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2020-2021年北京市昌平区高二数学下学期期末试题及答案.doc
2020-2021 年北京市昌平区高二数学下学期期末试题及答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）.
1．已知全集 A＝{x|x2≤4}，B＝{x∈Z|x＞﹣1}，则 A∩B＝（
）
A．{0，1，2}
B．{1，2}
C．{﹣1，0，1，2}
D．{x|﹣1＜x≤2}
【分析】可求出集合 A，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x∈Z|x＞﹣1}，
∴A∩B＝{x∈Z|﹣1＜x≤2}＝{0，1，2}．
故选：A．
2．已知 x，y∈R，且 x＞0，y＞0，x+y＝2，那么 xy的最大值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得 xy≤（
）2＝1，即可得答案．
解：根据题意，x＞0，y＞0，x+y＝2，
则 xy≤（
）2＝1，当且仅当 x＝y＝1 时等号成立，
即 xy的最大值为 1．
故选：C．
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（
）
A．y＝1﹣x2
B．y＝2|x|
C．y＝
D．y＝lnx
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于 A，y＝1﹣x2，是二次函数，是偶函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于 B，y＝2|x|＝
，既是偶函数，又在区间（0，1）上单调递增，符合题意；
对于 C，y＝ ，其定义域为[0，+∞），不是偶函数，不符合题意；
对于 D，y＝lnx，是对数函数，，其定义域为（0，+∞），不是偶函数，不符合题意；
故选：B．
4．在等差数列{an}中，a5＝4，数列{an}的前 9 项的和为（
）
A．4
B．8
C．36
D．72
【分析】利用等差数列的通项公式和前 n项和公式直接求解．
解：在等差数列{an}中，a5＝4，
∴数列{an}的前 9 项的和为：
＝9a5＝36．
故选：C．
5．若不等式 ax2﹣x﹣c＞0 的解集为{x|﹣1＜x＜ }，则函数 f（x）＝cx2﹣x﹣a的图象可
以为（
）
A．
C．
B．
D．
【分析】根据题意，分析可得方程 ax2﹣x﹣c＝0 的解为 x1＝﹣1 或 x2＝ ，且 a＜0，由
根与系数的关系分析 a、c的值，即可得 f（x）的解析式，分析可得答案．
解：根据题意，不等式 ax2﹣x﹣c＞0 的解集为{x|﹣1＜x＜ }，
则方程 ax2﹣x﹣c＝0 的解为 x1＝﹣1 或 x2＝ ，且 a＜0，
则有
，解可得
，
函数 f（x）＝cx2﹣x﹣a＝﹣x2﹣x+2，是开口向下，对称轴为 x＝﹣ 的二次函数，
故选：C．
6．为了调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助与性别之间的关系，用简单随机抽样的方
法从该地区调查了 500 位老年人，结果如表：
男
女
需要志愿者
不需要志愿者
40
160
30
270
经计算可得 X2≈9.967．由 P（X2≥6.635）＝0.01，下列结论正确的是（
）
A．有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关
B．有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关
C．在犯错误的概率不超过 1%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮
助与性别无关
D．在犯错误的概率不超过 5%的前提下，可以认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮
助与性别无关
【分析】利用独立性检验中 K2 的统计意义判断．
解：因为 9.967＞6.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮
助与性别有关．
故选：B．
7．已知奇函数
如果 f（x）＝ax（a＞0 且 a≠1）对应的图象如图所示，
那么 g（x）＝（
）
A．
B．
C．2﹣x
D．﹣2x
【分析】根据函数的奇偶性，先求出函数 f（x）的图象即可得到结论．
解：当 x＞0 时，函数单调递减，则 0＜a＜1，
∵f（1）＝ ，
∴a＝ ，即函数 f（x）＝（ ）x，
当 x＜0，则﹣x＞0，则 f（﹣x）＝（ ）﹣x＝﹣f（x），
则 y＝﹣（ ）﹣x＝﹣2x，
即 g（x）＝﹣2x，x＜0，
故选：D．
8．“克拉茨猜想”又称“3n+1 猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在 1950 年世界数学家大
会上公布的一个猜想：任给一个正整数 n，如果 n是偶数，就将它减半；如果 n为奇数就
将它乘 3 加 1．不断重复这样的运算，经过有限步后最终都能够得到 1，得到 1 即终止运
算．已知正整数 k，经过 6 次运算后得到 1，则 k的值为（
）
A．32
B．32 或 5
C．64
D．64 或 10
【分析】利用正整数 k经过 6 次运算后得到 1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到
k的所有可能的取值．
解：根据题意，正整数 k经过 6 次运算后得到 1，
所以正整数 k经过 5 次运算后得到 2，经过 4 次运算后得到 4，经过 3 次运算后得到 8 或
1（不符合题意，舍去），
经过 2 次运算后得到 16，则经过 1 次运算后得到 32 或 5，
所以正整数 k的值为 64 或 10，
故选：D．
9．设无穷等比数列{an}，则“0＜a2＜a1”是“{an}为递减数列”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由已知求出等比数列的公比范围，然后结合通项公式判断{an}的单调性，举出反
例说明“{an}为递减数列”不能得到“0＜a2＜a1”，进一步得出结论．
解：因为无穷等比数列{an}，0＜a2＜a1，
所以公比 q满足
，
所以有 an＞an+1＝anq，即{an}为递减数列；
而无穷等比数列{an}如果是递减数列，它的第一项和第二项可以为负，
如
，所有不一定可以得到 0＜a2＜a1，
