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2010年江苏高考数学真题及答案.doc
2010 年江苏高考数学真题及答案
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）。本卷满分
160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡
的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5
毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式：
锥体的体积公式: V 锥体=
1
3
Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是高。
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位
．．．．．．．
置上．．.
1、设集合 A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数 a=______▲_____.
[解析] 考查集合的运算推理。3B,
a+2=3,
a=1.
2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i（其中 i 为虚数单位），则 z 的模为______▲_____.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等，z 的模为
2。
3、盒子中有大小相同的 3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同
的概率是_ ▲__.
[解析]考查古典概型知识。 3
6
p
1
2
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质
量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率
分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有_▲___
根在棉花纤维的长度小于 20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数 a=_______▲_________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数，由 g(0)=0，得 a=－1。
6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2
x
4
2
y
12
1
上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到双
曲线右焦点的距离是___▲_______
[解析]考查双曲线的定义。
MF e
d
4
2
，d 为点 M 到右准线 1x 的距离，d =2，MF=4。
2
7、右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是______▲_______
[解析]考查流程图理解。
1 2 2
2
4
2
31 33,
输出
S
1 2 2
2
2
5
63
。
8、函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak
2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k为正整数，a1=16，
则 a1+a3+a5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak
2)处的切线方程为：
2
y a
k
2 (
a x a
k
k
),
当 0
y 时，解得
所以 1
k
a
a
k
2
,
a
1
a
3
a
5
16 4 1 21
。
x ，
ka
2
9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆
2
x
2
y
4
上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的
距离为 1，则实数 c 的取值范围是______▲_____
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2，
| 1
|
c ， c 的取值范围是（-13，13）。
13
圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1，
10、定义在区间
0 , 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作
2
PP1⊥x 轴于点 P1，直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2 的长即为 sinx 的值，
且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，解得 sinx=
2
3
。线段 P1P2 的长为
2
3
11、已知函数
( )
f x
2 1,
x
1,
x
x
0
0
,则满足不等式
f
(1
2
x
)
f
(2 )
x
的 x 的范围是__▲___。
[解析] 考查分段函数的单调性。
1
1
2
2
x
x
x
2
0
( 1, 2 1)
x
12、设实数 x,y 满足 3≤ 2xy ≤8，4≤
x 2
y
≤9，则
3
4
x
y
的最大值是
▲
。
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
(
2
x
y
2
)
[16,81]
，
1
xy
2
[
1 1
,
8 3
]
，
3
4
x
y
(
2
x
y
2
)
1
xy
2
[2,27]
，
3
4
x
y
的最大值是 27。
b
13、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，
a
a
b
6cos
C
，则
tan
tan
C
A
tan
tan
C
B
=____
▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。
当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有：
cos
C ， 2
tan
C
2
1 cos
1 cos
C
C
1
2
，
tan
C
2
2
2
，
tan
A
tan
B
，
2
tan
tan
C
A
tan
tan
1
tan
C
2
1
3
C
B
= 4。
b
（方法二）
a
a
b
6cos
C
6
ab
cos
C a
2
2
6
ab
，
b
2
a
2
c
2
b
2
ab
2
a
2
2
,
b a
2
b
2
3
c
2
tan
tan
C
A
tan
tan
C
B
sin
cos
C
C
cos
B
由正弦定理，得：上式=
1
cos
sin cos
sin
sin sin
A
A
B
B
A
sin
cos
C
C
)
sin(
A B
sin sin
A
B
1
cos
C
2
C
sin sin
sin
A
B
2
c
C ab
c
2
1
6
(
a
2
2
b
)
2
c
1 3
c
2
6
4
2
14、将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
(
S 梯形的周长）
梯形的面积
2
,则 S 的最小值是____▲____。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为 x ，则：
S
(3
1
2
(
x
1)
（方法一）利用导数求函数最小值。
2
)
x
3
2
(1
x
)
4 (3
1
3
2
) (0
x
2
x
x
1)
( )
S x
2
4 (3
13
)
x
2
x
，
( )
S x
x
4 (2
3
6) (1
x
(1
2
)
(3
2 2
)
x
2
x
)
( 2 )
x
2
2
)
x
)
x
(1
6) (1
(3
2 2
)
x
1
3
时， ( ) 0,
递减；当
，
S x
1,
x
x
x
4 (2
3
]
当
x
( ) 0,0
S x
1(0,
3
1
3
故当
x 时，S 的最小值是
32 3
3
。
( 2 )
x
4
3
2(3
x
(1
1)(
x
2 2
)
x
3)
x
1[
3
,1)
时， ( ) 0,
S x
递增；
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令
3
,
t t
x
(2,3),
1
t
(
1 1
,
3 2
)
，则：
S
4
3
t
t
2
2
6
t
8
4
3
1
6
t
1
8
2
t
故当
1
t
3
8
,
x
时，S 的最小值是
1
3
32 3
3
。
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数 t 满足(
AB
OCt
)·OC =0，求 t 的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分 14
分。
（1）（方法一）由题设知
AB AC
(2,6),
AB
AB AC
(4,4).
(3,5),
AC
( 1,1)
，则
AB AC
所以|
| 2 10,|
AB AC
| 4 2.
