2017天津考研数学三真题及答案.doc

发布时间：2022-09-21 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.79M 资料格式：doc 举报版权申诉

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2017天津考研数学三真题及答案

2017 天津考研数学三真题及答案一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． 1．若函数 ( ) f x 在 0 x  处连续，则 0 0   1 cos   ax  , b  1 2  x x , x  1 2 （A） ab  （B） ab   （C） ab  （D） 0 ab  2 1 x 2 ax x  1 cos  ax b    ．所以应该选（A）  ， 1 2 a lim ( ) f x  0 x ab  lim 0 x  1 2 【详解】 lim ( ) f x x  0   lim 0 x   x  处连续，必须满足 0 1 2 a y 2．二元函数 z  xy (3   的极值点是（ x ) ）   b f (0) ，要使函数在（A） (0,0) （B） 0 3( , ) （C） 3 0( , ) （D） 1 1( , ) 【详解】 z  x   y (3   x y )  xy  3 y  2 xy  y 2 ， z  y   3 x  2 x  2 xy ， z 2 2  x    2 , y 2 z  2 y    2 , x 2 z  x y    2 z  y x     3 2 x 解方程组 z   x  z y   3 y  2 xy  2 y  0  3 x  2 x  2 xy  0 ，得四个驻点．对每个驻点验证 AC B ，发现只有在 2 点 1 1( , ) 处满足 AC B 2   ，且 3 0 A C    ，所以 1 1( , ) 为函数的极大值点，所以 2 0 应该选（D） 3．设函数 ( ) f x 是可导函数，且满足 ( ) f x f x ( ) 0  ，则（A） (1) f f ( )  （B） 1 ( 1) f f (  ) 1 ( ) （C） 1 f f ( ) ( )  （D） 1 1 f f (  ) 1 【详解】设 ( ) g x  ( ( )) f x 2  ，则 ( ) g x  2 ( ) f x f x  ( ) 0  ，也就是 ( ) f x 是单调增加函数．也 2 就得到 f (1) 2    f ( 1)   2  f (1)  f ( 1)  ，所以应该选（C） 4．若级数   n  2 sin    1 n  k ln(1  1 n )    收敛，则 k  （） 1

【详解】iv n   时 1 n ln(1 sin 1 n 1 n   k )   k       1 n 2 1 1   2 n          o    1 2 n    (1   k ) 1 n  k 2 o    1 2 n    的二阶无穷小，级数 1 2 n 1 n （A）1 （B） 2 （C） 1 （D） 2 显然当且仅当 (1 k ) 0  ，也就是 k   时，级数的一般项是关于 1 收敛，从而选择（C）． 5．设为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（A） T E  不可逆（B） T E  不可逆（C） T E  2 不可逆（D） 2 T E  不可逆【详解】矩阵 T 的特征值为1和 1n  个 0 ，从而 E  T  , E  T  , E  T 2  , E  T 2  的特征值分别为 0,1,1, 1 ；2,1,1, ,1 ； 1,1,1,   ；3,1,1, ,1 ,1 ．显然只有 T E  存在零特征值，所以不可逆，应该选（A）． 6．已知矩阵 A       2 0 0 0 2 1 0 0 1      ， B       2 1 0 0 2 0 0 0 1      ， C       1 0 0 0 2 0 0 0 2      ，则（A） ,A C 相似， ,B C 相似（B） ,A C 相似， ,B C 不相似（C） ,A C 不相似， ,B C 相似（D） ,A C 不相似， ,B C 不相似【详解】矩阵 ,A B 的特征值都是 1 32,      2  ．是否可对解化，只需要关心 1 2 的情况．对于矩阵 A ， 2 E A   0 0 0 0 0 0      0 1  1      ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是 ~A C ．对于矩阵 B ， 2   E B      0 0 0 1 0  0 0 1 0      ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值 2 只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然 ,B C 不相似故选择（B）． 7．设 ,A B ，C 是三个随机事件，且 ,A C 相互独立， ,B C 相互独立，则 A B 与C 相互独立的充分必要条件是（）（A） ,A B 相互独立（B） ,A B 互不相容 2

