2003年江苏高考数学真题及答案.doc-资料库

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2003 年江苏高考数学真题及答案第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数 2 ax  bx  a y  b 的图象与 x轴有两上交点，则点（a，b）在 aOb 平面上的区域（不包含边界）为 b b b O a O a O a O (A) 2ax (B) (C) 的准线方程是 y=2，则 a的值为 a ） (D) （ C．8 D．－8 tan 2 x  （） 2．抛物线 y  A． 3．已知 A． 1 8 x 7 24 (  4．设函数 B．－  2 ),0, cos x  4 5 B．－ 1 8 , 则 7 24  x 1 2 , x   ,1 x  2 ,0 )( xf     A．（－1，1） C．（－∞，－2）∪ （0，+∞） ( xf .0 若  x C． 24 7 D．－ 24 7 ,1)  0 则 x0 的取值范围是（） B．（－1，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞） 5．O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP  OA  (  AB AB | |  AC AC | | ),   ,0[  ), 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 A．外心 B．内心）（ C．重心 D．垂心 , x  ,1(  ) 的反函数为（） x x     1 1 1 1 , 6．函数 y  ln A． y  C． y  x x e e x x e e x  ,0(  )   1 1 , x  ( )0, B． y  D． y  x x e e x x e e   1 1   1 1 , x  ,0(  ) , x  ( )0, 7．棱长为 a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（） A． 3a 3 B． 3a 4 C． 3a 6 D． 3a 12 8．设 a  ,0 )( xf  2 ax  bx  c , 曲线 y  )(xf 在点 ( xP , 0 ( xf 0 )) 处切线的倾斜角的取值范围为 ,0[  ] 4 ，则 P 到曲线 y  )(xf 对称轴距离的取值范围为（）

A．[ ] B． 1,0 a ( ] 1,0[ 2 a 2 nx   2 C． |,0[ b 2 a |] D． 1 b  2 a |] |,0[ 1 4 9．已知方程 2 x  2 )( xmx  )  0 的四个根组成一个首项为的等差数列，则 |m－n|= （） A．1 B． 3 4 C． 1 2 D． 3 8 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ，0）直线 y=x－1 与其相交于 M、N 两点，MN 中点的横坐标为 2 ， 3 则此双曲线的方程是（） A． 2 x 3 2  y 4  1 B． 2 x 4 2  y 3  1 C． 2 x 5 2  y 2  1 D． 2 x 2 2  y 5  1 11．已知长方形四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 θ的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4（入射角等于反射角）.设 P4 的坐标为（x4，0）.若 1< x4<2，则 tanθ的取值范围是（） A． 1( 3 )1, B． 1( 3 2, 3 ) C． 2( 5 1, 2 ) D． 2( 5 2, 3 ) 12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A．3π B．4π C． 33 π D．6π 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，把答案填在题中横线上. 13． ( 2 x  1 2 x 9 ) 展开式中 x9 的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的产品质量，现用分辆层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，， 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图）.现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.（以数字作答） 16．对于四面体 ABCD，给出下列四个命题 ①若 AB=AC，BD=CD，则 BC⊥AD. ③若 AB⊥AC，BD⊥CD，则 BC⊥AD. 其中真命题的序号是 ②若 AB=CD，AC=BD，则 BC⊥AD. ④若 AB⊥CD，BD⊥AC，则 BC⊥AD. .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）有三种产品，合格率分别是 0.90，0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到 0.001） 18．（本小题满分 12 分）已知函数 )( xf  sin(   )( x  0,0  )   上 R 上的偶函数，其图象关于点上是单调函数，求和ω的值. M 3(  4 )0, 对称，且在区间 ,0[  ] 2

