2009年广东省东莞市中考数学试题及答案.doc-资料库

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2009 年广东省东莞市中考数学试题及答案说明：全卷共 4 页，考试用时 100 分钟，满分 120 分. 一、选择题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 4 的算术平方根是（） A.±2 B.2 C. 2 D. 2 2. 计算 23a 结果是（） A. 6a B. 9a C. 5a D. 8a 3. 如图所示几何体的主（正）视图是（） A B C D 4. 《广东省 2009 年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资 726 亿元，用科学计数法表示正确的是（） A. 26.7  元1010 B. 6.72  元 C. 910 726.0  1110 元 D. 26.7  1110 元 5. 如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（） A B C D 二、填空题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）请将下列各题的正确答案填在答题卡相应的位置上. C 6. 分解因式 2 3  x 8 x =_______________________. A O B 7. 已知⊙O 的直径 AB=8cm，C 为⊙O 上的一点，∠BAC=30°，则 BC=_________cm. 8. 一种商品原价 120 元，按八折（即原价的 80%）出售，则现售价应为__________元. 9. 在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若第7题图从中随机摸出一球，摸到黄球的概率是 4 ，则 n=__________________. 5 10. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中

有黑色瓷砖________块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖_______________块（用含 n 的代数式表示）. …… （1）（2）（3）第10题图三、解答题（一）（本大题 5 小题，每小题 6 分，共 30 分） 11. 计算  1 2  9  sin30°+ 03 . 12. 解方程 2  1 2 x  1  1 x 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+1 的图像与反比例函数 y 9 的图像在第一象限相交于点 A， x 过点 A 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为点 B、C.如果四边形 OBAC 是正方形，求一次函数的关系式. 14. 如图所示，△ABC 是等边三角形，D 点是 AC 的中点，延长 BC 到 E，使 CE=CD. （1）用尺规作图的方法，过 D 点作 DM⊥BE，垂足是 M（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM=EM. B y C O A B 第13题图 A D C 第14题图 x E 15. 如图所示，A、B 两城市相距 100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段 AB），经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向上.已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据： 3  2,732.1  414.1 ） E 30° A P 第15题图 F 45° B 四、解答题（二）（本大题 4 小题，每小题 7 分，共 28 分）

16. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有 81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 17. 某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查地方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图 1、图 2，要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次研究中，一共调查了多少位学生？（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？（3）补全频数分布折线统计图. 人数 50 40 30 20 10 O 足球乒乓球篮球排球项目图1 第17题图乒乓球 20% 足球篮球 40% 排球图2 18. 在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６.过Ｄ点作 DE∥AC 交ＢＣ的延长线于点Ｅ. （１）求△BDE 的周长；（２）点Ｐ为线段 BC 上的点，连接 PO 并延长交 AD 于点 Q.求证：BP=DQ. Q O D A 19. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点 O.以 OB、OC 为邻边作第 1 个平行四边形 COBB1 ，对角线相交于点 1A ；再以 CABA 1 、为邻边作第 2 个平行 1 1 B C P 第18题图 E 四边形 CCBA 1 1 1 ，对角线相交于点 1O ；再以 COBO 、为 1 1 1 1 邻边作第 3 个平行四边形 CBBO 1 2 1 1 ……依此类推. （1）求矩形 ABCD 的面积；（2）求第 1 个平行四边形平行四边形 CCBA 1 1 1 和第 6 个平行四边形的面积. COBB1 、第 2 个五、解答题（三）（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） A B D C C 1 C 2 O A 1 B 1 O 1 A 2 B 第19题图 2

20.（1）如图 1，圆内接△ABC 中，AB=BC=CA，OD、OE 为⊙O 的半径，OD⊥BC 于点 F，OE⊥ AC 于点 G，求证：阴影部分四边形 OFCG 的面积是△ABC 的面积的 1 . 3 （2）如图 2，若∠DOE 保持 120°角度不变，求证：当∠DOE 绕着 O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC 的面积的 1 . 3 A E O 图2 C D A O F D 图1 G E C B 第20题图 B 21. 小明用下面的方法求出方程 2 x 3 0 的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中. 换元法得新方程令 2 t 则 , t x  03  方程 x 03 2 x  2 x  03 x  x  042 解新方程 3t 2 检验 0 3t 2 求原方程的解 x  所以 , 3 2 x  9 4 22. 正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM ∽Rt△AMN，求此时 x 的值. D A N C B M 第22题图