（C） ,AB C 相互独立（D） ,AB C 互不相容【详解】 (( ) P A B C  )  ( P AC AB  )  ( P AC )  ( P BC P ABC  ) ( )  ( ( P A P C ) )  ( P B P C P ABC  ) ( ) ( ) ( ( P A B P C  ) )  ( ( ) P A  ( P B )  ( ( P AB P C )) )  ( ( P A P C ) )  ( ( P B P C P AB P C  ) ( ) ( ) ) 显然， A B 与C 相互独立的充分必要条件是 ( P ABC )  ( ( P AB P C ) ) ，所以选择（C ）． 8．设 1 X X , ,  , 2 X n  ( n 2) 为来自正态总体 ( N  的简单随机样本，若 ,1) X 1 n   ，则 n  1 i X i 下列结论中不正确的是（）（A） n  ) X  ( i i 1  2 服从 2 分布（B）  2 nX X 1 2 服从 2 分布（C） n  X ( i i 1  2 X ) 服从 2 分布（D） n X  服从 2 分布 ( ) 2 解：（ 1 ）显然 ( X i   ) ~ N (0,1)   X ( i 2   2 ) ~ (1), i 1,2,   且相互独立，所以 n n  ) X  ( i i 1  2 服从 2( )n 分布，也就是（A）结论是正确的；（2） n  i 1  ( X i  2 X )  ( n  1) S 2  ( n 2 S 1)  2  ~ 2 ( n  1) ，所以（C）结论也是正确的；（3）注意 X N ~ ( ,  是正确的； 1 n )  ( n X   ) ~ N (0,1)  ( n X  2 (1)   2 ) ~ ，所以（D）结论也（4）对于选项（B）： ( X n  X ) ~ 1 N (0,2)  X n X 1  2 ~ N (0,1)  1 2 ( X n  X 2 ) ~ 1 2 (1)  ，所以（B）结论是错误的，应该选择（B）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．     3 (sin x  2   2 x dx )  ．解：由对称性知     3 (sin x  2   2 x dx )  2   0 2   2 x dx  3  2 ． 10．差分方程 1 2   y t y t  的通解为 2t ．【详解】齐次差分方程 1 2   y t y t  的通解为 0 y C 2x ； 3

设 1 2   y t y t  的特解为 2t ty at 2t ，代入方程，得 a  ；所以差分方程 1 2   y t y t  的通解为 2t y C  t 2  1 2 t t 2 . 1 2 11．设生产某产品的平均成本 ( C Q 【详解】答案为1 (1   QQ e ) ． ) 1   ，其中产量为Q ，则边际成本为 e  Q . 平均成本 ( C Q ) 1   ，则总成本为 ( C Q QC Q Q Qe  e     ) ( ) Q Q ，从而边际成本为 C Q  ( ) 1 (1    Q e  ) .Q 12．设函数 ( , f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知 ( , df x y ) )  y ye dx  x (1  y ) y e dy ， f (0,0) 0  ，则 ( , f x y  ) 【详解】 ( , df x y )  y ye dx  x (1  y ) y e dy  ( d xye y ) ，所以 ( , f x y )  y xye  ，由 C f (0,0) 0  ，得 0C  ，所以 ( , f x y )  y xye ． 13．设矩阵 A       1 0 1 1 1 2 0 1 1      的秩为． ,   为线性无关的三维列向量，则向量组 1 ， 1 A    3 A A , , , 2 3 2 【详解】对矩阵进行初等变换 A       1 0 1 1 1 2 0 1 1            1 0 1 0 1 1 0 1 1            1 0 1 0 1 1 0 0 0      ，知矩阵 A 的秩为 2，由于 1 ,   为线性无关，所以向量组 1 A    的秩为 2． A A , , , 2 3 2 3  2  ，  P X 1 2  1  ，  P X a  3  ，若 b 14．设随机变量 X 的概率分布为  EX  ，则 DX  ． 0 P X   【详解】显然由概率分布的性质，知 1 1 a b   2          a b a 3 3 b 1 0   ，解得 EX 2 EX 1 12 2 a    2 9 b  ， 9 2 DX EX  2  2 ( E X ) 三、解答题 15．（本题满分 10 分） 4  1 4 , b  1 4 a 9 2  ．

