2013年广西高考文科数学试题及答案.doc-资料库

2013 年广西高考文科数学试题及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设集合 U    1,2,3,4,5 , A 集合    1,2 , 则ð u A  （A） 1,2 （B）  3,4,5 （C）  1,2,3,4,5 （D）  2．已知 a 是第二象限角， sin a  5 13 , 则 cos a  （A）  12 13 （B）  3．已知向量 m      1,1 , n  （A） 4 （B） 3 5 13    （C） 5 13 （D） 12 13    若   2,2 , m n （C） -2 则 =   m n   , （D） -1 4．不等式 2 2 x   的解集是 2 （A）  -1,1 （B） -2,2  （C） -1,0  0,1   （D） -2,0    0,2  5． 2x  的展开式中的系数是 x 6 8 （A） 28 （B）56 （C）112 （D） 224 6．函数  f x    log 1   2  1 x     x  0  f 的反函数 -1  x  = （A） 1 1x  2  x  0  （B） 1 1x  2  x  0  （C） 2 1x   x R   （D） x 2  1 x  0  7．已知数列 na 满足 3 a   1 n a n  0, a 2   则的前项和等于 10 ,   a n 4 3 （A）  -6 1-3 -10  1 1-3 （B）  9 -10  （C）  3 1-3 -10  （D）  3 1+3 -10  8．已知  F 1   1,0 , F 2  1,0  AB  ，则C 的方程为 3 是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B、两点，且 C x , F 2 （A） 2 x 2 2 y  1 （B） 2 y 2  1 （C） 2 x 4 2 y 3  1 （D） 2 x 5 2 y 4  1 2 x 3  9．若函数 y  sin  x      的部分图像如图，则 0 =  （A）5 （B） 4 （C）3 （D） 2

10．已知曲线 y  （A）9 a 在点， -1 4 x  ax 2 1   （B） 6 （C） -9  2  a 处切线的斜率为， 8 = （D） -6 11．已知正四棱锥 ABCD A B C D 中， 1 1 1  1 AA 1  2 AB , 则与平面 CD BDC 1 所成角的正弦值等于（A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 1 3 12．已知抛物线 C y : 2 x 与点  8 M  2,2 ，过C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 ,A B 两点，若   MA MB   0 ，则 k  （A） 1 2 （B） 2 2 （C） 2 （D） 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13．设  f x 14．从进入决赛的6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的决赛结果共有 x 是以为周期的函数，且当  f x  1,3 时，  = 2    . 种. （用数字作答） 15．若 x y、满足约束条件 x    x   3 x  0, 3 y  y   4, 4, 则 z    的最小值为 x y . 16 ．已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的半径， OK  3 2 ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 O 60 K  . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分 10 分）等差数列 na 中， 7 a （I）求 na 的通项公式； 4,  a 19  2 , a 9 （II）设 b n  1 , na n S 求数列的前项和 n   b n . n 18．（本小题满分 12 分）设 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ， ( a b c a b c     )( )  。 ac

（I）求 B （II）若 sin sin A C  3 1  4 ，求C 。 19．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥的等边三角形. P ABCD  中，  ABC   BAD   90 ， BC  2 AD PAB  , PAD  与都是边长为 2 （I）证明： PB CD ; （II）求点 . A 到平面的距离 PCD 20．（本小题满分 12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 1 , 2 各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判. （I）求第 4 局甲当裁判的概率；（II）求前 4 局中乙恰好当1次裁判概率. 21．（本小题满分 12 分）已知函数  f x  3 = x  3 ax 2  3 x  1. （I）求 a  时，讨论 2 的单调性； ; （II）若    2, x  时，  0, . 求的取值范围 a f x   f x   22．（本小题满分 12 分）已知双曲线 C : 2 2 x a  2 2 y b  1  a  0, b  的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线 F F 1 0 2  y  与的两个交点间的距离为 C 2 6. （I）求 , ;a b ；（ II ） AF 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且 1 A B l C 2F BF 1 , 证明： AF 2 、、成等比数列 AB BF 2

一、选择题 1．B 2. A 3. B 4. D 13. -1 14. 60 15. 0 5. C 16. 16 参考答案 6. A 7. C 8. C 9. B 10. D 11. A 12. D 17．（Ⅰ）设等差数列{ }na 的公差为 d，则 na  a 1  ( n  1) d a 因为 7 a 19    4  2 a  9 ，所以    a  1 6 a  1 18 d  d  2( a 1 4  . 8 ) d a 解得， 1 1, d 1  . 2 所以{ }na 的通项公式为 a n  1 . n  2 （Ⅱ） b n  1 na n  2 ( n n  1)   2 n n 所以 S n  ( 2 1  2 2 )  ( 2 2  2 3 )    ( 2  2 n 1  ， 2 ) 1  n  2 n 1 n  . 18.（Ⅰ）因为( a b c a b c     )( )  ，所以 2 a ac  2 c 2  b   ac . 由余弦定理得， cos B  2 a 2 b 2 c   2 ac   ， 1 2 因此， B  120 0 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 A C  060 ，所以 cos( A C  )  cos A cos C  sin sin A C  cos A cos C  sin sin A C  2sin sin A C  cos( A C  ) 2sin sin  A C 2    1 2 3 1  4  ， 3 2 故 A C  或 030 A C   ， 030 因此， C  或 015 C  045 . 19. （Ⅰ）证明：取 BC 的中点 E，连结 DE，则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO⊥平面 ABCD，垂足为 O. 连结 OA，OB,OD,OE.

