煤矿机械CoalMineMachineryVol.39No.09Sep.2018第39卷第09期2018年09月doi:10.13436/j.mkjx.2018090031单级倒立摆的状态空间模型理想的单级倒立摆可以抽象成由小木块、忽略质量的摆杆、小球等组成。摆杆与小木块之间铰链接，小球与摆杆之间是固定连接，使得摆杆和小球可以在平面内自由摆动。系统的输入是伺服电机对小木块施加控制力，终极目标是使其摆杆保持垂直。倒立摆在不受控制的情况下摆杆会向左或向右倾倒，而在适当的控制力下，摆杆能够保持垂直状态。为了使问题简化，不计摆杆质量、接触间的摩擦。如图1所示。图1单级倒立摆理想模型u.电机的驱动力M.小木块的质量m.小球的质量l.摆杆的长度θ.摆杆夹角x.小木块水平方向的坐标在图1中，小球的坐标为（x+lsinθ，lcosθ）。为了构建理想的模型并且方便计算，忽略摆杆的质量，所以倒立摆的摆杆小球联合体的重心就位于小球的重心上，即摆杆小球联合体绕其重心的转动惯量J≈0（这样就可以把小球看做质点）。摆杆小球联合体的运动可分为重心的垂直方向的运动、水平方向的运动、以及绕重心的转动。2建立单级倒立摆系统的数学模型经受力分析得，描述摆杆小球联合体的重心的垂直方向的运动、水平方向的运动以及绕重心的转动的运动方程分别为：摆杆受铰链的水平力fH=md2dt2（x+lsinθ）（1）摆杆受铰链的竖直力fv=md2dt2（lcosθ）+mgn（2）fvlsinθ=Jd2θdt2＋fHlcosθ（3）J=0（4）小木块水平方向的运动方程u=Md2xdt2＋fH（5）联立式（1）和式（5）可得u-fH=Md2xdt2＋md2dt2（x+lsinθ）（6）联立式（1）、式（2）和式（3）可得［mgn＋d2dt2（lcosθ）］lsinθ-［md2dt2（x+lsinθ）］lcosθ≈0（7）式（6）、式（7）为此单级倒立摆的运动方程，从原理上需要对其作近似线性化处理并且可行，这是因为当θ很小时sinθ就近似等于θ、cosθ近似等于1。因此，可以将式（6）、式（7）近似线性化为u=（M+m）x″+mlθ″（8）单级倒立摆系统的设计与仿真孙恺，沈精虎（青岛大学，山东青岛266071）摘要：运用现代控制理论研究单级倒立摆的平衡控制问题，在设计过程中，首先对倒立摆进行力学分析，建立其空间模型，确立其输入输出变量以及各状态变量，然后根据系统动态响应性能指标设计状态反馈、输出反馈、状态观测器等倒立摆的控制器。最后通过MATLAB/Simulink对倒立摆的模型进行仿真,确定单级倒立摆系统的可行性。关键词：单级倒立摆；现代控制理论；MATLAB/Simulink中图分类号：TP391.9文献标志码：A文章编号：1003－0794（2018）09－0008－04DesignonSingleInvertedPendulumSysteminSimulationEnvironmentSunKai，ShenJinghu(QingdaoUniversity，Qingdao266071，China)Abstract:Usingmoderncontroltheorytostudythebalancecontrolproblemofsingleinvertedpendulum，intheprocessofdesign，thespatialmodelofinvertedpendulumisestablished，itsinputandoutputvariablesandstatevariablesareestablished,andthenthestatefeedback，outputfeedback，stateobserveraredesignedaccordingtothedynamicresponseperformanceindexofthesystem.Thecontrolleroftheinvertedpendulum.Finally，themodeloftheinvertedpendulumissimulatedbyMATLAB/Simulink，andthefeasibilityofthesingleinvertedpendulumsystemisdetermined.Keywords:singleinvertedpendulum；moderncontroltheory；MATLAB/SimulinkXθmuoMl8中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

