第 25 卷 第 4 期 2008 年 4 月 计 算 机 应 用 研 究 Application Research of Computers Vol. 25 No. 4 Apr. 2008 二 次 均 匀 B 样 条 曲 线 的 双 圆 弧 逼 近 方 法 * 王国 兵1 a, 侯 增选1 b, 卢建彪 2 , 武君胜 1a ( 1. 西北 工业 大学 a. 软 件 与 微 电 子 学 院 ; b. 现 代 化 设 计 与 集 成 制 造 技 术 教 育 部 重 点 实 验 室 , 西 安 710072; 2. 清华 大学 软 件学 院 计算 机图形 学与 辅助 设计 研究 所, 北京 100084) 摘 要: 提 出了 一种 用双 圆弧 对二 次均 匀 B 样 条曲线 的 分 段逼 近 方 法。 首先 , 对一 条 具 有 n + 1 个 控 制 顶 点 的 二次 均匀 B 样条 曲线按 照相 邻两 节点 界定 的区 间分 成 n - 1 段只 有 三个 控 制 顶点 的 二 次均 匀 B 样 条 曲 线段 ; 然 后对 每一 曲线 段构造 一条 双圆 弧进 行逼 近。 所构造 的双 圆弧 满足 端点 及端 点切 向量 条件 , 即 双圆 弧 的 两个 端 点 分别 是所 逼近 的曲线 段的 端点 , 而且双 圆弧 在两 个端 点处 的 切 向量 是 所 逼 近 的 曲线 段 在 端 点 处 的 单 位切 向 量 。 同时 , 双 圆弧 的连 接点 是双 圆弧 连接点 轨迹 圆与 其所 逼近 的曲 线段 的交 点。这 些新 构造 出来 的双 圆 弧 连接 在 一 起构 成了 一条 圆弧样 条曲 线, 即 二次均 匀 B 样 条曲 线的 逼近 曲线 。另外 给出 了逼 近误 差分 析和 实例 说明 。 关键 词: 双 圆弧 ; 二次 均匀 B 样条 曲线 ; 逼近 中图 分类 号: TP391 文 章编 号: 1001- 3695( 2008) 04- 1087- 03 文 献标 志码: A Biarc approach for approximating quadratic uniform B-spline curve WANG Guo-bing1a, HOU Zeng-xuan1b, LU Jian-biao2, WU Jun-sheng1a ( 1. a. College of Software & Microelectronics, b. Key Laboratory of Design & Integrated Manufacturing Technology for Ministry of Education, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072 , China; 2 . 100084, China) Institute of CG&CAD, School of Software, Tsinghua University, Beijing Abstract: A biarc method for piecewise approximating quadratic uniform B-spline curve was presented. First, a quadratic uniform B-spline curve with n + 1 control points was divided into n - 1 segments controlled by only three control points in a knot interval. Then, one biarc was constructed to approximate each segment. The biarc has the same end points and the same unit tangent vectors with those of the approximated segment. In the meantime, the joint point of the biarc was the intersection point