由 PAB 和 PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD，所以 OA=OB=OD，即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点，故OE BD ，从而 PB OE . 因为 O 是 BD 的中点，E 是 BC 的中点，所以 OE//CD.因此， PB CD . （Ⅱ）解：取 PD 的中点 F，连结 OF，则 OF//PB. 由（Ⅰ）知， PB CD ，故OF CD .  又 BD OD  ， 1 2 故 POD 为等腰三角形，因此， OF OP 2  2 PD . PD OD  2  ， 2 又 PD CD D  ，所以OF  平面 PCD. 因为 AE//CD，CD  平面 PCD， AE  平面 PCD，所以 AE//平面 PCD. 因此，O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离，而 OF  1 2 PB  ， 1 所以 A 至平面 PCD 的距离为 1. 20. （Ⅰ）记 1A 表示事件“第 2 局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第 4 局甲当裁判”. 则 =A A A 2 1 . ( P A )=P( A A 1 2  )  ( P A P A 2 ) ( 1 )  1 4 . （Ⅱ）记 1B 表示事件“第 1 局结果为乙胜”， 2B 表示事件“第 2 局乙参加比赛时，结果为乙胜”， 3B 表示事件“第 3 局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 表示事件“前 4 局中恰好当 1 次裁判”. 则 B B B 3   1  B B B 1 3   2  B B 1 2  . ( P B )   ( P B B 3  1  B B B 1 3   2  B B 1  2 ) ( P B B 3  1 )  ( P B B B 3   1 2 )  ( P B B 2  1 )  ( P B 1 )  ( P B 3 )  ( P B 1 )  ( P B 2 )  ( P B 3 )  ( P B 1 )  ( P B 2 )

   1 4 1 4 1 5  . 8 8 时，  f x  21. （Ⅰ）当 - 2 a  3 = -3 2 x x 2 3 x  1. ' f x ( ) 3  2 x  6 2 x 3  . 令 '( ) 0 f x  ，得， 1 x  2 1  ， 2 x  当 ( x   , 2 1)  时， '( ) 0 f x  ， ( ) f x 在 ( 2 1  .  , 2 1)  是增函数；当 ( 2 1, 2 1)  时， '( ) 0 f x  ， ( ) f x 在 ( 2 1, 2 1) x   是减函数；   当 ( 2 1, x    时， '( ) 0 f x  ， ( ) f x 在 ( 2 1,   是增函数； ) ) （Ⅱ）由 (2) 0  得， f a   . 5 4 当 a   ， (2, x   时， ) 5 4 ' f x ( ) 3(  2 x  2 ax 1) 3(   x 2  5 2 x 1) 3(   x  1 )( 2 x  2) 0  ，所以 ( ) f x 在 (2, ) 是增函数，于是当 [2, x   时， ( ) f x ) f (2) 0  . 综上，a 的取值范围是 5[  4 , )  . 22. （Ⅰ）由题设知 c a  ，即 3 2 a 2 b  2 a  ，故 2 b 9 28 a . 所以 C 的方程为 2 x 8  2 y  2 8 a . 将 y=2 代入上式，求得， x   2 a  1 2 . 由题设知， 2 2 a  1 2 所以 1, b a  2 2 .  ，解得， 2 1 a  . 6 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 1( 3,0) F  ， 2(3,0) F ，C 的方程为 2 x 8 2 y  . ① 8 由题意可设l 的方程为 y  ( k x  ，| 3) k  | 2 2 ，代入①并化简得， 2 ( k  8) x 2  6 2 k x  9 k 2   . 8 0 设 1 ( A x y ， 2 ( B x y ，则 ) ) , , 1 2

x   ， 2 1 1 x  ， 1 x 1  x 2  6 2 k 2 k  8 ， x 1  x 2  2 9 k 2 k 8  8  . 于是 | | AF 1 |  ( x 1 2  3)  2 y 1  ( x 1 2  3)  2 8 x 1 8    (3 x 1 1)  ， BF 1 |  ( x 2 2  3)  2 y 2  ( x 2 2  3)  8 x 2 8   3 x 2 2  1 AF 由 1 | | | BF 1 | 得，  (3 x 1 1) 3   x 2 1 x  ，即 1 x 2 2   . 3 故 6 2 k 2 k  8   2 3 ，解得 2 k  ，从而 1 x 4 5 x 2   19 9 . 由于 | AF 2 |  ( x 1 2  3)  2 y 1  ( x 1 2  3)  2 8 x 1 8 1 3    ， x 1 | BF 2 |  ( x 2 2  3)  2 y 2  ( x 2 2  3)  8 x 2 8   3 x 2 2 1  ，故 | AB | |  AF 2 |  | BF 2 | 2 3(   x 1  x 2 )  ， 4 | AF 2 |  | BF 2 | 3(  x 1  x 2 ) 9  x x 1 2 -1 16  . 因而 | AF 2 | | BF 2 |  |AB| 2 ，所以 2 |AF 、| | |AB 、 2 |BF 成等比数列. |

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