第39卷第09期Vol.39No.09单级倒立摆系统的设计与仿真———孙恺，等mlx″+ml2θ″=mgnlθ（9）式（8）、式（9）是在θ≈0的条件下建立的倒立摆近似线性模型。由于控制目标是使倒立摆在小木块静止的情况下摆杆保持竖直，在力u控制下，u＝0，θ≈0是可实现的、正确的。联立式（8）、式（9）消除x″，有u-（M+m）gnθ=-Mlθ″（10）联立式（8）、式（9）消除θ″，有Mx″=u-Mgnθ（11）取M=2kg，m=0.1kg，l=0.5m。设x1=x，x2=x′，x3=θ，x4=θ′，以木块受到的控制力u为输入，以小木块位移为输出，建立单级倒立摆系统的状态空间表达式x′=010000-0.5000010020.6≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈0x+00.50-≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈1uy=［1000］≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈x（12）3利用状态反馈配置系统的极点极点的配置就是将为满足一系列的动态响应指标将闭环系统的极点配置在复平面内合适的位置上，从而通过设计合适的反馈矩阵调整极点以达到理想性能指标要求，这是因为所有状态能控的系统都可以通过状态反馈来调整闭环极点的位置。充要条件：系统完全能控。分析过程：原控制系统x=Ax+Buy=C≈x→x=（A－BF）x+Bry=C≈x希望的闭环极点为λi（i=1，2，…，n），希望的闭环特征多项式为f0*（s）=ni=1仪（s-λi*）=sn+αn-1sn-1+…+α1*+α0*取u=r-Fx，令状态反馈后闭环系统的特征多项式等于希望的特征多项式，即有f0（s）=|sI-（A-BF）|=f0*（s）=ni=1仪（s-λi*）=sn+αn-1sn-1+…+α1*+α0*通过比较等式两边多项式的系数，就可以确定状态反馈矩阵F。通过选择状态反馈矩阵F，使闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置。以上讨论未考虑系统的外部扰动，但实际系统的外部干扰作用是难免的，致使系统稳态时不能理想跟踪参考输入而产生稳态误差。稳态精度与跟踪的问题需要通过引入输入变换线性放大器K来实现。倒立摆引入状态反馈后的传递函数为WF（s）=C［sI-（A-BF）］-1B，当引入输入变换线性放大器K后，传递函数变为WFK（s）=C［sI-（A-BF）］-1BK，对单位阶跃输入的跟踪误差e=1-C（-A+BF）-1BK，对输入变换放大增益系数K进行调整可使系统对阶跃输入信号产生零稳态误差从而加强系统的稳态精度以及跟踪速度。即C（-A+BF）-1BK=1。对于此倒立摆，在小木块的的阶跃响应中，理想的调整时间在4~5s，超调量小于17%。由经典控制理论知，欠阻尼二阶线性定常系统的超调量σ=e×100%，调整时间ts=3.5ζωn，闭环极点s1，2=-ζωn±jωn×1-ζ2姨，可求出2个闭环主导极点λ1，2=-1±j3姨。主导极点的位置与系统的动态响应相关性比较大而非主导极点对系统动态响应影响较小，所以系统选择3个期望闭环非主导极点应大于主导极点的5倍，并远离虚轴，即λ3=λ4=λ5=-6。为了使倒立摆稳定，动态响应好，稳态误差为0,设计上不仅采用状态反馈还加上了积分器校正的反馈系统，也称作无静差位置跟踪系统。闭环系统的特征多项式为f0*（s）=detsI-A-BFBK-C姨姨0=s5+（0.5K12-K14）s4+（0.5K11-K13-20.6）s3+（0.5K-9.8K12）s2-9.8K11s-9.8K（13）期望的闭环多项式为f0（s）=（s－λ1）（s－λ2）（s－λ3）（s－λ4）（s－λ5）=s5+20s4+148s3+504s2+804s+864（14）令式（13）与式（14）各项系数相等即可求出状态反馈矩阵和积分增益常数F＝［K11K12K13K14］=［-88.16-55.93-212.68-47.96］K=-88.1≈6（15）状态反馈加积分器校正闭环系统仿真模型如图2所示，状极点配置后阶跃响应波形图如图3所示，摆杆角度仿真曲线如图4所示。图2状态反馈加积分器校正闭环系统仿真模型状态反馈控制律u=r-Fx**－nζ1-ζ2姨lntegrator3lntegrato2lntegrator1-1+Gain1Add11sy0.51s1s1sGain30.5++++++Add2GainAddGain2lntegratorGain4Gain5Gain6Gain7Add3+-1slntegrator4Gain8++20.655.9388.16Constant47.96212.68-88.161··9中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