between the segment and the locus of the joint points of the biarc, which was a circle. In this way, an arc spline, which consisted of the built biarcs, was obtained, which approximated the given quadratic uniformB-spline curve. Some error analy- sis on the approximation error and some examples were provided as well. Key words: biarc; quadratic uniform B-spline; approximation B 样条曲线广泛用于自由型曲线曲面设 计。 其中, 二 次均 匀 B 样条曲线是 形式 最简 单的 曲线 之一, 具 有 几何 一阶 连 续 性、形状简单、使用灵活的特点 [ 1 ～3] 。但在数控加工中, 因 为刀 具路径通常是由线段和圆弧组成的, 所以大多数情况下需要将 曲线转换成为由圆弧与直线段组成的圆弧样条进行表示, 而后 进行加工 [ 3 ～16] 。为了提 高效 率, 通常采 用圆 弧样 条 [ 3 ～16] 。当 前研究 [ 3 ～13] 中, 用圆弧样条对曲线进行逼 近, 主要 分为单圆 弧 和双圆弧两种方法。连接点处 连续性 的单圆 弧算法 与双圆 弧 算法比较而言, 优点是可 以减少 所使用 的圆弧 段数, 缺点是 一 旦初始顶点处的切线方向确定, 整条圆弧样条就完全惟一确定 下来, 因而缺乏灵活 性。 另一方 面, 由 于除初 始确定 切线方 面 的顶点, 其他顶点处的切 线方向 因此也 确定下 来, 对 多个顶 点 处有切线方向要求的情 况, 就不适 合采用 了。 此外, 单圆弧 稳 定性不 好, 改动 初始 点或 初始切 向, 整条 曲线 都要 跟着 变动。 而双圆弧方法则不存在这 些缺点。给 定两个 端点以 及端点 处 对应的单位向量, 可以用双圆弧进行逼近。双圆弧逼近方法具 有通过性好的特点。本文采用了 双圆弧 对二次 均匀 B 样条 曲 线逼近。该方法的优点主要是误差小且计算相对简单。 1 双圆弧的确定 1. 1 双圆弧 双圆弧的定义 [ 3 ～13] 为: 给定 不同 的两 个点 P1 和 P2, 以 及 在点 P2 处的单位向 量 t1 和在 点 P2 处的 单位 向 量 t2, 设 圆 弧 A1 和 A2 满足下列条件: a) A1 以 P1 为起点, 且在起点处的单位切向量为 t1; b) A2 以 P2 为终点, 且在终点处的单位切向量为 t2 ; c) A1 的终点 I 是 A2 的起点; d) A1 和 A2 在点 I 处具有共同的单位切向量。 则由圆 弧 A1 和 A2 共 同组成 的曲线 段称为 双圆弧。点 I 称 为 双圆弧的连接点。 1. 2 二次均匀 B 样条曲线 给定 n + 1 个控 制点 di ( i = 0, 1, …, n) , 节 点矢 量 为 U = { u0 , u1, …, un +3} , 二次 B 样条曲线的表达式 [ 17] 为 n S( u) = ∑ i= 0 diNi, 2( u) , u∈[ u2, un+ 1] 收 稿日期 : 2007- 01- 02; 修 回日期 : 2007- 04- 15 基 金项 目: 国 家自 然科学 基金 资助项 目( 60403047) 作 者简介 : 王国 兵 ( 1980- ) , 男, 福建 莆 田人 , 硕士 研 究生 , 主 要研 究 方向 为 计算 机 辅助 几 何设 计 和计 算 机动 画 ( wgb168@ gmail. com) ; 侯增 选 ( 1964- ) , 男 , 副教授 , 博 士, 主要 研究方 向为 数字化 产品 建模技 术与 现代化 集成制 造; 卢建 彪 ( 1980- ) , 男, 河 北 任丘 人 , 硕士 , 主要 研 究方 向 为计 算 机辅助 几何设 计和 计算机 软件 ; 武 君胜( 1962- ) , 男, 教授, 博士 , 主要研 究方 向为软 件工程 、计算机 软件及 应用 . 