所以“0＜a2＜a1”是“{an}为递减数列”的充分而不必要条件，
故选：A．
10．2020 年 5 月 1 日，北京市开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已
知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量 Q与时间 t的关系如图
所示．给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；
②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；
③在 t2 时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；
④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．
其中所有正确结论的序号是（
）
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
【分析】利用平均变化率、瞬时变换率的含义理解统计表，并进行选项判断．
解：①在[t1，t2]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，
说法错误．
②在[t2，t3]这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说
法正确．
③在 t2 时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．
④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
11．已知全集 U＝{0，1，2，3，4，5}，集合 A＝{0，1，2，3}，B＝{3，4}，则（∁ UA）∪
B＝ {3，4，5} ．
解：∵U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2，3}，B＝{3，4}，
∴∁ UA＝{4，5}，（∁ UA）∪B＝{3，4，5}．
故答案为：{3，4，5}．
12．命题 p：∃x＞0，x2+x﹣1≥0，则￢p： ∀x＞0，x2+x﹣1＜0 ．
解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x＞0，x2+x﹣1＜0．
故答案为：∀x＞0，x2+x﹣1＜0．
13．函数 f（x）＝
的定义域为 （ ，1） ．
解：对于函数 f（x）＝
，应有 2x﹣1＞0，1﹣x＞0，
求得 ＜x＜1，可得函数的定义域为（ ，1），
故答案为：（ ，1）．
14．已知数列{an}满足 a1＝17，an+1＝an﹣4，则当 n＝ 5 时，数列{an}的前 n项和取得最
大值．
答案：
解：∵数列{an}满足 a1＝17，an+1＝an﹣4，
∴数列{an}是首项为 17，公差为﹣4 的等差数列，
∴an＝17﹣4（n﹣1）＝21﹣4n，
∴当 n≤5 时，an＞0，
当 n＞5 时，an＜0，
∴当 n＝5 时，数列{an}的前 n项和取得最大值，
故答案为：5．
15．已知函数 f（x）＝xe﹣x，则 f′（1）＝ 0 ；若函数 g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，
则实数 m的取值范围是 （0， ） ．
答案：
解：根据题意，函数 f（x）＝xe﹣x，则其导数 f（x）＝（x）′e﹣x+x（e﹣x）′＝（1﹣x）
e﹣x，
则 f′（1）＝（1﹣1）e﹣1＝0，
f′（x）＝（1﹣x）e﹣x，
在区间（﹣∞，1）上，f′（x）＞0，则 f（x）为增函数，
在区间（1，+∞）上，f′（x）＜0，则 f（x）为减函数，
则 f（x）≤f（1）＝ ，
在区间（﹣∞，0）上，f（x）＜0，
在区间（0，+∞）上，0＜f（x）≤ ，
若函数 g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，即函数 y＝f（x）与直线 y＝m有且仅有 2 个交
点，
必有 0＜m≤ ，即 m的取值范围为（0， ）．
故答案为：0，（0， ）．
16．数列{an}：a1，a2，…，an，…；{bn}：b1，b2，…，bn，…
定义数列 an&bn：a1，a2，b3，a4，a5，b6，a7，…
①设 an＝
，bn＝1，1≤n≤29，则数列 an&bn的所有项的和等于 19 ；
②设 an＝5n，bn＝4n﹣1，1≤n≤29，则数列 an&bn与 bn&an有 2 个公共项．
答案：
解：①由题意可得：
an&bn＝
，
∴当 1≤n≤29 时，数列 an&bn的所有项的和为：
9×1+（15﹣5）×（﹣1）+（14﹣4）×2＝19；
②由题意可得：
an&bn＝
，bm&am＝
，
很显然，要使 an&bn＝bm&am，必须 n、m同时为 3 的倍数或者同时不为 3 的倍数，
若 n、m同时为 3 的倍数，则有 5m＝4n﹣1，则 n＝24 或 n＝9，此时 m＝19 或 m＝7，不成
立；
若 n、m同时不为 3 的倍数，则有 5n＝4m﹣1，则 m＝4 或 14 或 19 或 29，此时对应的有 n
＝3 或 11 或 15 或 23，
把与题意相矛盾的舍去，剩下 m＝14，n＝11 或 m＝29，n＝23，
即 a11&b11＝b14&a14 或 a23&b23＝b29&a29，
即数列 an&bn与 bn&an有 2 个公共项；
故答案为 19；2．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知等差数列{an}满足 a3+a5＝20，a6＝4a2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}是各项均为正数的等比数列，cn＝an+bn，再从条件①、条件②、条件③
中选择两个作为一组已知条件，求数列{cn}的前 n项和 Sn．
条件①：b1＝1；
条件②：b5＝8b2；
条件③：b2+b3＝6．
答案：
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
由已知可得
，解得
．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2，
则数列{an}的通项公式为 an＝3n﹣2；
（Ⅱ）设数列{bn}的公比为 q，
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