时间t/s图3状极点配置后阶跃响应波形图时间t/s图4摆杆角度仿真曲线由图3可以看出，系统的输出的调整时间在4～5s，超调量也小于17%，最后趋于稳定,满足设计要求。虽然小木块的位移输出满足设计指标逐渐趋于稳定但倒立摆的终极目标是使小球摆杆始终处于竖直状态，因此也要观测小球摆杆联合体的角度在控制系统下的图像；由图4摆杆角度仿真曲线可以看出，摆杆的角度有一些超调，经过4.5s左右也处于稳定的竖直状态，达到了稳定性要求。4全维状态观测器的设计与仿真实际中系统的内部状态往往无法通过直接测量得到，需借助观测器对系统状态进行重构。观测器有全维和降维2种设计，除对系统的内部状态变量进行观测外，观测器还可以用来对系统的未知输入作用进行观测，例如负载输入、扰动输入等，为此必须事先知道这些未知输入和扰动的模型，并据此将这些未知输入和扰动处理成扰动模型的状态。原被控系统状态空间方程x=Ax+Bu，观测器状态空间方程x=（A－LC）x+Bu+Ly。在工程实际中状态观测器的极点配置原则是应使得状态观测器的响应速度比状态反馈快2～6倍，这样对状态反馈的影响就变小了。此倒立摆系统的闭环观测器的极点选为-4。利用MATLAB求得观测器反馈矩阵L=16116.6-1171.2-5315.!"""""""""""""#$%%%%%%%%%%%%%&9。状态观测器仿真如图5所示、带状态观测器的状态反馈波形图如图6所示、摆杆角度仿真曲线如图7所示。阶跃响应h（t）摆杆角度θ/（°）图5状态观测器Simulink仿真第39卷第09期Vol.39No.09单级倒立摆系统的设计与仿真———孙恺，等02468101.21.00.80.60.40.20-0.202468100.150.100.050-0.05-0.10+++++u-1GainAdd55.93s1Gain130.5Gain3Gain1++Gain9Add4Gain70.520.61Constart+-60++s1s1s1yAdd9Gain14Gain12Gain15Gain1188.16-1++s1s1Gain10Gain820.6-k--+-+-k--k-lntegratorlntegrator1Add1s1s1-+-+++-+lntegrator2lntegrator30.5Gain2Add7Add8Add5Add6lntegrator6lntegrator70.5Add3lntegrator4lntegrator5Add2Add10Gain6Gain5Gain4212.6847.96Gain16lntegrator8-88.16s1v1v2··^^10中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net

时间t/s图6带状态观测器的状态反馈波形图时间t/s图7摆杆角度仿真曲线由图6、图7可以得出，状态观测器成功解决了系统某些状态参量不可测的问题。仿真结果与前面状态反馈的结果相同。成功地完成了单级倒立摆系统控制系统的设计，使倒立摆处于稳定的状态达到了系统的动态响应指标。5结语通过以上的论述，原本不稳定的单级倒立摆，可以在控制系统下变成稳定的系统。证明了倒立摆系统的极点经过状态反馈调整在复平面的左半平面使其处于稳定状态的可行性。通过状态配置极点是设计控制系统的一个简单有效的控制方法。在从动态响应计算极点位置时，要根据经典控制理论中二阶系统极点公式配置出2个主导极点，其余非主导极点要远离主导极点，这是本次设计中比较关键的部分。在设计状态反馈时应注意，当极点设定在原点左侧并距离原点越远动态响应越快但会导致较大的控制力和灵敏度，对硬件的要求变得苛刻，所以选取极点位置时，在满足要求的情况下不要远离原点位置。参考文献：［1］樊京.MATLAB控制系统应用与实例［M］.北京：清华大学出版社,2008.［2］王宏华，王时胜.现代控制理论［M］.2版.北京：电子工业出版社,2013.［3］刘豹，唐万生.现代控制理论［M］.3版.北京：机械工业出版社,2011.作者简介：孙恺（1993-），山东烟台人，硕士研究生，主要研究方向：机械CAD/CAM，电子信箱：847770556@qq.com.责任编辑：赵荣收稿日期：2018－04－05第39卷第09期Vol.39No.09单级倒立摆系统的设计与仿真———孙恺，等阶跃响应h（t）摆杆角度θ/（°）02468101.21.00.80.60.40.20-0.202468100.150.100.050-0.05-0.1011中国煤炭期刊网 www.chinacaj.net