求极限 lim  0 x x  0 t x te dt  x 3 【详解】令 x t   ，则 u t   x u dt ,   ， du x  0 x te dt  t  x  0 ue x u du x  0 lim 0 x   t x te dt  x 3 x e  lim 0 x   x  0 u  ue du 3 x  lim 0 x   x  0 u  ue du x 3  xe lim 3 2  0  x   x x 2 3 16．（本题满分 10 分） y 2  D (1  x 3  y 4 2 ) 计算积分区域．【详解】 dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y x 与 x 轴为边界的无界 y 2  D (1  x 3  y 4 2 ) dxdy   0 x dx  0 3 y 2 dy 4 ) y 4 2 )  1 4 1 4 (1 x   (1 x d  x 2 (1 x  1 1 2   2 y 2 4 2 )  y     x 2 0  1 x    0 dx   0    1 dx   8  1    2 2       17．（本题满分 10 分）求 lim n  n  k 1  k 2 n k   ln 1  n   【详解】由定积分的定义 lim n  n  k 1  k 2 n  ln 1    k n      n  k 1  k n  ln 1    ln(1  ) x dx 2  1 n 1 lim n  1 2  0 k   n  1 4  1  0 ln(1 x  ) x dx 18．（本题满分 10 分）已知方程 1 ln(1  x )   1 x k 在区间 (0,1) 内有实根，确定常数 k 的取值范围．【详解】设 ( ) f x  1 ln(1   1 x x ) , x  (0,1) ，则  ( ) f x   1 (1  x 2 )ln (1  x )  1 2 x  )ln (1 (1 x  2 (1 x  2 ) x x  ) )ln (1 x   2 x 2 令 ( ) g x (1   x 2 )ln (1  x ) 2  ，则 x g (0) 0,  g (1)  2 2ln 2 1  5

2    ( ) g x ln (1 2(ln(1 1 由于 (0) 0  ( ) g x g  x   ) 2ln(1  ) x x  x )   x ) 2 , x g   (0) 0  0, x  (0,1) ，所以 ( ) g x 在 (0,1) 上单调减少，  ，所以当 (0,1) x   时， ( ) g x  g 0) 0  ，也就是 ( )g x g x 在 (0,1) 上单调 ( ) 减少，当 (0,1) x  时， ( ) g x g 在 (0,1) 上单调减少． (0) 0  ，进一步得到当 (0,1) x  时， ( ) 0 f x  ，也就是 ( ) f x lim ( ) f x x  0   lim 0 x      1 ln(1   x ) 1 x     lim 0 x   ln(1 ) x x   ) ln(1 x x   1 2 ， f (1)  1 ln 2 1  ，也就是得到 1    ． 1 ln 2 19．（本题满分 10 分） 1 2 k a 设 0  1, a 1  0, a n 1   1  1 n ( na n  a n 1  )( n  1,2,3 ),  ， ( )S x 为幂级数   n  0 n a x n 的和函数（1）证明   n  0 n a x n 的收敛半径不小于1．（2）证明 (1   ( ) ) x S x  xS x x   ( 1,1)) ，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件 1  n a  na  a n n 1  )   ( n 1) a n 1   na n  a n 1  ( ) 0(  1 ( 1  n 也就得到 ( n  1)( a  a n )   ( a n  a n 1  ) n 1  ，也就得到 1   a n a n  a a n n 1    1 , 1  n n  1,2,  a a  1 n  a a  1 0 n  a n a n 1    a a n n 1   a a n n 1  a  n a  n 2  1     2 a a 1 a  1 a  0   ( 1) n 1  ( n 1)! 也就得到 a   1 n a n   ( 1) n 1  1  ( n 1)! , n  1,2,  a n 1   ( a n 1   a n )  ( a n  a n 1  )    ( a 2  a 1 )  a 1  n  ( 1) k  2 k 1  1 ! k   n lim n  a n  lim n  n 1 1 2! 3!     1 ! n n  lim n  e  1 ，所以收敛半径 1R  （2）所以对于幂级数   n  0 n a x n ，由和函数的性质，可得  ( ) S x 6    n 1  n 1  na x n ，所以

