2008年江苏南京财经大学高等代数考研真题.doc

发布时间：2022-09-22 发布人：admin 分类：说明书资料大小：0.07M 资料格式：doc 举报版权申诉

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1. 2. 2008年江苏南京财经大学高等代数考研真题 (15 分) 设 f (x), g(x) 为两个非 0 多项式, 证明存在正整数 N, 使对任意大于 N 的两个正整数 n, m, 都有 n ( f (x), g(x)) m ( f (x), g(x)). (15 分) 计算n 1阶行列式 a 0 D  M 0 1 2 L n 0 L 0 1 a L 0 2 M O M M 0 L a n 0 . Mi 为 A 中划去第 i 列剩下的(n 1) (n 1) 方阵的行列式. (1) 证明 C (2) 若秩( A) (M , 1 M ,L,( 2 n 1) n 1 T M ) 为 Ax 0 的一个解. n 1, 则 Ax 0 的所有解向量均为 C 的线性组合.

4. 5. 6. 7. (20 分) 证明： (1) 对任何实矩阵 Am n , A 0 当且仅当 A A T 0. (2) 设 Ai (i 1,2,L, t) 为同阶实对称矩阵 , 则 Ai 0 (i 1,2,L, t). t i  A  0 2 i 1 当且仅当 (20 分) 证明：(1) 若 A 为正定矩阵, 则存在正定矩阵 P, 使得 A 2 P . (2) 若矩阵 A,B 同阶,且 A 正定,B 半正定, 则 AB 的特征值均为非负实数. (20 分) 设 X 为数域 P 上线性空间 V 的一个子集, 称 V 在 X 上自由, 若对 P 上任一线性空间 W, 及任一映射 g : X W , 均存在线性映射 f : V W , 使 f 在 X 上的限制 f | X 此时也称 V 是自由的. ( f 是线性映射指: f 是 V 到 g. W 的一个映射, 且保持向量加法及数量乘法运算). 证明: (1) P 上任一 n 维向量空间是自由的. (2) 对无穷维线性空间上述结论是否成立? 若成立, 给出证明; 若否, 给出反例. (20 分) 设为数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换, g(x), h(x) 均为 P 上的多项式, f (x) g(x)h(x), 且 f ( ) 0. 记 U (1) ker(g( )), W ker(h( )), 证明 U 和 W 均为 -不变子空间. (2) 若 g(x)与 h(x)互素, 则V U W . 8. (20 分) 设 V 为数域 P 上的 n 维线性空间, 求证: (1) V 的所有线性变换构成的线性空间 L(V)是 n 2 维的.

(2) (3) 若 A L(V), 则存在次数不超过n 2 的 P 上的多项式 f (x), 使 f ( A) 0. A 可逆当且仅当有一常数项不为 0 的多项式 f (x), 使 f ( A) 0. (要求: 在证明(2)和(3)两小题时, 不允许直接使用 Hamilton-Cayley 定理)

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