19．（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的垂心 G. （Ⅰ）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）求点 A1 到平面 AED 的距离. C1 B1 A1 D E CG K 20．（本小题满分 12 分） A F B 已知常数 0a ，向量 c  ,0( ), ia  ).0,1( 经过原点 O 以 c  为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以 i i 2 c 若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由. 为方向向量的直线相交于点 P，其中 .R 试问：是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值. 21．（本小题满分 12 分）已知 a ,0 n 为正整数. （Ⅰ）设 y  ( ax  n ,) y 证明  ( axn  ) n 1  ；（Ⅱ）设 f n )( x  n x  ( ax  n ,) n 对任意  a ,  证明 1 n f ( n )1  ( n  )1 f  n ( n ). 22．（本小题满分 14 分）设 ,0a 如图，已知直线 : yl ax 及曲线 C： y  ，C 上的点 Q1 的横坐标为 1a 2x （ 0  1 a  a ）.从 C 上的点 Qn（n≥1）作直线平行于 x轴，交直线 l于点 1nP ，再从点 1nP 作直线平行于 y 轴，交曲线 C 于点 Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列 .na （Ⅰ）试求 a 与1 n a n 的关系，并求 na 的通项公式；（Ⅱ）当 a ,1 1   a 1 2 n 时，证明 k 1  ( a k  a k 1  ) a k  2  y 1 32 ；（Ⅲ）当 a=1 时，证明 n k 1  ( a k  a k 1  ) a k  2  1 3 . r1 O c r2 Q3 Q2 l x Q1 1a 2a 3a a3 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分. 1．C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分. 10．D 3．D 5．B 7．C 2．B 8．B 9．C 4．D 6．B 11．C 12．A

13． 21 2 14．6,30,10 15．120 16．①④ 三、解答题 17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C. （Ⅰ） ( AP )  ,90.0 ( BP )  ( CP )  95.0 ， ) ( AP  ,10.0 ( BP )  ( CP )  .50.0 因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为  ( ) CBAP   ( ( ( CPBPAP   90.02    ( CBAP  )  95.0  )  05.0 ( ) ) CBAP ) ( ( ) CPBPAP   10.0 95.0    ( )  95.0   )  ) ( ) ( CPBPAP  176.0  (  ) 答：恰有一件不合格的概率为 0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为 ( CBAP   )  ( CBAP   )  ( CBAP   )  ( CBAP   )  90.0  解法二：三件产品都合格的概率为 10.02  05.0 05.0   2 95.0  10.0  05.0 2  012.0 ( CBAP   )  ( ( CPBPAP ) ( )   )  90.0  95.0 2  812.0   . )  .0 012 176 812 176 .0)  .0(1]  ( CBAP 由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为 [1 .0   答：至少有两件不合的概率为 0.012. （18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满 12 分分 )( , ( xf f 得是偶函数解：由 ) ), sin( sin( x x       cos sin sin cos x x     所以 ,0 , x   对任意都成立所以得且 ( xf cos  ), 即 .0 x  ) 0 依题设  ,   所以解得   由 )( xf 的图象关于点 M f 得对称 ,    sin( 3( 3   ) ) 4 4 2 3 3   ) , sin( cos  4 4 2 3  ,0   2 4 .  ,2,1,0 ),1 又得 ,0    k  k   )( xf  sin( f 得 f  ,0   x 取  3(  ) 4 3  4 2 2( 3 ,0 时当   cos  k , 2 3 ,2 10 3  ,1 时当  k   ,0 时当  k   , 所以综合得  )( xf  sin( 2 , )( xf  sin( x  2 3 或   .2  . 2 3(  4   cos  ) x 3  , 4 f 3(  4  x ),  , k  k  ,3,2,1  , 2 3 x x    ) 在 2  ) 在 2   ) 在 2 ,0[ ,0[  ] ; 上是减函数 2  ] ; 上是减函数 2 ,0[  ] ; 上不是单调函数 2

