logo资料库

第5章 热传导问题的有限元法.docx

发布时间：2022-06-08 发布人：admin 分类：说明书 资料大小：0.44M 资料格式：docx 举报 版权申诉
第1页 / 共18页
第2页 / 共18页
第3页 / 共18页
第4页 / 共18页
第5页 / 共18页
第6页 / 共18页
第7页 / 共18页
第8页 / 共18页
资料共18页，剩余部分请下载后查看
    （公式排版太混乱，图片模糊，尽量自己画）
    第五章热传导问题的有限元法
    （公式排版太混乱，图片模糊，尽量自己画） 第五章 热传导问题的有限元法 设置格式[SAMLI]: 段落间距段前: 2 行, 段后: 2 行 设置格式[SAMLI]: 项目符号和编号 在变温条件下工作的结构和部件，通常都存在温度应力，有的是稳定的温度应力，有的是随时间变化的瞬 态温度应力。这些应力在结构应力中经常占有相当的比重，甚至成为设计结构或部件的控制应力。要计算这些 应力首先要确定结构或构件工作所在的稳态或瞬态的温度场。由于结构的形状以及变温条件的复杂性，依靠传 统的解析方法要精确地确定温度场往往是不可能的，有限元方法是解决上述问题的有效工具。 本章就一般热粘弹性问题的数值计算给出了相应的有限元程序设计方法并介绍了利用伽辽金法建立稳态和 瞬态的热传导问题有限元格式的过程。 删除[SAMLI]: 方便和 删除[SAMLI]: 的 5.1 非定常温度场的确定 设置格式[SAMLI]: 段落间距段前: 1 行, 段后: 1 行 删除[SAMLI]: 在工程中，材料往往是在非定常温度场中工作。由于约束的作用与粘性滞后的影响，在结构（构件）中产 生了热应力。而对热传导问题的研究本身是在非定常温度场的基础上进行的。故本章首先介绍非定常温度场的 确定。 一般情况下，物体中的温度T 是质点坐标 ), ,( zyx 与时间 t 的函数，对于非定常温度场 热传导方程可表示为 ), tzyxTT  ,( , ， 设置格式[SAMLI]: 非升高量/降低量 删除[SAMLI]: 对于, T  t  -  2  QT c 式中，c 为比热； 2 为拉普拉斯算子；  k ，k 为导热系数，为材料密度； c  源强度。若物体内无热源，则式(5-1-1)可简化为 对于定常的无热源温度场，热传导方程为 T  t    2 T 2  T 0 ), tzyxQQ  ,( , 为确定出物体的温度场T ，热传导方程还应满足相应的初始条件及边界条件。 (5-1-1) 为物体内热 (5-1-2) (5-1-3) 删除[Administrator]: 元
    在工程实际中，非定常温度场一般无法得到解析形式。下面介绍求解非定常温度场的一种数值方法——有 限差分法。 非定常温度场的数值解法 在温度场中，设 ,( yxT ) 是连续函数，令 x  y h ，在点i 的附近， ,( yxT ) 可展开为泰勒级数 TT i    3 1 !3    T x 3       i ' T x  x  x  x i      i  x i 3   1 !4         4 4 1 !2 T x T x    '' 2    i  x  x i 2    x  x i 4   i   4 T x 4   4 T x 4    i    i 4 h 24 4 h 24  …  … 将 x c  x i  h ， x c  x i  h （图 5-1）代入上式，则有 T c  T i    ' T x   h    i '' 2 T x    i T a  T i    ' T x   h    i '' 2 T x    i 2 h 2 2 h 2           3 T x 3   3 T x 3    i    i 3 h 6 3 h 6         当 h 很小时，上式可简化为 解得 图 5-1 T c  T i    ' T x   h    i '' 2 T x    i T c  T i    ' T x   h    i '' 2 T x    i 2 h 2 2 h 2 (5-1-4) (5-1-5) (5-1-6) (5-1-7) (5-1-8)