故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则:
E 为 B、C 的中点，E（0，1）
又 E（0，1）为 A、D 的中点，所以 D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ；
（2）由题设知：OC
=(－2,－1)，
AB tOC
(3 2 ,5
t
t
)
。
由(
AB
OCt
)·OC =0，得： (3 2 ,5
t
，
) ( 2, 1) 0
t
从而5
t 所以
11,
t 。
11
5
或者：
AB OC
·
tOC
2
，
AB
(3,5),
t
AB OC
2
|
|
OC
11
5
16、（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥
DC，∠BCD=900。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空
间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。
（1）证明：因为 PD⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PD⊥BC。
由∠BCD=900，得 CD⊥BC，
又 PD DC=D，PD、DC 平面 PCD，
所以 BC⊥平面 PCD。
因为 PC 平面 PCD，故 PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取 AB、PC 的中点 E、F，连 DE、DF，则：
易证 DE∥CB，DE∥平面 PBC，点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。
又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。
由（1）知：BC⊥平面 PCD，所以平面 PBC⊥平面 PCD 于 PC，
因为 PD=DC，PF=FC，所以 DF⊥PC，所以 DF⊥平面 PBC 于 F。
易知 DF=
2
2
，故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。
（方法二）体积法：连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。
因为 AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而 AB=2，BC=1，得 ABC
的面积
S
ABC
。
1
由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1，得三棱锥 P-ABC 的体积
V
1
3
S
ABC
PD
。
1
3
因为 PD⊥平面 ABCD，DC 平面 ABCD，所以 PD⊥DC。
又 PD=DC=1，所以
PC
2
PD DC
2
。
2
由 PC⊥BC，BC=1，得 PBC
的面积
S
PBC
2
2
。
V
由 A PBC
V
P ABC
，
1
3
S
PBC
h V
1
3
，得
h ，
2
故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 。
17、（本小题满分 14 分）
某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，
仰角∠ABE=，∠ADE=。
(1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出 H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d
（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实
际高度为 125m，试问 d 为多少时，-最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1）
H
AD
tan
AD
H
tan
，同理：
AB
H
tan
，
BD
h
tan
。
AD—AB=DB，故得
H
tan
H
tan
h
tan
，解得：
H
tan
h
tan
tan
4 1.24
1.24 1.20
124
。
因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m。
（2）由题设知 d AB ，得 tan
, tanH
d
H
h
AD DB
H h
d
，
H H h
d
d
H H h
d
d
d
，（当且仅当
1
)
tan(
)
tan
1 tan
tan
tan
d
H H h
(
)
d
2
H H h
(
故当 55 5
d
时， tan(
) 最大。
2
2
因为 0
，则 0
，所以当 55 5
d
时，-最大。
2
d
hd
(
)
H H h
h
(
H H h
)
d
d
)
H H h
(
125 121 55 5
时，取等号）
故所求的 d 是55 5 m。
18、（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆
2
x
9
2
y
5
1
的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。
设 过 点 T （ mt, ） 的 直 线 TA 、 TB 与 椭 圆 分 别 交 于 点 M
(
,
1 yx
1
)
、
(
xN
,
2 y
2
)
， 其 中
m>0,
y
1
,0 2
y
0
。
（1）设动点 P 满足
2
PB
2
4
,求点 P 的轨迹；
（2）设
x
1
,2 2
x
，求点 T 的坐标；
PF
1
3
（3）设 9t
与 m 无关）。
,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运
算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。
（1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由
2
PF
PB
2
4
，得
(
x
2
2
y
[(
x
3)
2
2
y
] 4,
化简得
x 。
9
2
2)
9
2
故所求点 P 的轨迹为直线
x 。
（2）将
x
1
,2 2
x
直线 MTA 方程为：
y
5
3
1
3
分别代入椭圆方程，以及
y
1
,0 2
y
0
3
x
2 3
0
0
，即
y
1
x
3
1
，
5
得：M（2，
3
）、N（
1
3
，
）
20
9
，即
y
x
5
6
。
5
2
3
3
x
1
3
0
直线 NTB 方程为：
联立方程组，解得：
y
20
9
x
y
10
3
（3）点 T 的坐标为 (9,
)m
所以点 T 的坐标为
(7,
)
0
7
10
3
。
，
0
0
0
0
3
x
9 3
3
x
9 3
，即
，即
my
12
my
6
(
x
，
3)
(
x
。
3)
直线 MTA 方程为：
直线 NTB 方程为：
分别与椭圆
2
x
9
y
m
y
m
2
y
5
1
x
联立方程组，同时考虑到 1
23,
x
，
3
解得：
M
(
)
2
3(80
m
2
80
m
,
40
m
80
m
)
2
、
N
(
3(
m
20
2
20)
2
m
,
x
（方法一）当 1
x 时，直线 MN 方程为：
y
40
m
m
y ，解得： 1x 。此时必过点 D（1，0）；
80
2
令 0
2
20
m
20
m
20
m
2
20
m
20
m
20
m
2
)
。
2
x
3(80
m
2
80
m
3(
m
20
)
2
2
20)
2
m
2
3(
m
20
20)
2
m
x
当 1
x 时，直线 MN 方程为： 1x ，与 x 轴交点为 D（1，0）。
2
所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。
x
（方法二）若 1
x ，则由
2
2
240 3
m
2
80
m
3
m
20
2
60
2
m
及
0m ，得
m
2 10
，
此时直线 MN 的方程为 1x ，过点 D（1，0）。
x
若 1
x ，则
2
m
2 10
，直线 MD 的斜率
k
MD
直线 ND 的斜率
k
ND
20
m
2
20
m
2
60
3
m
2
20
m
1
10
m
40
m
2
因此，直线 MN 必过 x 轴上的点（1，0）。
40
m
2
80
m
2
240 3
m
2
80
m
1
10
m
40
m
2
，
，得 MD
k
k
ND
，所以直线 MN 过 D 点。
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