19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分. 解法一：（Ⅰ）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， ED ,  连结 2 EF  GDE , 是 , CC 分别是 1 ADB  1 3 FD FG   BA 1 的重心 , 的中点又 , G  平面 ABC , DC   . DF 在直角三角形 CDEF EFD 中为矩形 2 FD ,  EF  ,1 FD  .3 1  2 于是 ED  ,2 EG   FC  CD   sin EBG    ,2 EG EB 3 AB  6 3  .  6 3 ,22 BA 1 2 1 3 3   ,32 EB  .3 .  BA 1 与平面 ABD 所成的角是 arcsin 2 3 . （Ⅱ）连结 A1D，有 V A 1  AED  V EAAD 1   ED  , AB ED  EF , 又 EF  AB  F , ABA 1平面 h S  ED S 则 AED   ED  ABA 1 , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h， AEA又  S 1  h S  ABA 1  1 4 2  62 3  2 1 2  6 2 AA 1  AB  ,2 S  AED  1 2 AE  ED  6 2 . . 即 A 到平面 1 AED 的距离为 62 3 . 解法二：（Ⅰ）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即∠A1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a，则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) aA 1 ),2,0,2(  CE (  BA 1   cos BGA 1 BA 1 与平面 ,  ), ). ),1, BD BG 2, 1, 2( a aGaaE ,( 3 3 3 2, aa ).1,2,0( a   3 3 3 2( 4, 1, ),2,2,2(   3 3 3 BG 3/14 132 BG  3 7 3 BA 1 BA 1 所成角是 arccos ABD  || ).   . | | GE  BD  2 3 2 a  2 3 .0 a 解得  .1  7 3 . 21 （Ⅱ）由（Ⅰ）有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) ED AE  AA ED  1 ED     平面 )0,1,1()1,1,1( )0,1,1()2,0,0(    , ED 又 EAA ,0  ,0  平面 1 . AED

（Ⅰ）当 2a 2 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；时，方程①表示椭圆，焦点 E 1( 2 1 2  2 a , a 2 ) 和 F 1(  2 1 2  2 a , a 2 ) （Ⅱ）当（Ⅲ）当 0  a 2 2 2 时a , 2 方程①也表示椭圆，焦点 E 1,0( 2 ( a  2 a  1 2 )) F 和 1,0( 2 ( a  2 a  1 2 )) 为合乎题意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分 12 分. 证明：（Ⅰ）因为 ( ax  ) n  k n C 0  k n ( kn  ) a  k x ，所以 y   n kC 0 k  k n (  a ) kn  k 1  x  n n 0 k C 1 k  1 n  (  a ) kn  k 1  x  ( axn  ) n 1  . （Ⅱ）对函数 f n )( x  n x  ( ax  ) n 求导数:  f n n 1  n 1     所以 )( nx x )( f n  a x , n n a 当   当因此 x 当 1    ]. ( , ) axn 1 n ( )  an  .0  n ) ( x ax   1 )1 ( n  )( x    [ nn ,0 f 时 n , )( x f 时 n (, a n  时  n n n 是关于 n ) a n  n . x 的增函数 n (  an  ) ∴  (1  f n n  )1  ( n  )[(1 n  )1 n  ( n 1  a n ])  ( n  )(1 n n  ( an  n ))  ( n  )(1 n n  ( ann  ) n 1  )  ( n  )1 f  n ( n ). 即对任意 n  , fa  1  n ( n  )1  ( n  )1 f  n ( n ). 22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分 14 分. （Ⅰ）解：∵ ( aQ n n 1  , a 2 n ), ∴ a  1 n   1 a  a )1( a )1( a 2 n ∴ a n   a 2 n  3 ) 2 , 1( a 21  21   n  2 2 n  1 2 a 1  1  P n 1 a   2  1( a 2 1 n  a )1( a )1( a 1( a 2 )   2 2 n 1, a a )1( 21  a a 4 n ). a 22 n  2 n 1  2 n  2 2 n  2 , ), Qaa n 1(1 aa 3 2 a n  a  2 2 221   2 n 1  1  n 1  2 a 1  aa ( 1 a n 1  2 ) ， ∴ an  aa ( 1 a 12 n  ) . （Ⅱ）证明：由 a=1 知 a ∵当 k  ,1 a k时  2  a 3  n ∴ k 1  ( a k  a k 1  ) a k  2  1 16 a ,2 n ∵ 1 a 1 2 , ∴ a 2  1 4 , a 3  1 16 .  a k 1  )  k 1 16 ( a 1  a n 1  )  1 32 . n  1 1 16 n  ( a . k 1 

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当 a=1 时， an   ,12 na 1 n 因此 k 1  ( a k  a k 1  ) a k  2  n  k 1  k 1  2 ( a 1  k 2 a 1 ) 2 a 1 k  1  1  n 2  i 1  ( i a 1 1   i a 1 ) 2 a 1 i  2  1(  2 ) aa 1 1 1 n 2  i 1  i 3 a 1  1(  2 ) aa 1 1  3 a 1 3 a  1 1 = 5 a 1 a  1 2 a 1  1 3 . 1 

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