       T x    i T a T  c 2 h ，    '' 2 T x    i T a   2 TT c i 2 h    T y    i T b T  d 2 h ，    '' 2 T y    i T b  2 T i 2 h  T d 同理可得 所以有  2 T 2 T  2 x   2 T  2 y   1 2 h  T a  T b  T c  T d  i 4 T 对于时间 t 应用差分法，如（式 5-1-2）所示，则有 当无热源时，由式（5-1-2）得    T t    , ji T , ji  1  t  T , ji t 1 j t j  t 1  k 2 T T T 由式（5-1-11），式（5-1-12），式（5-1-13）可知 则有  T , ja  T , jb   T , jd  4 T , ji T , jc 2 h  T , ji    T , ji  1  tk  T , ji  1 T , ji   Ttk  , ja  T , jb  T , jd  4 T , ji  T  , jc 2 h (5-1-9) (5-1-10) (5-1-11) (5-1-12) (5-1-13) (5-1-14) 根据式（5-1-7）可由 jt 时的温度 j iT , ，求出 1jt 时的温度 1 , jiT 。 iT O jiT , , jiT 1 , jiT 1 t t
    将区域划分成网格后有 n 个结点, 可写出 n 个有限差分方程, 连同边界及初始条件, 解这些方程组,可求出域 内每一结点处的温度 Ti ( x , y )的近似值。 图 5-2 5.2 热弹性问题的有限元法 5.2.1 热弹性平面应力问题的本构关系 在介绍热弹性问题的有限元方法前，我们先介绍其本构关系。 对于各向同性弹性体的平面应力问题,设材料的线膨胀系数为，物体中某点处温度变化 为T ，由广义胡克定律，有温度变化的应力-应变关系为  x        xy    y  T   T       x E  y  E  12  E   y E   x E    xy 变换得 写成矩阵形式为 式中 x   T    T        xy  y      x  1   y E 1   x E  12  E  y    xy ε  ε 0  Cσ  ε xy y x T 为应变矩阵； T 0ε  T0T 为温度变化引起的应变；
    1 E 对C            E 1 E 称 0 0  12  E  x σ xy y         T   为柔性系数矩阵； 为应力矩阵 用应变表示应力，则有 式中 为弹性矩阵； 为初应力矩阵。  εCσ   1  ε 0   σDε  0  DB e   Dε  0  BD e  0  ε （5-2-1) 1 CD    E 2   1        1 μ 0 μ 1 10 0 0 μ  2 2        0 Dε σ  0 5.2.2 单元刚度方程 将式(5-2-1)与弹性体非热应力本构方程 比较，并代入下式中 则有 e F  T DBB e  σ  eDB Fe  T DBB yxbe dd dd yxb  T DεB 0 dd yxb  k e e   T DεB dd yxb 0 （5-2-2) 式中 e k T ddDBB yxt 称为单元刚度矩阵， b 为单元厚度。 由式(5-2-2)，则有 该式称为单位刚度方程。 k e e  e F  T DεB dd yxb 0
    5.2.3 温度载荷列阵 式(5-2-2)中 dd0DεB T yxt 项是有温度变化引起的节点载荷列阵，表示为 Te F  T DεB 0 yxb dd 对于平面应力问题，若单元为三角形单元, 上式可表示为 F Te  T DB T   011 T dd yxb 由于位移函数为线性，即单元为三角形常应变单元, 则有 F Te  T DB T   011 T dd yxT （5-2-3) 式(5-2-3)中T 是温度变化场函数，难以给出解析式，即使能够给出，上式也不便于用它形成计算格式。一 般将单元内部的温度T 取为节点温度 iT , jT , mT 插值函数的形式，若为线性插值函数，则是式(5-2-3)为 F Te  1011  DB T b 3  T  T i  T j  T m  (5-2-4a) 式(5-2-4a)中，  为单元面积。将 B  B i B k  1 2  j B b k 0 c k      B m 0   c  k b   k ,   k  i , mj , 和弹性矩阵 D 代入式(5-2-4a)，则温度载荷为 T e F  X i  T  i   Y j  Eb Y i T   16 X j T  j m     b i X m T  Y m c i b j c j b m T c m (5-2-4b) 这里要注意， iX ， iY 是由于单元节点i ， j ， m 有变温而施于结点i 的，一般来说，环绕节点i 的各单元 都有变温，都在节点i 施加节点温度荷载。 由式(5-2-2)有 5.2.4 温度应力 由式(5-2-1)，对常应变三角形单元，有 k e e  e F  F Te (5-2-5)   DB e  0 D   DB e T  D    011 T  S e   TE   T 011 1  