·8801· 计 算 机 应 用 研 究 第 25 卷 理: 定理 1 若‖P i+ 1 - Pi ‖ = ‖Pi +1 - Pi + 2‖, 则二次均匀 B 样条曲线 段 与 双 圆 弧 连 接 点 的 轨 迹 圆 无 交 点; 若 ‖ Pi + 1 - P i‖≠‖Pi +1 - Pi +2 ‖, 则二次均匀 B 样 条曲线段与 双圆弧 连 接点的轨迹圆有且只有一个交点。 , u∈[ ( ui +1ui +2] 证明 为了计算方 便, 二 次均 匀 B 样条 曲 线段 可通 过 平 移、缩放和旋转, 使得新的坐标P′i 、P′i+ 1、P′i +2 分别对应 Pi 、Pi +1、 P i +2, 且P′i的坐标为( 0, 0) , P′i +1 的坐标 为( x, y) , P′i +2 的 坐标 为 ( 1, 0) 。则可得 sin θ0 = y/ x2 + y2 sin θ1 = - y/ ( x - 1) 2 + y2 槡 槡 cos θ0 = x / x2 + y2 cos θ1 = ( 1 - x) / ( 1 - x) 2 + y2 槡 双圆弧轨迹圆的半径 [ 3] 是 ‖R‖ =1 /2 |sin( ( θ0 - θ1 ) /2 ) | 双圆弧轨迹圆的圆心 [ 3] 是 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) { { ( u - ui ) ( u - ui) , u∈[ ( ui - ui +1] ( ui +2 - ui ) ( ui +2 - ui) ( u - ui) ( ui +2 - u) 其中: 二次 B 样条曲线的基函数为 Ni,2( u) =      ( ui+2 - ui) ( ui +2 - ui +1) ( ui +3 - u) ( u i+ 3 - u) , u∈ [ ( u i+ 2ui +3 ] + ( ui +3 - u) ( u - ui +1) ( ui +3 - ui +1) ( ui +2 - ui +1) ( ui + 3 - ui + 1) ( u i+ 3 - u i+ 2) 0, u∈( - ∞, ui ) ∪ ( ui +3 + ∞) 若令 ui = u0 + ia( i = 0, 1, …, n + 3) ( 其中: u0 和 a 为 给定的 常 数) , 则曲线 S( u) 为一 条二次 均匀 B 样条 曲线。按 照每 相 邻 两个节点界定一个参数 区间[ ui +2 , ui +3 ] ( i = 0, 1, …, n - 2) 为 一段进行分割, 则整条二次均匀 B 样条曲 线可以 分成 n - 1 段 曲线段。其中每一条曲线段只 有三个 控制顶 点能够 对它产 生 影响。这样, 在第 i 段, 即在节点 区间[ ui +2 , ui +3 ] ( i = 0, 1, …, n - 2) 内, 曲线段的表达式为 Si( u) = 1 /2 a2 { d i( u0 + ( i + 3) a - u) 2 + di + 1[ ( u - u0 - ( i + 1) a) ( u0 + ( i + 3 ) a - u) + ( u0 + ( i + 4) a - u) ( u - u0 - ( i + 2) a) ] + x( O) = 1 /2 y( O) = - ( x2 + y2 槡槡 ( 1 - x) 2 + y2 + x - x2 - y2) /2y di +2( u - u0 - ( i + 2 ) a) 2} ; i =0 , 1, …, n - 2 ( 1) 不失一般性, 令 t = u - u0 - ( i + 2) a, 式( 1) 可以转换为 Si( t) = ( di - 2d i+ 1 + di + 2) /2t2 + ( di +1 - di) t + ( di + di +1 ) /2 ( 2) 令 P i = ( di + di +1 ) /2, Pi + 1 = di +1, Pi +2 = ( di + 1 + Pi +2 ) /2, 则式( 2) 可转换 成 Si ( t) = Pi ( 1 - t) 2 + 2Pi +1 ( 1 - t) + Pi + 2t2; 0≤t≤1, i = 0, 1, …, n - 2。 