2015上海高考理科数学真题及答案.doc-资料库

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2015 上海高考理科数学真题及答案一、填空题（本大题共有 14 题，满分 48 分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分． 1．（4 分）设全集 U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= 2．（4 分）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= ．． 3．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则 c1﹣c2= ． 4．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= ． 5．（4 分）抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p= ． 6．（4 分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 7．（4 分）方程 log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2 的解为． 8．（4 分）在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 9．已知点 P 和 Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2．若 C1 的渐近线方程为 y=± x，则 C2 的渐近线方程为． 10．（4 分）设 f﹣1（x）为 f（x）=2x﹣2+ ，x∈[0，2]的反函数，则 y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为． 11．（4 分）在（1+x+ ）10 的展开式中，x2 项的系数为（结果用数值表示）． 12．（4 分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1 和ξ2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2= （元）． 13．（4 分）已知函数 f（x）=sinx．若存在 x1，x2，…，xm 满足 0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则 m 的最小值为． 14．在锐角三角形 A BC 中，tanA= ，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为 2 和 4．过 D 作 D E⊥A B 于 E，DF⊥AC 于 F，则 • = ． 1

二、选择题（本大题共有 4 题，满分 15 分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 15．（5 分）设 z1，z2∈C，则“z1、z2 中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2 是虚数”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（5 分）已知点 A 的坐标为（4 ，1），将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转至 OB，则点 B 的纵坐标为（） A． B． C． D． 17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中 a1，a2，a3 是正实数．当 a1，a2，a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 18．（5 分）设 Pn（xn，yn）是直线 2x﹣y= （n∈N*）与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限 =（） A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12 分）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=1，AB=AD=2，E、F 分别是 AB、BC 的中点，证明 A1、C1、F、E 四点共面，并求直线 CD1 与平面 A1C1FE 所成的角的大小． 2

20．（14 分）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米．现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f（t）（单位：千米）．甲的路线是 AB，速度为 5 千米/小时，乙的路线是 ACB，速度为 8 千米/小时．乙到达 B 地后原地等待．设 t=t1 时乙到达 C 地．（1）求 t1 与 f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 t1≤t≤1 时，求 f（t）的表达式，并判断 f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过 3？说明理由． 21．（14 分）已知椭圆 x2+2y2=1，过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交于 A、B 和 C、D，记得到的平行四边形 ACBD 的面积为 S．（1）设 A（x1，y1），C（x2，y2），用 A、C 的坐标表示点 C 到直线 l1 的距离，并证明 S=2|x1y2 ﹣x2y1|；（2）设 l1 与 l2 的斜率之积为﹣ ，求面积 S 的值． 3

22．（16 分）已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求数列{an}的通项公式；（2）设{an}的第 n0 项是最大项，即 a ≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第 n0 项是最大项；（3）设 a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值 M 与最小值 m，且 ∈（﹣2，2）． 23．（18 分）对于定义域为 R 的函数 g（x），若存在正常数 T，使得 cosg（x）是以 T 为周期的函数，则称 g（x）为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期．已知 f（x）是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R．设 f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．（1）验证 g（x）=x+sin 是以 6π为周期的余弦周期函数；（2）设 a＜b，证明对任意 c∈[f（a），f（b）]，存在 x0∈[a，b]，使得 f（x0）=c；（3）证明：“u0 为方程 cosf（x）=1 在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T 为方程 cosf （x）=1 在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意 x∈[0，T]，都有 f（x+T）=f（x）+f （T）． 4

2015 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 14 题，满分 48 分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分． 1．（4 分）设全集 U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= 4} ． {1，【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【专题】5J：集合．【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．【解答】解：∵全集 U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}， ∴（∁UB）={x|x＞3 或 x＜2}， ∴A∩（∁UB）={1，4}，故答案为：{1，4}．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力． 2．（4 分）若复数 z 满足 3z+ =1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= ．【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】设 z=a+bi，则 =a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设 z=a+bi，则 =a﹣bi（a，b∈R），又 3z+ =1+i， ∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为 4a+2bi=1+i， ∴4a=1，2b=1， 6

解得 a= ，b= ． ∴z= ．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题． 3．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则 c1﹣c2= 16 ．【考点】ON：二阶行列式与逆矩阵．菁优网版权所有【专题】5R：矩阵和变换．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则 c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 4．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= 4 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意可得（ •a•a•sin60°）•a=16 ，由此求得 a 的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于 a 的等边三角形，面积为 •a•a•sin60°，正棱柱的高为 a， 7

∴（ •a•a•sin60°）•a=16 ，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． 5．（4 分）抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，则 p= 2 ．【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线 y2=2px（p＞0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，所以 =1，所以 p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 6．（4 分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π，可得 l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh， ∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π， ∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则 cosθ= = ， 8

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