2007 年云南高考理科数学真题及答案
注意事项:
1. 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,总分 150 分,
考试时间 120 分钟.
2. 答题前,考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的
位置上.
3. 选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.
4. 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写,字体工整,笔迹
清楚
5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答.超出答题区域或
在其它题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效.
6. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
参考公式:
如果事件 A B, 互斥,那么
(
P A B
如果事件 A B, 相互独立,那么
(
P A B
(
(
P A P B
)
(
P A
(
P B
)
)
)
)
)
球的表面积公式
2
4π
R
S
其中 R 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
V
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
( )
P k
n
n
,,,…,
0 1 2
C p
(1
n k
p
k
k
n
)
(
)
k
3
4 π
R
3
其中 R 表示球的半径
一、选择题
1.sin 210 (
)
A.
3
2
B.
3
2
C.
1
2
D.
1
2
2.函数
y
sin
x
的一个单调增区间是(
)
A.
, B.
3.设复数 z 满足
A. 2 i
3
,
1 2i
i
z
B. 2 i
C.
,
D.
3 2
,
,则 z (
)
C. 2 i
D. 2 i
4.下列四个数中最大的是(
)
A.
(ln 2)
2
B.ln(ln 2)
C.ln 2
D.ln 2
5.在 ABC△
A.
2
3
6.不等式
x
2
x
1
4
中,已知 D 是 AB 边上一点,若
1
3
1
3
B.
C.
0
的解集是(
)
CA
CB
1
3
,则(
)
AD
DB CD
,
2
D.
2
3
A.( 2 1) ,
B.(2
) ,
C.( 2 1)
, ,
(2
)
D.(
,
2)
(1
,
)
7.已知正三棱柱
ABC A B C
1 1
1
的侧棱长与底面边长相等,则 1AB 与侧面
ACC A 所成角的
1 1
正弦值等于(
)
A.
6
4
B.
10
4
C.
2
2
D.
3
2
8.已知曲线
y
2
x
4
3ln
x
的一条切线的斜率为
1
2
,则切点的横坐标为(
)
A.3
B.2
C.1
D.
1
2
( )
f x
9.把函数 ex
y 的图像按向量 (2 3)
,a
平移,得到
y
的图像,则 ( )
f x (
)
A. 3e
x
2
B. 3e
x
2
C. 2e
x
3
D. 2e
x
3
10.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求
星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有(
A.40 种
C.100 种
D.120 种
B.60 种
)
11.设 1
F F, 分别是双曲线
2
2
2
x
a
的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 1
F AF
2
2
2
y
b
AF
且 1
3
AF
2
,则双曲线的离心率为(
)
A.
5
2
B.
10
2
C.
15
2
D. 5
12.设 F 为抛物线 2
y
FC
则 FA
FB
x 的焦点, A B C, , 为该抛物线上三点,若 FA FB FC
4
(
)
A.9
B.6
C.4
D.3
第Ⅱ卷(非选择题)
本卷共 10 题,共 90 分
90
0
,
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.
2
(1 2 )x
x
8
1
x
的展开式中常数项为
.(用数字作答)
14.在某项测量中,测量结果服从正态分布
N
(1
,
)(
2
0)
.若在 (0 1), 内取值的概
率为 0.4,则在 (0 2), 内取值的概率为
.
15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为 1cm,
那么该棱柱的表面积为
cm 2 .
16.已知数列的通项
na
5
n
,其前 n 项和为 nS ,则
2
S
lim n
2
n
n
→
.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)
在 ABC△
中,已知内角 A
,边
BC
2 3
.设内角 B x ,周长为 y .
y
(1)求函数
的解析式和定义域;
( )
f x
(2)求 y 的最大值.
18.(本小题满分 12 分)
从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A :“取出的 2 件产
品中至多有 1 件是二等品”的概率 (
(1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ;
) 0.96
P A
.
(2)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件,表示取出的 2 件产品中二等品的件数,
求的分布列.
19.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 S ABCD
中,底面 ABCD 为正方形,
侧棱 SD ⊥底面 ABCD E F, , 分别为 AB SC, 的中点.
(1)证明 EF ∥平面 SAD ;
(2)设
,求二面角 A EF D
的大小.
DC
SD
2
S
D
F
C
20.(本小题满分 12 分)
A
E
B
在直角坐标系 xOy 中,以O 为圆心的圆与直线
(1)求圆O 的方程;
x
3
y
相切.
4
(2)圆 O 与 x 轴相交于 A B, 两点,圆内的动点 P 使 PA PO PB
PA PB
的取值范围.
, , 成等比数列,求
21.(本小题满分 12 分)
设数列{ }na 的首项
a
1
(0 1)
a
,,
n
3
a
1
n
2
(1)求{ }na 的通项公式;
, ,,,….
2 3 4
n
(2)设
b
n
a
n
3 2
a
n
,证明
b
n
22.(本小题满分 12 分)
已知函数
( )
f x
3
x
.
x
b ,其中 n 为正整数.
n
1
(1)求曲线
y
( )
f x
在点 (
M t
t,
( ))
f
处的切线方程;
(2)设 0
a ,如果过点 (
a b, 可作曲线
)
y
( )
f x
的三条切线,证明:
a b
( )
f a
.
参考答案
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主
要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题
1.D
7.A
二、填空题
5.A
11.B
6.C
12.B
4.D
10.B
2.C
8.A
3.C
9.C
13. 42
14. 0.8
15. 2 4 2
16.
5
2
三、解答题
17.解:(1) ABC△
的内角和 A B C
,由
A
应用正弦定理,知
B
,
0
C
,
0
得
0 B
2
.
AC
BC
sin
A
sin
B
2 3
sin
sin
x
4sin
x
,
AB
BC
sin
A
sin
C
4sin
2
x
.