它的端点处具有如下性质: Si ( 0) =( di +di +1) /2 = Pi Si ( 1) =( di +1 +di +2) /2 = Pi+2 S′ i ( 0) =( di +1 +di) =2( di+1 - Si( 0) ) =2( di +1 - Pi) S′ i ( 1) =( di +2 +di +1) =2( Si( 1) - di +1) =2( di +2 - Pi +1)      ( 3) 由式( 3) 可知, Pi、Pi +1 为第 i 段二次均匀 B 样条 曲线段 的 两个端 点, 两 个 端 点 的 单 位 向 量 分 别 为 ( Pi +1 - Pi ) /‖ Pi - Pi +1‖, ( Pi + 2 - Pi +1 ) /‖ Pi + 1 - Pi +2 ‖ ( 注: 在 本 文 中 x( p) 、 y( p) 表示点 p 在 X 和 Y 轴上的坐标值; ‖T‖表示 向量 T 的长 度) 。双圆弧分段逼近二次均匀 B 样条曲线 的方法描 述为: 用 于逼近的双圆弧的两个端 点及其 单位向 量相 对应 二次 均匀 B 样条曲线段的两个端点及其单位向量, 并且双圆弧在连接点处 光滑相切。 1. 3 连接点的选择 从双圆弧的定义可知确定双圆弧需要六个条件, 而双圆弧 逼近方法的描述现包含只有五个条件, 所以还需要一个约束条 件, 才能确定双圆弧的连接点。双圆弧的连接点的轨迹是一个 圆 [ 3] , 在这个轨 迹 圆 上 选 择 一 个连 接 点 的 方 法 有 无 限多 种。 所以选择合适的连接点的确定 方法将 直接影 响到逼 近光顺 性 和逼近效果。文献[ 10, 11] 在进 行三次 样条双 圆弧逼 近, 提 出 了在双圆弧与样条的交点 作为双 圆弧的 连接点。该 方法的 优 点是计算简单, 而且逼近误差小。利用该方法的双圆弧逼近二 次均匀 B 样条曲线段如图 1 所示。其中: 根据式( 2) , 可知 Pi、 Pi +2为第 i 段二次均匀 B 样条曲线段 Si( t) 的两个端点, 为该曲 线段的控制顶点; I 为 Si( t) 与双 圆弧连 接点的 轨迹圆 的交点; O 为双圆弧轨迹 圆 的圆 心; OL、OR 分 别 为双 圆 弧 相对 应 的 圆 心; R 为轨迹圆的半径; θ1 为从向量( P i+ 1 - P) 沿逆时针方向到 向量( Pi +1 - P) 所成 的有向 角; θ2 为 从向 量( P i+ 2 - Pi +1 ) 沿 顺 时针方向到 向量( P i+ 2 - Pi +1 ) 所 成的 有向 角。 于是 有以 下 定 设交点存在, 则在 I 点满足: [ x( Si( t) ) - x( O) ] 2 + [ y( Si ( t) ) - y( O) ] 2 = R2 ( 7 ) 其中: 0 < t < 1。 由式( 3) ～( 6) , 将式( 7) 展开并可转换为 t( t - 1) { ( 4x2 + 4y2 +1 - 4 x) t2 + ( - 4x2 - 4y2 + 1 ) t - 2[ ( x2 + y2) ( ( 1 - x) 2 + y2 ) - x2 - y2) ] } = 0 槡 设 f( t) = ( 4x2 + 4y2 + 1 - 4x) t2 + ( - 4x2 - 4y2 + 1) t - 2[ ( x2 + y2) ( ( 1 - x) 2 + y2 ) - x2 - y2] : 槡 当 x2 > ( 1 - x) 2 , 即 x > 0. 5 时, f( 0) f( 1) < 0; 当 x2 = ( 1 - x) 2 , 即 x = 0. 5 时, f( 0) f( 1) = 0; 当 x2 < ( 1 - x) 2 , 即 x < 0. 5 时, f( 0) f( 1) < 0。 当 x = 0. 5 时, 即 ‖ Pi +1 - Pi ‖ = ‖P i+ 1 - Pi +2 ‖, f( t) = 4y2 t2 ( t - 1) 2, 则 f( t) = 0 在 t∈( 0, 1) 没 有实根, 可得此时双 圆 弧的轨迹圆在 t∈( 0, 1) 不会与相对应的 二次均匀 B 样条曲 线 段相交点; 当 x≠0. 