(1   ( ) ) x S x (1   x )   n 1  na x n n 1     n 1  na x n n 1     n 1  n na x n    n  0 ( n  1) a x 1 n  n    n 1  n na x n  a 1    n 1  (( n  1) a  ) na x n n n 1     n 1  a x 1 n  n    a x n 也就是有 (1   ( ) ) x S x  xS x ( ) 0(  x n  0 ( 1,1))   ． n 1   x   n  0 n a x n  ( ) xS x xS x ( ) 0  ，得 ( ) S x  xCe  1 x  ，由于 S (0) a 0 1  ，得 1C  解微分方程 (1   ( ) ) x S x  所以 ( ) S x  xe  1 x  ． 20．（本题满分 11 分）设三阶矩阵 A    3  , , 1 2   有三个不同的特征值，且 3 22 .      1 （1）证明： ( r A  ； 2 ) （2）若     3   1 2 , ，求方程组 Ax  的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是 ( r A  ． ) 1 假若 ( r A  时，则 0 r  是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有 ( ) 1 r A  ，又因为 ) 2 22      3 1  ，也就是 1 0 ,   线性相关， ( r A  ，也就只有 ( ) 3 r A  ． 2 ) , 2 3 （ 2 ）因为 ( r A  ，所以 2 ) Ax  的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于 0 22      3 1  ，所以基础解系为 0 x 1     2      1  ；又由     3   1 2 , ，得非齐次方程组 Ax  的特解可取为 1     1     1   ；方程组 Ax  的通解为 x  k 1   2   1        1     1     1   ，其中 k 为任意常数． 7

21．（本题满分 11 分）设二次型 ( , f x x x 3 , 1 2 )  2 2 x 1  x 2 2  2 ax 3  2 x x 1 2  8 x x 1 3  2 x x 2 3 在正交变换 x Qy 下的标准形为 2 y   1 1 2 y 2 2 ，求 a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵 A  2   1   4  1 1  1 4  1 a      因为二次型的标准形为 2 y   1 1 2 y 2 2 ．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 0A  ，故 2. a   E A   1   1 4 1  1   1  4 1   2     3)(  ( 6) 令 E A    得矩阵的特征值为 1 0   3,   2 3 6,   ． 0 通过分别解方程组 ( ) iE A x    得矩阵的属于特征值 1 3   的特征向量 1  0  属于特征值特征值 2 6  的特征向量 2   1 2 1   0   1       ， 3 0  的特征向量 3   ，      1  1  1  3 1   1   1   2   6 1     ，  , 2 , 1    所以 1 2 1 3 1 3 Q    3           22．（本题满分 11 分）设随机变量 ,X Y 相互独立，且 X 的概率分布为  P X 1 6 2 6 1 6          1 3 1 2 0 为所求正交矩阵．   0  { P X  2}  ，Y 的概率密度 1 2 为 ( ) f y   2 ,0 y y    0,  其他 1 ．）；（1）求概率 P Y EY（（2）求 Z X Y EY  【详解】（1）      的概率密度． yf Y ( ) y dy  1 0  2 2 y dy  2 3 . 8

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