    式中， DB S  称为应力矩阵，取 所以有 此时的初应力为 T  1 3  TT i  j m T   TE   i j   13  T     T m  T011 (5-2-6) e   S  0   TE   i j   13  T    T m  011 T 对于平面应变问题，分别用 E 2 1   ,  1 , 1 替换式(5-2-4)，式(5-2-6)中的 E ，，即可 此时有  T  i T e F  T   m   216  T j   Eb  b i c i b j c j b m T c m e   S  TE T   j i   213     T m   T011 其中，应力矩阵S 为平面应变问题的应力矩阵。 5.3 热粘弹性问题的有限元法 松弛和蠕变是粘弹性材料两个重要的力学性质, 松弛和蠕变两个力学性质之间存在着一一对应的关系，变 温粘弹性蠕变型本构理论内容包括：变温蠕变曲线；由一组恒温蠕变曲线确定沿任一温度历史下的变温蠕变曲 线；终态温度等效蠕变曲线；蠕变型变温粘弹性本构方程。本节仅介绍变温粘弹性蠕变形本构方程及其有限元 方法。关于变温粘弹性蠕变型本构理论的内容请参考有关学术期刊。 5.3.1 变温粘弹性蠕变形本构方程 在变温过程中，热粘弹性材料在经历了 0 到 t 的时间历程后，在 t 时刻的应变为   , d txT   d    , tx  t    J   ij t  0  t  0 ijkt ,  x kl d  d      , xT  d d  (5-3-1) 式中，  txT , 是质点在 t 时刻的温度历史；  T 是温度为T 时的线膨胀系数；  J ijkt t 是终态温度等效蠕变
    曲线函数。 对各项同性材料，由式(5-3-1)，有 e ij  kk  t 0   tJ 2 1 3 1 3  ij kk ， ijs  式中， ije   ij 积蠕变函数。 d   , xS  ij d  d  (5-3-2)   0   tJ 1  t   d  ,  x kk d       d , txT   t  3 0 d      , xT  d d   ij kk ij ，  tJ1 为终态温度等效剪切蠕变函数；  tJ2 为终态温度等效体 5.3.2 变温粘弹性蠕变型本构方程的有限元方法 1.蠕变型本构方程的矩阵形式 由式(5-3-2)简化得蠕变型本构方程的矩阵形式，其为 式中  ,  NtxM   (5-3-3) MMMM    2 1 ， 3 LN 1   L 2  t ，  *  t tx , M 2  1 2    tJ 1 1  J 1    0 M * 2 ML 1    tJ 1 k  t i    tJ 1 k  t i 1     M 3  1 2    tJ 1 2  J 2    0 M * 3    , tx i     , tx i 1     1 2  J 1   0    , tx k 1     tJ 2  t i 1  k    1 2    , tx i     , tx i 1     ML 2    tJ 2 k    t i k 2   * 2       tJ 1 1 0  i k 2  * 3        tJ 1 2 0  i 1 2 1 2  J 2   0    , tx k 1    *   1 3 1 3 1 3 000 T  
    分享到：
    赞 收藏

    相关推荐

    资料库

    课程资源

    共收录17145份资料，累计13个分类，关注成员有19位，主要包括：PHP,网络管理,网页制作,Java,.Net,数据库,3G/移动开发,C/C++,游戏开发,嵌入式,讲义,软件测试,专业指导

    热门标签

    PHP 网络管理 网页制作 Java .Net 数据库 3G/移动开发 C/C++ 游戏开发 嵌入式 讲义 软件测试 专业指导

    最新资料