5 时, 即 ‖Pi +1 - Pi‖ ≠‖P i +1 - Pi +2 ‖, 一 元二次方程 f( t) = 0 有且只有一个实根, 则可得 此时二次均 匀 B 样条曲线段 与 双圆 弧连 接 点的 轨迹 圆 有 且只 有 一 个交 点。 得证。 定理 1 与文献[ 10, 11] 所提 到 在两 节点 间 的样 条曲 线 与 双圆弧连接点的 轨迹 圆 有且 只 有一 个交 点 的结 论有 所 不同。 根据定理 1, 当‖Pi +1 - Pi ‖ = ‖ Pi +1 - Pi + 2‖, 可 知此 时得 不 到双圆弧连点, 但为了保证 整条曲 线的光 顺性, 双圆 弧退化 成 单圆弧来进行逼近。其中: 单圆弧的两个端点及其单位切向量 对应曲线 段 的 两 个 端 点 和 单 位 切 向 量; 当 ‖ P i+ 1 - Pi ‖ = ‖P i+ 1 - Pi +2‖, 此时二次均匀 B 样条 曲线段 与轨迹 圆有且 只 有一个交点, 通过求解一元二次方程 f( t) = 0 在 t∈( 0, 1) 内 的 解, 可以求出交点 I, 并把此交点 作为双 圆弧的 连接点, 根据 上 述双圆弧逼近的描述可以确定出双圆弧。 2 算法 综上所述, 此双圆 弧逼 近 二次 均匀 B 样 条 曲线 的算 法 描 述如下: 输 入: 一条二 次均 匀 B 样条曲 线, 它 具有 n + 1 个 控制 点 di ( i = 0, i =0 。 其 中: ui = u0 + ia( i = 0 , 1, … , n + 1, …, n) , 节点 矢量 为 U = { ui } n +3 3) ( u0 和 a 为 给定的 常数) 。 输 出: 所有逼 近二 次均匀 B 样 条曲 线段的 双圆 弧。 

第 4 期 王国 兵, 等: 二 次均匀 B 样条 曲线 的双 圆弧 逼近 方法 ·9801· B 样条曲线的图形表示。其中: 二次均匀 B 样条曲线用光滑 的 线表示; 用于逼近的双圆弧所组成的曲线用虚线表示。 表 1 交 点坐 标以及 误差 序 号 交 点 坐 标 误 差 序 号 交 点 坐 标 误 差 1 2 ( 2. 710 935, 2. 644 144) 无 0. 042 893 0. 077 775 3 ( 3. 469 849, 3. 064 088) 0. 031 551 4 ( 5. 020 204, 2. 153 511) 0. 006 297 5 6 7 8 ( 6. 151 199, 1. 949 425) ( 6. 293 297, 1. 066 024) 0. 007 430 0. 023 936 ( 5. 265 869, 0. 520 379) 0. 075 213 ( 4. 506 751, 1. 260 423) 0. 065 080 步 骤 1 按 照 每 相 邻 两 个 节 点 界 定 一 个 参 数 区 间 [ ui +2 = ui +3 ] ( i = 0 , 1, …, n - 2) 为 一段进 行分 割, 把 整条 二 次 均匀 B 样 条 曲 线分 成 n - 1 段曲 线段 。其中 : 每一条 曲线段 只有 三 个控 制 顶点 能 够对 它 产生 影响。 步 骤 2 令从 i = 0 开 始, 第 i 段 的 二 次 均匀 B 样条 曲 线 段 的控 制 顶点为 d i, di +1 , di +2, 使 得 Pi = ( di + di = 1 ) /2, P i +1 = di +1, Pi +2 = ( di + 1 + di + 2) /2。 步 骤 3 若 ‖Pi + 1 - P i‖ = ‖Pi + 1 - P i +2‖, 跳 到步骤 4; 否则 进入 步骤 5 。 步 骤 4 作一 条单圆 弧逼 近二次 均匀 B 样 条曲 线 段。 其中 单 圆弧 的两个 端点及 其单 位向量 分别对 应 曲 线 段的 两 个 端 点 和单 位 向 量, 跳 到步骤 6。 