参考答案一、选择题 1.Ｂ２.Ａ３.Ｂ４.Ａ５.Ｃ二、填空题 6.2x(x+2)(x-2)；7.4；8.96；9.8；10.10，3n+1. 三、解答题（一） 11. 解：原式      1 4 1 2 13 2 12．解：去分母得：2=-(x+1) 解得：x=-3 检验：当 x=-3 时，分母 2 1 9 1 8 0 x      所以原方程的解是：x=-3. 13．解：  正方形 S OBAC OB  2  9 ，∴ＯＢ＝ＡＢ＝３， ∴点Ａ的坐标为（３，３） ∵点Ａ在一次函数ｙ＝ｋｘ＋１的图像上， ∴一次函数的关系式是： y x 2 3  1. １４．（１）作图（略）（２）证明： ∴３ｋ＋１＝３，解得：ｋ＝ 2 3 ∵△ABC 是等边三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ABC＝∠ＡＣＢ＝６0° ∵ＡＤ＝ＣＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＤ＝３0° ∵CD=CE，∠ACB＝∠E+∠CDE=６0°，∴∠E＝３0° ∴∠E＝∠ＣＢＤ，∴ＢＤ＝ＤＥ ∵ＤＭ⊥ＢＥ，∴ＢＭ＝ＥＭ．１５．解：过点 P 作 PQ⊥AB 于 Q，则有∠APQ=３0°，∠BPQ=45° 设 PQ=x，则 PQ=BQ=x，AP=2AQ=2(100-x). 在 Rt△APQ 中， ∵tan∠APQ=tan30º = AQ PQ ,即 3 3  100  x x . ∴ 50(3 x   3) 又∵50(3  3)  63.4 >50，∴计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。四、解答题（二） 16．解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑,依题意得：解得：x=9 或-9（负值不合题意，舍去）＞700，∴若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会超过 2 x  81 ∵ 39  729 700 台. 17．解：（1）20÷20%=100(名) （2）∵喜欢排球的人数是：100-20-30-100×40%=10（人）

∴喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数为：360º×10%=36º （3）图略 18.（1）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=5，ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝３ ∴ OB  2 AB OA  2  ，ＢＤ＝２OB=8 4 ∵ＡＤ∥ＣＥ，ＡＣ∥ＤＥ，∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形 ∴ＣＥ＝ＡＤ＝ＢＣ＝５，ＤＥ＝ＡＣ＝６ ∴△ＢＤＥ的周长是：ＢＤ+ＢＣ+ＣＥ+ＤＥ＝８+１０+６＝２４. （２）证明：∵AD∥BC，∴∠OBP=∠ODQ，∠OPD=∠OQD ∵OB=OD，∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ。 19.（1）解：∵四边形 ABCD 是矩形，AC=20，AB＝12 ∴∠ABC＝９０º， BC  2 AC  2 AB  2 20 2  12  16 ∴ S ABCD AB BC 12 16 192      矩形。（２）解：∵ＯＢ ∥ 1B C ，ＯＣ ∥ 1BB ，∴四边形ＯＢ 1B C 是平行四边形。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＢ＝ＯＣ，∴四边形ＯＢ 1B C 是菱形。 ∴ OB 1  BC A B ， OB 2OA 12 ∴ 1  1 1  1 2  ，∴  ， BC 8 OA 1 1 2 1OBB C = S 菱形  1 2 OB 1  2 OB A B  1 2  6 BC OB 1   16 12 96   同理：四边形 A B C C １１１是矩形，∴ Ｓ矩形ＡＢＣＣ１１１＝A B 1 1 =6 8 48   1 2 B C 1 1 ‥‥‥ 第ｎ个平行四边形的面积是： Sｎ＝ 192 2 ｎ ∴ S 6 192 2 6 =12．五，解答题（三） 20.（１）证明：过点 O 作 OH⊥AB 于点 H. ∵等边△ABC 是⊙O 的内接三角形，OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC ∴∠B=∠C=60°，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ ∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ ∴ S四边形 =S 四边形 BHOF =S 四边形， CFOG AHOG 又∵ ABC  S  四边形 S ∴ S 四边形 CFOG +S 四边形 BHOF +S 四边形 CFOG =3S 四边形 CFOG ． ABC AHOG 1 = S 3 

（２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ. 则有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120° ∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG 1 3 ∴△MOF≌△NOG，∴ =S CMON CFOG 四边形四边形 S = S ABC  ∴若∠DOE 保持 120°角度不变，当∠DOE 绕着 O 点旋转时，由两条半径和△ ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC 的面积的 1 . 3 21. x  方程 2 x  03 x  x  042 换元法得新方程解新方程检验求原方程的解令 x =t 则 2 t +2t-3=0 令则 x-2=t 2 t +t-2=0 t =1 1 t =-3 2 t =1 1 t =-2 2 t =1 0  1 t =-3 0( 2  舍去） t =1 0  1 t =-2 0( 2  舍去） x  所以 1 x=1 x-2=1 x=3 所以 22.（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90° ∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN ∴Rt△ABM∽Rt△MCN （2）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴ AB = MC ∵ S梯形 1= CN+AB BC 2   BM CN ∴ 1 y= 2  ，即 4 x 4- x CN (4 x  4  4  x )    解得： CN  x ) x (4  4  4 , y y 1 2  x x  x  2 即：又∵   8 1 2 ∴当 x=2 时，y 有最大值 10. ∴当 M 点运动到 BC 的中点时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积是 10.    4 4   8=-   1 2 1 2 10 2 4 2 x 8 2 x  x  2   x    （3）∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴ AB BM AM MN  ，即 4 2  x 16  x     x  4  4 x  2     4  2 x  化简得： x 2 16   x  2   ，解得：x=2 0 ∴当 M 点运动到 BC 的中点时 Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时 x 的值为 2.

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