因为 y AB BC AC
,
所以
y
4sin
x
4sin
2
x
2 3 0
x
2
3
,
(2)因为
y
4 sin
x
cos
x
1
2
sin
x
2 3
4 3 sin
x
,即 x
所以,当 x
2 3
x
5
,
时, y 取得最大值 6 3 .
18.解:(1)记 0A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”,
1A 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”.
A A, 互斥,且
则 0
1
A A
0
,故
A
1
(
)
P A
(
P A
0
A
1
)
)
(
P A
1
1
p
2
(
)
P A
0
2
(1
) C (1
p
2
1
p
p
)
于是
0.96 1 p
.
2
p
解得 1
0.2
,
p
2
0.2
(舍去).
(2)的可能取值为 0 1 2,,.
若该批产品共 100 件,由(1)知其二等品有100 0.2
件,故
20
(
P
0)
2
C
80
2
C
100
316
495
.
(
P
1)
1
1
C C
80
20
2
C
100
160
495
.
(
P
2)
2
C
20
2
C
100
19
495
.
所以的分布列为
P
0
316
495
1
160
495
2
19
495
19.解法一:
(1)作 FG DC∥ 交 SD 于点G ,则G 为 SD 的中点.
连结
AG FG
∥,
CD
,又CD AB ∥ ,
1
2
2
SD
∥ ,
4
,
DG
为平行四边形.
平面 SAD .
DC ,则
AG∥ ,又 AG 平面 SAD EF ,
故 FG AE AEFG
EF
所以 EF ∥平面 SAD .
(2)不妨设
腰直角三角形.
取 AG 中点 H ,连结 DH ,则 DH
又 AB ⊥ 平面 SAD ,所以 AB DH⊥ ,而 AB AG A
所以 DH ⊥面 AEF .
取 EF 中点 M ,连结 MH ,则 HM EF⊥ .
连结 DM ,则 DM EF⊥ .
故 DMH
为二面角 A EF D
的平面角
AG⊥ .
ADG
2
,△
为等
tan
DMH
DH
HM
2
1
.
2
所以二面角 A EF D
的大小为 arctan 2 .
解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系 D xyz .
设 ( 0 0)
,,, ,, ,则 (
(0 0
A a
B a a
S
b
)
0)
, ,, , ,,
C
(0
a
0)
E a
a
, , , , , ,
2
a b
2 2
F
0
0
EF
a
0
,, .
b
2
取 SD 的中点 0 0
,, ,则
G
b
2
AG
a
0
,, .
b
2
S
H
D
F
G
M
C
,
A
E
B
z
S
F
G
M
D
E
B
A
x
C
y
A
EF AG EF
, ∥ ,
AG AG
平面 SAD EF ,
平面 SAD ,
所以 EF ∥平面 SAD .
(2)不妨设 (1 0 0)
A ,, ,则
B
(11 0)
,,, ,,, ,, , , , , , , .
(0 0 2)
(0 1 0)
C
E
F
0
0
1
S
1
1
2
1
2
EF 中点
M
1 1 1
, , ,
2 2 2
MD
1
2
EF
, , ,
( 1 0 1)
,,,
MD EF
0
, ⊥
MD EF
1
2
1
2
又
EA
0
, , ,
1
2
0
EA EF
0
, ⊥ ,
EA
EF
和 EA
所以向量 MD
的夹角等于二面角 A EF D
的平面角.
MD EA
,
cos
MD EA
MD EA
3
3
.
所以二面角 A EF D
的大小为
arccos
3
3
.
20.解:(1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点O 到直线
x
3
y
的距离,
4
即
r
4
1 3
2
.
得圆O 的方程为 2
x
2
y
.
4
( 0)
A x
(2)不妨设 1
x
,, ,,
1
(
B x
0)
2
x
2
( 2 0)
A
,, , .
(2 0)
B
.由 2
x 即得
4
设 (
P x
y, ,由 PA PO PB
, , 成等比数列,得
)
(
x
2
2)
2
y
(
x
2
2)
2
y
2
x
2
y
,
2
即 2
x
y
PA PB
.
2
( 2
x
,
) (2
y
x
,
y
)
2
2
x
2(
4
y
2
1).
y
由于点 P 在圆 O 内,故
2
2
x
x
2
2
y
y
4
,
2.
由此得 2 1
y .
所以 PA PB
的取值范围为[ 2 0)
, .
21.解:(1)由
, ,,,…,
2 3 4
n
}na 是首项为
1 a ,公比为
1
的等比数列,得
1
2
n
3
a
a
1
n
2
1
2
,所以{1
(1
1
0
a
n
整理得
又
1
a
1
a
1
n
)
.
na
1 (1
a
1
)
n
1
1
2
(2)方法一:
由(1)可知
0
na
那么, 2
b
1n
2
b
n
,故
3
2
nb .
0
)
a
1
3 2
2
(3 2 )
n
n
3
a
2
a
n
a
2
n
(3 2 )
n
a
n
2
(3 2
a
a
1
n
n
2
3
a
2
9
a a
(
4
n
n
2
1) .
又由(1)知
na 且
0
na ,故 2
b
n
1
1
2
b
n
,
0
, 为正整数.
b
n
n
1
因此
b
n
方法二:
3
2
由(1)可知
a
因为 1
n
3
a
n
n
,
0
a
2
,
a
n
1
,
所以
b
n
1
a
n
1
3 2
a
n
1
(3
)
a
n
2
a
n
.
由
na 可得
1
a
n
(3 2 )
n
a
3
3
a
2
n
,
即
a
2
n
(3 2 )
n
a
2
3
a
2
n
a
n
两边开平方得
a
n
3 2
a
n
3
a
2
n
a
n
.
即
b
n
, 为正整数.
b
n
n
1