上的实值单值函数，称 X=X(e)为随机变量。随机变量的取值随随机试验的结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率。这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。 2.2 离散型随机变量及其分布律如果随机变量 X 全部可能的取值是有限个或可列无限个，则称 X 为离散型随机变量。１. 0-1 分布 P(X=xk)=pk 为 X 的分布律。几个常见分布：２. 二项分布３. 泊松分布４. 几何分布５. 超几何分布 2.3 随机变量的分布函数设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数 F(x)=P(X≤x)称为 X 的分布分布函数 F(x)具有以下性质：函数。１. F(x)是一个不减函数２. 0≤F(x)≤1，且 F(-∞)=0, F(+∞)=1 ３. F(x+0)= F(x)，即 F(x)是右连续的 2.4 连续型随机变量及其概率密度如果对于随机变量 X 的分布函数 F(x)，存在非负函数 f(x)，使得对于任意实数 x，均有则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f(x)称为 X 的概率密度函数，简称概率密度。１. f(x) ≥0; 概率密度 f(x)具有以下性质：２. ３. ；；几个常见分布：４. 若 f(x)在点 x 处连续，则有。 1.3 等可能概型１. 样本空间包含有限个元素。２. 每个基本事件发生的可能性相同。具有以上两个特点的试验称为等可能概型，也叫古典概型。１. 均匀分布，记为 X~U(a,b) 8 222211......TpppqxAxyyyy121212111,,...,,(...)()()...()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(nnnnniiijijiijniAAAPAAAPAPAPAPABPAPBPABPAPABPBPBAPABCPAPBPCPABPACPBCPABCPAPAPAAPAA若互不相容则加广义的,法公式1121)...(1)(...)nknijknAPAAA,()()(),()()()BAPABPAPBPABPAPAB减法若公式任意的()P(B|A)=()PABPA1(|)P(B|A)=(|)iinjjPABPABBAABBA1()(1),1,2kkPXkppk1()(1),0,1,2,...,kkknPXkCppkn(),0,1,2,...!kPXkekk1(),1,2,...kPXkpqk1212(),0,1,2,...knkNNnNNCCPXkknC()()xFxftdt()1fxdx211221{}()()()xxPxXxFxFxfxdx()()Fxfx0,1,(),(),0,1,xaaxbxafxFxaxbbabaxb其他

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