步 骤 5 求出 双圆弧 的连 接点轨 迹圆与 该二 次均 匀 B 样条 曲 线段 的惟一 交点 I 并作 一条 双 圆弧 逼 近 该 曲线 段 , 使 得双 圆 弧 的 两个 端 点 及其单 位向量 分别 对应曲 线段的 两 个 端 点和 单 位 向 量, 双 圆 弧 的连 接 点为交 点 I, 并 且双 圆弧在 连接 点光滑 相切 , 跳 到步骤 6。 步 骤 6 令 i = i + 1, 循环步 骤 2 ～5 , 直 到 i > n - 1。 步 骤 7 算法 结束。 3 误差分析 逼近的误差分析, 对于修正曲线逼近程度十分重要。计算 双圆弧逼近曲线误差时, 多采用法向误差 [ 7, 12] , 即 参考文献: e = max{ ρ L , ρ R } ( 8) [ 1 ] 雍俊海 , 胡 事民, 孙家 广. 均 匀 B 样 条曲 线 的 降 阶 [ J] . 计算 机 其中: ρL、ρR 分别为左右两段逼近的误差 绝对值的 极值; e 为 误 差。已知第 i 段二次均匀 B 样 条的曲 线方程 为 Si ( t) , 若曲 线 段能与双圆弧的轨迹圆 在 t∈ ( 0, 1) 相交, 则 可以 求出 相交 时 的 t 值 t0 和左右双圆弧的圆心 ρL、ρR 及半径 rL、rR, 则可以得 学报, 2000, 23 ( 5) : 537- 540. [ 2] 谢进, 洪 素珍. 带形 状参 数的二 次 B 样条 曲 线[ J] . 计算 机 辅助 工 程, 2006 , 15 ( 2 ) : 15-19. [ 3] 雍俊海 . 曲线曲 面造型 中几 何逼近 问题 的研究 [ D] . 北京 : 清华 大 学计算 机科学 与技 术系, 2000. ( 9) [ 4] 苏步 青, 刘 鼎 元. 计 算 几 何 [ M] . 上 海: 上 海 科 学 技 术 出 版 社 , { L = |‖Si ( t) - OL‖ - rL |, t∈ ( 0, t0) ρ ρ - OR‖ - rR |, t∈( t0 , 0) R = |‖Si( t) 根据式( 8) 和( 9) 求出 e。若 双圆弧 的轨 迹圆 与曲 线段 不 存在交点时, 从上述分析 可知双 圆弧退 化为单 圆弧, 可以求 出 单圆弧的圆心 O, 则此时误差公式( 7) , 可以转换为 e = max{ ρ L , ρ R } = max‖Si ( t) - O‖ = ‖ Si( 0 . 5) - O‖ ( 10) 1981 : 195- 204. [ 5] 卢建彪 , 雍 俊 海. 二 次 Bézier 曲 线 的 双 圆 弧 样 条 插 值 二 分 算 法 [ J] . 计 算机应 用研 究, 2006, 23 ( 8) : 172-173. [ 6] YONG Jun-hai, CHEN Xiao, PAUL J C. An example on approxima- tion by fat arcs and fat biarcs[ J] . Comp uter A ided Design, 2006, 从而可求出单圆弧与二次均匀 B 样条曲线段的误差。 38 ( 5) : 515-517. 4 实例 给定一条二次均匀 B 样条曲线, 它具有 10 个 控制点从 d0 到 d9 的坐标依次为( 0. 5, 2) , ( 1. 5, 3) , ( 2. 5, 2) , ( 3, 3. 5) , ( 5, 2) , ( 6. 5, 2) , ( 6. 0, 1) , ( 4. 5, 0. 2) , ( 4. 5, 2) , ( 6, 1. 5) , 节点 矢 量为 U = { i} 12 i =0 , 曲线的参数区间为 [ 2, 10] 。该 条二次 均匀 B 样条曲线按照每相邻两节点界定的区间为一段, 则可以分为八 段二次均匀 B 样 条曲 线段, 然 后对 每条 曲线 段 分别 构造 一 条 双圆弧进行逼近。表 1 描述的是 按顺序 各二次 均匀 B 样条 曲 线段与双圆弧连接点的轨迹圆 弧的交 点坐标 及双圆 弧逼近 的 误差。其中: 第 一 个 曲 线 段 的 三 个 控 制 点 为 d0 = ( 0. 5, 2) , d1 = ( 1. 5, 3) , d2 = ( 2. 5, 2) 。根 据 pi = ( di + di +1 ) /2, Pi =1 = di + 1, Pi +2 = ( di +1 + di +2 ) /2, 得到 P1 = ( 1, 2. 5) , P2 = ( 1. 5, 3) , P3 = ( 2, 2. 5) 这样有‖P1 - P0 ‖ = ‖P1 - P2‖ = 1. 414 213, 根 据定理 1, 此时双圆弧的连接点的轨迹圆与二次均 匀 B 样 条曲 线段在 t∈( 0, 1) 不 存在 交点, 则 双圆弧 退化 为单 圆弧 进行 逼 近, 然后 根 据 式 ( 10) 可 求 出 误 差。而 在 其 他 曲 线 段 中 均 有 ‖P i +1 - Pi‖≠‖Pi +1 - P i +2‖, 根据定理 1 可得二 次均匀 B 样 条曲线段与双圆弧连接点的轨迹圆均有且存一个交点, 求出此 时交点, 并把此交点作为双圆弧的连接点, 从而确定出双圆弧, 最后根据式( 8) 和( 9) 求 出双圆 弧的误 差。 图 2 是 在 Windows XP SP2 系统下用 VC 8. 0 实 现双 圆弧逼 近例 子中 的二 次均 匀 [ 7] PARK H. Error-bounded biarc approximation of planar curves [ J] . Co mputer Aid ed Design, 2004, 36 ( 12) : 1241-1251. [ 8] JONG C, WONG S Y, LOH T H, et al. An optimization approach for biarc curve-fitting of B-spline curves[ J] . Compute r Aid ed Design , 1996 , 28 ( 12 ) : 951 - 959. [ 9] SCHOENHERR J. Smooth biarc curves[ J] . Computer Aide d De- sign , 1993, 25 ( 6) : 365-370. [ 10] 董 光 昌, 梁 友 栋, 何 援军 . 样条 曲 线拟 合 与双 圆 弧逼 近 [ J] . 应 用 数学学 报, 1978 , 1 ( 4) : 330-340. [ 11] 何 援军. 计算 机图 形学[ M] . 北京: 机械 工业 出版社 , 2006: 361. [ 12] 汪 国平, 孙 家 广. 平 面 NURBS 曲 线 及 其 offset 的 双 圆 弧 的 逼 近 [ J] . 软 件学报 , 2000 , 11 ( 10 ) : 1368-1374. [ 13] 刘续 征, 雍俊 海, 郑国 勤, 等. 约束 双圆弧 插值[ J] . 计算 机 辅助 设 计与图 形学学 报, 2007, 19 ( 1) : 1- 7. [ 14] CHEN Xiao-diao, YONG Jun-hai, ZHENG Guo-qin, et al. Automa- tic G1 arc spline interpolation for closed point set[ J] . Comput er Aided Design, 2004 , 36 ( 12 ) : 1205-1218. [ 15] YONG Jun-hai, HU Shi-min, SUN Jia-guang. Bisection algorithms for approximating quadratic Bezier curves by G1 arc splines [ J] . Co mputer Aid ed Design, 2000, 32 ( 4) : 253- 260 . [ 16] YONG Jun-hai, HU Shi-min, SUN Jia-guang. A note on approxima- tion of discrete data by G1 arc splines[ J] . Computer Aide d Design 1999 , 31 ( 14 ) : 911 - 915. [ 17] 孙 家广. 计算 机图 形学[ M] . 3 版. 北京 : 清华大 学出版 社, 2002.